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第三章 函数
第十节 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的相关概念 ☆ 二次函数是初中数学阶段三大函数里面考点内容多，出现频率最高，考查难度也经常比较大的一个板块，一直深受中考各地区命题老师的青睐。此部分知识在考查形式上比较灵活多样，根据往年中考情况分析，选择、填空及解答题均有所考查，有单独知识的考查，也有跟其他知识结合着一起考查，单独考查难度一般不会大，难度主要体现在综合运用上，特别是作为最后一题或者倒数第二题的时候考查，除第一问会较简单外，剩余的问答基本都较难，故此在复习时必须特别熟练的掌握二次函数的图像与性质，同时强化数形结合思想，通过适当训练来提高相关题型的熟悉度，作为重难点去突破，才能更好的拿高分。
考点2 二次函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3 二次函数与一元二次方程 ☆☆
考点4 二次函数与不等式 ☆☆
考点5 二次函数的应用 ☆☆
考点6 二次函数的综合运用 ☆☆☆
考点1 二次函数的相关概念
1.二次函数的概念：
一般地，如果______（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数．
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．
2. 二次函数的解析式：
二次函数的解析式有三种形式：
（1）______式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（2）______式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
（3）两根式（______式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)．如果没有交点，则不能这样表示．
考点2 二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象：
二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线．
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线，顶点是（，）．当a>0时，抛物线的开口______，函数有最______值；当a<0时，抛物线开口______，函数有最______值．
（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．
2.二次函数图象的画法：
______法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．
3.二次函数的性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：
a表示______方向：a＞0时，抛物线开口向上， a＜0时，抛物线开口向下；
b与______有关：对称轴为；
c表示抛物线与______的交点坐标：（0，c）．
4.二次函数的最值：
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，．
（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大= ax12+bx1+c ，当x=x2时，y最小= ax22+bx2+c ．
5.图象的平移
左______右______，上______下______
考点3 二次函数与一元二次方程
1.二次函数与一元二次方程的关系：
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．
因此一元二次方程中的______=b2-4ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点．
当______>0时，图象与x轴有两个交点；当______=0时，图象与x轴有一个交点；当______<0时，图象与x轴没有交点．
①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个______的实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个______的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0______实数根．
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数 判别式b2-4ac的符号 方程ax2+bx+c=0的实数根个数
2个 b2-4ac>0 两个______的实数根
1个 b2-4ac=0 两个______的实数根
没有 b2-4ac<0 ______实数根
考点4 二次函数与不等式
1.二次函数与不等式的关系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．
考点5 二次函数的应用
1.二次函数的应用问题求解思路：
建立 二次函数 模型→求出二次函数 解析式 →结合函数解析式、函数性质做出解答．
2.列二次函数解应用题
　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出______变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合______：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
3.建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.
考点6 二次函数的综合运用
1.用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．
（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．
（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
2.方法指导：
善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
考点1：二次函数的相关概念
◇例题
1．（2021 罗湖区校级模拟）下列函数，其中图象为抛物线的是（　　）
A． B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x+3
2．（2021 饶平县校级模拟）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
3．（2023 遂溪县三模）把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
◆变式训练
1．（2023 郁南县校级模拟）关于x的函数y＝（a﹣b）x2+1是二次函数的条件是（　　）
A．a≠0 B．a≠b C．b＝0 D．a＝0
2．（2023 惠城区校级一模）把二次函数化为y＝a（x+m）2+n的形式是 　　．
3．（2021 饶平县校级模拟）已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
考点2：二次函数的图象与性质
◇例题
1．（2023 惠城区模拟）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
2．（2023 龙川县一模）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（　　）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3
C．最大值为1 D．最大值为3
3．（2023 濠江区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 阳西县一模）已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
5．（2023 大埔县校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＜0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023 增城区二模）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是直线 ．
◆变式训练
1．（2023 东莞市校级一模）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（　　）
2．（2023 增城区一模）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023 平远县校级一模）若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝x2+4x+3上两点，则以下说法正确的是（　　）
A．当x1＞x2时，y1＞y2
B．若x2＝2x1，则y2＝2y1
C．y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1﹣x2+4）
D．当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2
4．（2023 惠阳区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a+b≥x（ax+b）；④3a+c＞0．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．（2023 福田区模拟）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为　 　．
6．（2023 天河区校级三模）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　．
7．（2022 龙岗区二模）小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 0 1 0 a ﹣8 …
表格中，a＝　 　；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝　 　时，y有最大值为 　；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．
考点3：二次函数与一元二次方程
◇例题
1．（2022 东莞市校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2023 开平市二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标为（1，n），则以下五个结论中：
①abc＞0，
②2a+b＝0，
③4a+b2＜4ac，
④3a+c＜0，
⑤方程ax2+bx+c+1＝n有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有：　 　（写序号）
◆变式训练
1．（2022 番禺区一模）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0
2．（2023 东莞市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图，以下结论：①abc＞0；②当x＝﹣1时，函数有最大值；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2；④2a+b＝0．其中正确的是 　 　．（填序号）
考点4：二次函数与不等式
◇例题
1．（2023 龙岗区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．4a+b＞0
D．0＜x＜5时，不等式ax2+bx+c＞0一定成立
2．（2023 南山区校级二模）请阅读下列解题过程；解一元二次不等式；x2﹣2x﹣3＜0．
解；设x2﹣2x﹣3＝0，解得；x1＝﹣1，x2＝3．
则抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．
画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象（如图1所示）．
由图象可知；当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，
此时y＜0，即x2﹣2x﹣3＜0．
所以一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：﹣1＜x＜3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）用类似的方法解一元二次不等式；﹣x2+4x﹣3＞0．
（2）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下；
①列表；x与y的几组对应值如表，其中m＝　 　．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣3 m ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
②如图2，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题；不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集为：　 ．
◆变式训练
1．（2023 香洲区校级三模）小张用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象时，部分列表如下：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y t 0 3 4
依据以上信息，判断以下结论中错误的是（　　）
A．图象顶点在第一象限
B．点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4
C．﹣2和4是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根
D．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，则p≥3
2．（2023 南山区一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为 　 　．
考点5：二次函数的应用
◇例题
1．（2023 南海区模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　）
A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140
C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）
2．（2023 东莞市校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
3．（2023 潮安区一模）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个，
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
4．（2023 顺德区校级三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，则这座桥主桥拱的半径是 　 　m；
（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；
（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
◆变式训练
1．（2022 罗湖区校级三模）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
2．（2022 南山区模拟）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
3．（2023 东莞市校级三模）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？
（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
8．（2023 福田区模拟）【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米．下面的表中记录了x与y的五组数据：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y与x函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　1.5　，并求y与x函数表达式；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
考点6：二次函数的综合运用
◇例题
1．（2022 惠城区一模）小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝﹣的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），对该抛物线，小甬将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A，B的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是　 ．
2．（2023 东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．
3．（2022 东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
◆变式训练
1．（2021 罗湖区校级二模）如图，抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；②CD的长为；③若P与C重合，则∠DPE＝15°；④在P的运动过程中，若AP＝，则PE＝⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．以上5个结论正确的是 　 　；（填写序号）
2．（2023 三水区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于两点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，求点D的坐标；
（3）当点D关于直线BC的对称点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标．
3．（2023 番禺区校级一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣ax+6分别交x轴、y轴于A、C、B三点，OB＝OA．
（1）求a的值；
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上，其横坐标为t，连接AB、PB、PA，设△PBA的面积为S，求S与t的函数关系式；（不要求写出t的取值范围）
（3）如图2，在（2）的条件下，直线PD交x轴于D，交y轴于E，交AB于点R，点F在OA上，连接FE，使∠PEF＝∠DEO，点K在ED上，连接FK，使∠FKP＝45°，作TR∥y轴，连接TE交x轴于N，使FK＝TE，点Q在第一象限内抛物线上，QG⊥PD于G，连接FQ，使∠AFQ＝∠PEF，若FE﹣FN＝2ON，BE+AF＝FE，求QG的长．
1．（2020 广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
2．（2021 深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
3．（2022 广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（　　）
A．a＜0 B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小 D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
4．（2021 广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
5．（2020 广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．（2023 广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
7．（2021 广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A． B． C． D．1
8．（2021 广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　 　．
9．（2023 广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1　 　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
10．（2021 深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：
x（万元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
11．（2021 广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
12．（2023 深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
13．（2022 广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
14．（2021 广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2023 广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2022 广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
17．（2021 广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
18．（2020 广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
1．（2023 越秀区校级一模）下列二次函数中，其图象的顶点坐标是（2，﹣1）的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
2．（2022 东莞市校级一模）将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是
（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5
3．（2023 霞山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 东莞市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点在（0，1）和（0，2）之间．下列结论：
①abc＞0；②﹣1＜；③（a+c）2﹣b2＝0；④b＝﹣4a中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022 武江区校级一模）若直线y＝3x+m经过第一、三、四象限，则二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点必在第 　 　象限．
6．（2023 越秀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．（用“＜”表示）
7．（2023 宝安区校级三模）如图，抛物线y＝（x﹣2）2﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，则直线AB的表达式为 　 　．
8．（2021 大埔县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 　．
9．（2023 蓬江区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，对于下列说法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的有 　 　（填序号）．
10．（2023 南海区模拟）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，某景区的游客人数三月份为5万人，五月份为7.2万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）该景区的门票价格为100元/人，依据往年数据，六月份购票人数约2万，门票价格每降低2元，游客人数增加500人，问当票价定为多少元时，可以使得门票收入最高？
11．（2023 天河区二模）已知函数和函数y2＝（n+2）x﹣2n﹣3，其中，m，n为常数，且n≠﹣2，记函数y1的顶点为P．
（1）当m＝0时，点P恰好在函数y2的图象上，求n的值；
（2）随着m的变化，点P是否都在某一条抛物线上？如果是，求出该抛物线的解析式，如果不是，请说明理由；
（3）当﹣1＜x＜2时，总有y2＜y1，求m﹣n的取值范围．
12．（2023 东莞市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
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第三章 函数
第十节 二次函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 二次函数的相关概念 ☆ 二次函数是初中数学阶段三大函数里面考点内容多，出现频率最高，考查难度也经常比较大的一个板块，一直深受中考各地区命题老师的青睐。此部分知识在考查形式上比较灵活多样，根据往年中考情况分析，选择、填空及解答题均有所考查，有单独知识的考查，也有跟其他知识结合着一起考查，单独考查难度一般不会大，难度主要体现在综合运用上，特别是作为最后一题或者倒数第二题的时候考查，除第一问会较简单外，剩余的问答基本都较难，故此在复习时必须特别熟练的掌握二次函数的图像与性质，同时强化数形结合思想，通过适当训练来提高相关题型的熟悉度，作为重难点去突破，才能更好的拿高分。
考点2 二次函数的图象与性质 ☆☆☆
考点3 二次函数与一元二次方程 ☆☆
考点4 二次函数与不等式 ☆☆
考点5 二次函数的应用 ☆☆
考点6 二次函数的综合运用 ☆☆☆
考点1 二次函数的相关概念
1.二次函数的概念：
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数．
y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式．
2. 二次函数的解析式：
二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
（2）顶点式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
（3）两根式（交点式）：当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)．如果没有交点，则不能这样表示．
考点2 二次函数的图象与性质
1.二次函数的图象：
二次函数的图象是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线．
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线的对称轴是直线，顶点是（，）．当a>0时，抛物线的开口向上，函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，函数有最大值．
（2）抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同，把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．
2.二次函数图象的画法：
五点法：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴；
（2）求抛物线y=ax2+bx+c 与坐标轴的交点：
当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．
3.二次函数的性质：
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）中，a、b、c的含义：
a表示开口方向：a＞0时，抛物线开口向上， a＜0时，抛物线开口向下；
b与对称轴有关：对称轴为；
c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）．
4.二次函数的最值：
（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，．
（2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内，若在此范围内，则当时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当x=x2时，y最大=ax22+bx2+c，当x=x1时，y最小=ax12+bx1+c ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当x=x1时，y最大= ax12+bx1+c ，当x=x2时，y最小= ax22+bx2+c ．
5.图象的平移
左加右减，上加下减
考点3 二次函数与一元二次方程
1.二次函数与一元二次方程的关系：
一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标．
因此一元二次方程中的=b2-4ac，在二次函数中表示图象与x轴是否有交点．
当>0时，图象与x轴有两个交点；当=0时，图象与x轴有一个交点；当<0时，图象与x轴没有交点．
①如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
②如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴只有一个交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；
③如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 没有实数根．
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数 判别式b2-4ac的符号 方程ax2+bx+c=0的实数根个数
2个 b2-4ac>0 两个不相等的实数根
1个 b2-4ac=0 两个相等的实数根
没有 b2-4ac<0 没有实数根
考点4 二次函数与不等式
1.二次函数与不等式的关系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
（2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围．
考点5 二次函数的应用
1.二次函数的应用问题求解思路：
建立 二次函数 模型→求出二次函数 解析式 →结合函数解析式、函数性质做出解答．
2.列二次函数解应用题
　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
要点：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
3.建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
要点：
(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：
　　①首先必须了解二次函数的基本性质；
　②学会从实际问题中建立二次函数的模型；
　　③借助二次函数的性质来解决实际问题.
考点6 二次函数的综合运用
1.用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）若已知抛物线上三点坐标，可设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c．
（2）若已知抛物线上顶点坐标或对称轴方程，则可设顶点式：y＝a(x－h)2＋k，其中对称轴为x＝h，顶点坐标为(h，k)．
（3）若已知抛物线与x轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用两根式（交点式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中与x轴的交点坐标为(x1，0)，(x2，0)．
2.方法指导：
善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
考点1：二次函数的相关概念
◇例题
1．（2021 罗湖区校级模拟）下列函数，其中图象为抛物线的是（　　）
A． B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x+3
【分析】根据二次函数的定义求解即可．
【解答】解：由二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可知选项C符合题意，
故选：C．
2．（2021 饶平县校级模拟）若函数y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是关于x的二次函数，则（　　）
A．a≠1 B．a≠﹣1 C．a＝1 D．a＝±1
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：由题意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故选：A．
3．（2023 遂溪县三模）把二次函数y＝x2+2x﹣4配方成顶点式为（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
【分析】由于二次项系数是1，直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣4﹣1＝（x+1）2﹣5．
故选：B．
◆变式训练
1．（2023 郁南县校级模拟）关于x的函数y＝（a﹣b）x2+1是二次函数的条件是（　　）
A．a≠0 B．a≠b C．b＝0 D．a＝0
【分析】根据二次函数的定义（形如y＝ax2+bx+c这样的函数是二次函数，其中a、b、c是常数且a≠0）解决此题．
【解答】解：当a﹣b≠0，即a≠b，则y＝（a﹣b）x2+1是二次函数．
故选：B．
2．（2023 惠城区校级一模）把二次函数化为y＝a（x+m）2+n的形式是 　　．
【分析】利用配方法计算即可．
【解答】解：因为，
故答案为：．
3．（2021 饶平县校级模拟）已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．
（1）求m的值；
（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【分析】（1）根据二次函数的定义：y＝ax2+bx+c是二次函数，可得答案；
（2）根据y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（﹣，），可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数，得
m2+1＝2且m﹣1≠0．
解得m＝﹣1；
（2）当m＝﹣1时，二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5，
a＝﹣2，b＝4，c＝﹣5，
对称轴为直线x＝﹣＝1，
顶点坐标为（1，﹣3）．
考点2：二次函数的图象与性质
◇例题
1．（2023 惠城区模拟）抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），
故选：A．
2．（2023 龙川县一模）关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，说法正确的是（　　）
A．最小值为﹣1 B．最小值为3
C．最大值为1 D．最大值为3
【分析】根据二次函数的顶点式可确定出其开口方向和顶点坐标，进而可得出结论．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3中，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，
∴函数有最大值，
∵函数图象的顶点坐标为（1，3），
∴二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值为3．
故选：D．
3．（2023 濠江区模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（　　）
A． B． C． D．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝kx+1经过的象限，对比后即可得出结论．
【解答】解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意；
∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0，
∴一次函数y＝kx+1的图象经过第一、二、四象限，A、D选项不符合题意，C符合题意；
故选：C．
4．（2023 阳西县一模）已知二次函数y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）图象上三点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
∵点A（﹣1，y1）关于对称轴的对称点是（，0），而1＜＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
5．（2023 大埔县校级一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＜0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由题意易知b＝，c＝﹣1﹣a，则有c＜0，进而可判定①②；当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c＝﹣，然后可判定③；由题意可知抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，则有当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，故可得④．
【解答】解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，
∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，
∴c＜0，
∵a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①正确；
∴2a+2b+c＝2a+2×﹣1﹣a＝a＞0，故②错误；
∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c＝﹣，
∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，
∴抛物线与x轴正半轴必有一个交点，故③正确；
由题意知抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，
∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；
∴正确的个数有3个．
故选：C．
6．（2023 增城区二模）抛物线y＝（x﹣2）2+1的对称轴是直线 ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可确定抛物线的顶点坐标及对称轴．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2+1可知，抛物线对称轴为直线x＝2．
故答案为：x＝2．
◆变式训练
1．（2023 东莞市校级一模）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（　　）
A．对称轴是直线x＝1
B．顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y的最小值为2
【分析】首先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），据此选择正确答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴a＝﹣1，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
当x＞1时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，抛物线有最大值为2，D选项错误．
故选：D．
2．（2023 增城区一模）函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的函数解析式、二次函数的性质和一次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到函数y＝ax2﹣a与y＝ax+a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是哪个选项中的图象．
【解答】解：当a＞0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向上，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第一、二、三象限，故选项A、D错误；
当a＜0时，函数y＝ax2﹣a的图象开口向下，顶点坐标为（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的图象经过第二、三、四象限，故选项B错误，选项C正确；
故选：C．
3．（2023 平远县校级一模）若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝x2+4x+3上两点，则以下说法正确的是（　　）
A．当x1＞x2时，y1＞y2
B．若x2＝2x1，则y2＝2y1
C．y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1﹣x2+4）
D．当x1+x2＝﹣4时，y1＝y2
【分析】利用作差法即可求解．
【解答】解：∵y1＝+4x1+3，y2＝+4x2+3，
∴y1﹣y2＝+4x1+3﹣（+4x2+3）
＝（﹣）+4（x1﹣x2）
＝（x1+x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2）
＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），
A、若x1＞x2时，
∴x1﹣x2＞0，
当（x1+x2+4）＞0时，y1＞y2，当（x1+x2+4）＜0时，y1＜y2，故A说法错误，不合题意；
B、若x2＝2x1，
则y1＝+4x1+3，y2＝4+8x1+3，
∴y2≠2y1，故B说法错误，不合题意；
C、y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），故C说法错误，不合题意；
D、当x1+x2＝﹣4时，y1﹣y2＝0，
∴y1＝y2，故D说法正确，符合题意．
故选：D．
4．（2023 惠阳区一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a+b≥x（ax+b）；④3a+c＞0．
其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；
由抛物线的对称轴为x＝1，可知x＝2时和x＝0时的y值相等可判断②正确；
由图知x＝1时二次函数有最小值，可判断③错误：
由抛物线的对称轴为x＝1可得b＝﹣2a，因此y＝ax2﹣2ax+c，根据图象可判断④正确．
【解答】解：①∵抛物线的开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0．
由得，b＜0，
∴abc＞0，
故①正确．
②由抛物线的对称轴为x＝1，可知x＝2时和x＝0时的y值相等．
由图知x＝0时，y＜0，
∴x＝2时，y＜0．
即4a+2b+c＜0．
故②正确．
③由图知x＝1时二次函数有最小值，
∴a+b+c≤ax2+bx+c，
∴a+b≤ax2+bxa+b≤x（ax+b），
故③错误．
④由抛物线的对称轴为x＝1可得，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
当x＝﹣1时，y＝a+2a+c＝3a+c．
由图知x＝﹣1时y＞0，
∴3a+c＞0．
故④正确．
综上所述：正确的是①②④．
故选：B．
5．（2023 福田区模拟）二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为　 　．
【分析】直接根据二次函数的顶点式即可求得顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为（﹣1，﹣1）．
6．（2023 天河区校级三模）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 　 　．
【分析】根据函数关系式，求出顶点坐标，再根据开口向下，求出最大值．
【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
7．（2022 龙岗区二模）小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．
（1）完成函数图象的作图，并完成填空．
①列出y与x的几组对应值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 0 1 0 a ﹣8 …
表格中，a＝　 　；
②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象，当x＝　 　时，y有最大值为 　；
（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①把x＝4代入函数表达式即可求解；
②描点、连线，画出当x＞0时函数M的图象；
③观察图象即可求得；
（2）解解析式构成的方程组即可求得；
（3）根据函数图象即可求解．
【解答】解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，
∴a＝﹣3，
故答案为：﹣3；
②画出当x＞0时函数M的图象如下：
③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；
故答案为：﹣2或2，1；
（2）由解得或，
由解得或，
∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；
（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，
∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．
考点3：二次函数与一元二次方程
◇例题
1．（2022 东莞市校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为2，
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点个数可判断②，由b＝﹣2a，x＝﹣1时y＜0可判断③，由x＝1时函数取最大值可判断④，由函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1及直线y＝﹣1的交点横坐标为方程|ax2+bx+c|＝1的解及抛物线的对称轴为直线x＝1可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误．
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②错误．
∵x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，③正确．
∵x＝1时，y＝a+b+c为函数最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正确．
方程|ax2+bx+c|＝1的四个根分别为ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵抛物线y＝ax2+bx+c关于直线x＝1对称，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为之和为2，
抛物线与直线y＝﹣1的交点横坐标为之和为2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四个根的和为4，⑤错误．
故选：A．
2．（2023 开平市二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标为（1，n），则以下五个结论中：
①abc＞0，
②2a+b＝0，
③4a+b2＜4ac，
④3a+c＜0，
⑤方程ax2+bx+c+1＝n有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有：　 　（写序号）
【分析】根据二次函数的图象和性质，即抛物线的开口方向，对称轴，与x轴、y轴的交点坐标以及最大值（最小值）逐项进行判断即可．
【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，
对称轴x＝1＞0，a、b异号，因此b＞0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以abc＜0，因此①错误；
对称轴为x＝1，即﹣＝1，即2a+b＝0，因此②正确；
由抛物线的顶点的位置可知，＞1，而a＜0，
所以4ac﹣b2＜4a，即b2+4a＞4ac，因此③错误；
因为当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵2a+b＝0，
∴3a+c＜0，因此④正确；
由图可知，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，函数有最大值，最大值为n，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c+1＝n有两个不相等的实数根，故⑤正确．
综上所述，正确的有②④⑤．
故答案为：②④⑤．
◆变式训练
1．（2022 番禺区一模）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（　　）
A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0
【分析】利用函数图象分别得出抛物线与x轴交点的横坐标的关系，进而判断四个结论得出答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故选项A错误；
∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，
∴﹣1＜4﹣x2＜0，
解得：4＜x2＜5，故选项B正确；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项C错误；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，故选项D错误；
故选：B．
2．（2023 东莞市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分如图，以下结论：①abc＞0；②当x＝﹣1时，函数有最大值；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2；④2a+b＝0．其中正确的是 　 　．（填序号）
【分析】利用抛物线开口方向确定a＜0，利用抛物线的对称轴得到b＝2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置确定c＞0，从而可对①进行判断；根据二次函数的性质可对②进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；然后利用b＝2a可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＝﹣1时，函数有最大值，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，所以③错误；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，所以④错误．
故答案为：①②．
考点4：二次函数与不等式
◇例题
1．（2023 龙岗区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．a＜0，b＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．4a+b＞0
D．0＜x＜5时，不等式ax2+bx+c＞0一定成立
【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数对②进行判断；根据抛物线对称轴对③进行判断；根据抛物线与x轴的交点的坐标对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以A不符合题意；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以B不符合题意；
由图可知：抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，所以C不符合题意；
由对称可知：抛物线与x轴的交点为：（﹣1，0），（5，0），
∴当﹣1＜x＜5时，不等式ax2+bx+c＞0一定成立，所以D符合题意；
故选：D．
2．（2023 南山区校级二模）请阅读下列解题过程；解一元二次不等式；x2﹣2x﹣3＜0．
解；设x2﹣2x﹣3＝0，解得；x1＝﹣1，x2＝3．
则抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．
画出二次函数y＝x2﹣2x﹣3的大致图象（如图1所示）．
由图象可知；当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴下方，
此时y＜0，即x2﹣2x﹣3＜0．
所以一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为：﹣1＜x＜3．
通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题：
（1）用类似的方法解一元二次不等式；﹣x2+4x﹣3＞0．
（2）某“数学兴趣小组”根据以上的经验，对函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象和性质进行了探究，探究过程如下；
①列表；x与y的几组对应值如表，其中m＝　 　．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣3 m ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
②如图2，在直角坐标系中画出了函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的部分图象，用描点法将这个图象补画完整．
③结合函数图象，解决下列问题；不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集为：　 ．
【分析】（1）依照例题，先求得﹣x2+4x﹣3＝0的解，再画出y＝﹣x2+4x﹣3的草图，观察图象即可求解；
（2）①当x＝﹣1时，代入数据求解即可；
②描点，连线，即可画出函数图象；
③观察图象即可求解．
【解答】解：（1）设﹣x2+4x﹣3＝0，
解得；x1＝1，x2＝3，
则抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），
画出二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的大致图象（如图所示），
由图象可知；当1＜x＜3时函数图象位于x轴上方，
此时y＞0，即﹣x2+4x﹣3＞0，
所以一元二次不等式﹣x2+4x﹣3＞0的解集为：1＜x＜3；
（2）①当x＝﹣1时，y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）＝﹣（﹣1﹣1）（|﹣1|﹣3）＝﹣4，即m＝﹣4
列表；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
故答案为：﹣4；
②描点，连线，函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）图象如图：
③由图象可知；由图象可知：当﹣3≤x≤1或3≤x≤4.3时函数y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的图象位于﹣4与0之间，此时﹣4≤y≤0，即﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0．
一元二次不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集为：﹣3≤x≤1或3≤x≤4.3．
故答案为：﹣3≤x≤1或3≤x≤4.3．
◆变式训练
1．（2023 香洲区校级三模）小张用描点法画二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象时，部分列表如下：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y t 0 3 4
依据以上信息，判断以下结论中错误的是（　　）
A．图象顶点在第一象限
B．点M（m，n）在该图象上，若0＜m＜4，则﹣5＜n≤4
C．﹣2和4是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根
D．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，则p≥3
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，逐项判断即可．
【解答】解：把x＝1，y＝4；x＝0，y＝3；x＝﹣1，y＝0代入y＝ax2+bx+c得，，
解得，，
抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
化成顶点式为y＝﹣（x﹣1）2+4，顶点坐标为（1，4），在第一象限，A正确；
当x＝0时，y＝3，当x＝4时，y＝﹣5，抛物线开口向下，顶点纵坐标为最大值，
所以0＜m＜4，则﹣5＜n≤4，B正确；
当x＝﹣2时，y＝t，
因为抛物线的对称轴是直线x＝1，
所以当x＝4时，y＝t，故﹣2和4是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两根，C正确；
当ax2+bx+c＜2x+p时，即﹣x2+2x+3＜2x+p，
﹣x2+3＜p，
因为﹣x2+3的最大值是3，故p＞3，D不正确；
故选：D．
2．（2023 南山区一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为 　 　．
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【解答】解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，
∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，
解得：m＝﹣2，
∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；
当x＝1时，y＝3；
当x＝4时，y＝4；
∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，
故答案为：﹣2，3，4；
（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，
实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，
故答案为：x＜0或x＞4．
考点5：二次函数的应用
◇例题
1．（2023 南海区模拟）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　）
A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140
C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）
【分析】利用每天的销售量＝300﹣10×销售单价上升的钱数，可找出y关于x的函数关系式，再利用商家每天销售纪念品获得的利润＝每个的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式．
【解答】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，
∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，
∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．
故选：D．
2．（2023 东莞市校级模拟）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飞机着陆后滑行多长时间才能停下来（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时t＝﹣，进而得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函数有最大值，
当t＝﹣＝﹣＝20（秒），
即飞机着陆后滑行20秒能停下来，
故选：B．
3．（2023 潮安区一模）某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个，
（1）求第二批每个挂件的进价；
（2）两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设第二批每个挂件的进价为x元，则第一批每个挂件的进价为1.1x元，根据题意列出方程，求解即可；
（2）设每个售价定为m元，每周所获利润为W元，则可列出W关于m的函数关系式，再根据“每周最多能卖90个”得出m的取值范围，根据二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）设第二批每个挂件进价是每个x元，
根据题意得＝﹣25，
解得x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解，也符合题意，
∴x＝40，
答：第二批每个挂件进价是每个40元；
（2）设每个挂件售价定为m元，每周可获得利润W元，
∵每周最多能卖90个，
∴40+10×≤90，
解得m≥55，
根据题意得W＝（m﹣40）（40+10×）＝﹣10（m﹣52）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴当m≥52时，y随x的增大而减小，
∵m≥55，
∴当m＝55时，W取最大，此时W＝﹣10×（55﹣52）2+1440＝1350．
∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元．
4．（2023 顺德区校级三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
（1）某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，则这座桥主桥拱的半径是 　 　m；
（2）某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，求桥拱抛物线的解析式；
（3）如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m，求此时两桥的水面宽度．
【分析】（1）设主桥拱的半径是r m，根据勾股定理可得202+（r﹣10）2＝r2，即可解得答案；
（2）以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为y＝ax2，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为y＝﹣x2；
（3）桥A的桥下水位上升了2m，用勾股定理可得桥A的水面宽度为8m；桥B的桥下水位上升了2m，在y＝﹣x2中，令y＝﹣2得x＝或x＝﹣，即可得此时桥B的水面宽度为5m．
【解答】解：（1）设主桥拱所在的圆弧形圆心为O，连接OD，如图：
由拱高的定义可知，B，D，O共线，设主桥拱的半径是r m，
在Rt△ADO中，AD＝AC＝20m，DO＝BO﹣BD＝（r﹣10）m，
∵AD2+DO2＝AO2，
∴202+（r﹣10）2＝r2，
解得r＝25，
故答案为：25；
（2）以P为原点，平行水面的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
设桥拱抛物线的解析式为y＝ax2，
∵水面宽MN＝10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4m，
∴M（﹣5，﹣4），
∴﹣4＝25a，
解得a＝﹣，
∴桥拱抛物线的解析式为y＝﹣x2；
（3）桥A的桥下水位上升了2m，如图：
根据题意，OF＝25m，OE＝OB﹣BE＝25﹣（10﹣2）＝17，
∴EF＝＝＝4（m）；
∴此时桥A的水面宽度为8m；
桥B的桥下水位上升了2m，
在y＝﹣x2中，令y＝﹣2得：﹣2＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∵﹣（﹣）＝5，
∴此时桥B的水面宽度为5m．
◆变式训练
1．（2022 罗湖区校级三模）某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本．设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（　　）
A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
【分析】根据降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．
【解答】解：设每本降价x元，则售价为（30﹣x）元，销售量为（200+20x）本，
根据题意得，y＝（30﹣x）（200+20x），
故选：B．
2．（2022 南山区模拟）某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，最大销售额是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
【分析】设每件商品降价x元，每天的销售额为y元，由题意可得到y和x的二次函数关系，利用配方法可求最值．
【解答】解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．
依题意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，
∴最大销售额为1800元．
故选：C．
3．（2023 东莞市校级三模）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是多少？
（2）房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？
【分析】（1）根据题意列式计算即可得到答案；
（2）设每个房间定价增加x元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案．
【解答】解：（1）依题意得：元，
即每个房间的定价为每天200元时，宾馆的利润是8640元；
（2）设每个房间定价增加x元，
依题意得：所获利润＝，
∴当x＝170元时，利润最大，
∴180+170＝350（元），
即房价定为350元时，宾馆利润取得最大值．
8．（2023 福田区模拟）【综合实践】
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，喷出的水柱形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为x米，与湖面的垂直高度为y米．下面的表中记录了x与y的五组数据：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示y与x函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝　1.5　，并求y与x函数表达式；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【分析】（1）建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
（2）设函数表达式为y＝a（x﹣k）2+h，先由图1得到函数顶点为（2，1.5），再将（0，0.5）代入计算即可；
（3）根据二次函数图象解析式设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，
如图1所示：
（2）由图1可得函数顶点为（2，1.5），
∴水柱最高点距离湖面的高度为1.5米，
∴m＝1.5
根据图象可设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入y＝a（x﹣2）2+1.5，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（3）设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于2+0.5＝2.5，
∴，
解得，
∴水管高度至少向上调节米，
∴（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到约2.1米才能符合要求．
考点6：二次函数的综合运用
◇例题
1．（2022 惠城区一模）小甬是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y＝﹣的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），对该抛物线，小甬将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A，B的连线段总经过一个固定的点，则该点的坐标是　 ．
【分析】设A（﹣m，﹣m2）（m＞0），B（n，﹣n2）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，﹣2）．
【解答】解：如图，作垂线AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别是E、F．
设A（﹣m，﹣m2）（m＞0），B（n，﹣n2）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y＝kx+b，则，
①×n+②×m得，（m+n）b＝﹣（m2n+mn2）＝﹣mn（m+n），
∴b＝﹣mn．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠OBF（同角的余角相等），
又∵∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝，
∴＝，
∴mn＝4，
∴b＝﹣×4＝﹣2．
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，﹣2）．
故答案为：（0，﹣2）．
2．（2023 东莞市一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，4），点D的坐标为（0，2），点P为二次函数图象上的动点．
（1）求二次函数的解析式和直线AD的解析式；
（2）当点P位于第二象限内二次函数的图象上时，连接AD，AP，以AD，AP为邻边作平行四边形APED，设平行四边形APED的面积为S，求S的最大值．
【分析】（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求抛物线解析式；再将点A与点D代入y＝kx+m，即可求直线DA的解析式；
（2）连接PD，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交AD于点G，S△PAD的面积最大，则平行四边形APED的面积就最大，设P（t，﹣t2﹣3t+4），则G（t，t+2），则S＝﹣4（t+）2+，所以当t＝﹣时，S的最大值．
【解答】解：（1）将B（1，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，则x＝1或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
设直线AD的解析式为y＝kx+m，
∴，
∴，
∴y＝x+2；
（2）连接PD，过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交AD于点G，
∵平行四边形APED，
∴S△PAD＝S△PED，
∴S△PAD的面积最大，则平行四边形APED的面积就最大，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣2＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+）2+，
∴S＝2××（﹣t2﹣t+2）×4＝﹣4（t+）2+，
∴当t＝﹣时，S的最大值．
3．（2022 东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；
（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；
【分析】（1）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出点A、B坐标，再根据OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函数的关系式；
（2）分△CPM∽△CBA、△CPM∽△ABC两种情况，由相似三角形的性质分别求解即可；
（3）分两种情况情况，由等腰三角形的性质及折叠的性质可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线BC解析式为y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直线BC解析式为：y＝x﹣3，
设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x轴，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分两种情况：
①当△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
②当△CPM∽△ABC，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
综上所述，点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）；
（3）设M点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
当点P在M的上方时，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，
∵△PCM沿CM对折，点P的对应点N恰好落在y轴上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y轴，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴当m＝3﹣时，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
当点P在M点下方时，PM＝m2﹣3m，
同理可得m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+，
∴P（3+，），
综上所述，点P的坐标为（3﹣，﹣）或（3+，）．
◆变式训练
1．（2021 罗湖区校级二模）如图，抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴正半轴交于点C，圆心为M，P是半圆上的一动点，连接EP．
①点E在⊙M的内部；
②CD的长为；
③若P与C重合，则∠DPE＝15°；
④在P的运动过程中，若AP＝，则PE＝
⑤N是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是2π．
以上5个结论正确的是 　 　；（填写序号）
【分析】①ME＝2＝AM，∴E应该在⊙M上，即可求解；
②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC＝，CD＝2×＝3，即可求解；
③CO＝，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°，EM∥y轴，则∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE，即可求解；
④AK＝AEsinα＝2×＝，同理EK＝，则PK＝，即可求解；
⑤点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，则N运动的路径长＝×2πr＝π，即可求解；
【解答】解：抛物线y＝的图象与坐标轴交于点A，B，D，
则点A、B、D的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣），则点M（1，0），
顶点E的坐标为：（1，﹣2），AB＝4，CO＝，OD＝，故点D不在⊙M上；
①ME＝2＝AM，∴E应该在⊙M上，故不符合题；
②C是圆M与y轴交点，圆M半径为2，M（1，0）由勾股定理得OC＝，而OD＝，
故CD的长为，符合题意；
③如图1，连接PM、PE，点E（1，﹣2），故点E在圆上，
CO＝，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°，
EM∥y轴，则∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE，
∴∠DPE＝∠DPM＝15°，符合题意；
④如图2，连接PB、PA、AE，
∵点B、E均在圆上，则∠ABP＝∠AEP＝α，
sin∠AEP＝sin∠ABP＝＝＝sinα，则cosα＝，
过点A作AK垂直于PE于K，
则AK＝AEsinα＝2×＝，EK＝AEcosα＝，则PK＝AK＝，
故则PE＝，符合题意；
⑤如图3，图中实点G、N、M、F是点N运动中所处的位置，
则GF是等腰直角三角形的中位线，GF＝AB＝2，ME交GF于点R，则四边形GEFM为正方形，
当点P在半圆任意位置时，中点为N，连接MN，则MN⊥PE，连接NR，
则NR＝ME＝MR＝RE＝RG＝RF＝GF＝1，则点N的运动轨迹为以R为圆心的半圆，
则N运动的路径长＝×2πr＝π，故不符合题意；
故答案为：②③④．
2．（2023 三水区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于两点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，当以点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似时，求点D的坐标；
（3）当点D关于直线BC的对称点G落在抛物线上时，直接写出点G的坐标．
【分析】（1）将A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣x+c，用待定系数法即可得答案；
（2）根据题中隐含条件可得∠ACO＝30°，要使点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似，只需Rt△BDE中有一个锐角是30°，分两种情况：①当∠DBE＝30°时，可得点D的坐标为（2，﹣）或（2，）；②当∠BDE＝30°时，可得（2，）或（2，﹣）；
（3）由∠OBC＝30°，可得∠GFB＝2∠OBC＝60°＝∠DFB，即知直线AF与直线EF关于直线BC成轴对称，点G是点D关于直线BC的对称点，而EF＝EB＝，得F（2，），设直线AF的解析式为y＝kx+b，用待定系数法可得直线AF的解析式为y＝x﹣，解即得G坐标为（1，0）或（4，）．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣x+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x+；
（2）由y＝x2﹣x+＝（x﹣2）2﹣，得抛物线的对称轴是直线x＝2，
∴E（2，0），
在y＝x2﹣x+中令x＝0，得y＝，
∴C（0，），
而A（1，0），B（3，0），
∴OC＝，OA＝1，AC＝2，
∴OA＝AC，
∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，
∴△OAC是含30°的直角三角形，
要使点B，D，E为顶点的三角形与△OAC相似，只需Rt△BDE中有一个锐角是30°，
①当∠DBE＝30°时，如图：
∵B（3，0），E（2，0），
∴BE＝1，
在Rt△BDE中，DE＝BE＝，
∴D（2，﹣），
由对称性知，D'（2，）也满足题意，
∴点D的坐标为（2，﹣）或（2，）；
②当∠BDE＝30°时，如图：
∵DE＝BE＝，
∴D（2，﹣），
由对称性D'（2，）也符合题意，
综上所述，点D的坐标为（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，﹣）；
（3）作直线AF交抛物线于G，如图：
∵C（0，），B（3，0），
∴OB＝3，OC＝，
∴tan∠OBC＝＝，
∴∠OBC＝30°，
∵EF是抛物线的对称轴，
∴∠FAB＝∠FBA＝30°，
∴∠GFB＝2∠OBC＝60°＝∠DFB，
∴直线AF与直线EF关于直线BC成轴对称，
∴点G是点D关于直线BC的对称点，
∵EF＝EB＝，
∴F（2，），
设直线AF的解析式为y＝kx+b，将A（1，0），F（2，）代入得：
∴，解得，
∴直线AF的解析式为y＝x﹣，
由，得，，
∴G坐标为（1，0）或（4，）．
3．（2023 番禺区校级一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣ax+6分别交x轴、y轴于A、C、B三点，OB＝OA．
（1）求a的值；
（2）如图1，点P在第一象限内抛物线上，其横坐标为t，连接AB、PB、PA，设△PBA的面积为S，求S与t的函数关系式；（不要求写出t的取值范围）
（3）如图2，在（2）的条件下，直线PD交x轴于D，交y轴于E，交AB于点R，点F在OA上，连接FE，使∠PEF＝∠DEO，点K在ED上，连接FK，使∠FKP＝45°，作TR∥y轴，连接TE交x轴于N，使FK＝TE，点Q在第一象限内抛物线上，QG⊥PD于G，连接FQ，使∠AFQ＝∠PEF，若FE﹣FN＝2ON，BE+AF＝FE，求QG的长．
【分析】（1）根据题意可求得A、B两点坐标，根据OB＝OA可列出方程，即可求解．
（2）作出辅助线，证得四边形PTOW为矩形，设出点P的坐标，求得PT、PW的值，进而求得S△PBA＝S△BOP+S△AOP﹣S△AOB，计算即可求解．
（3）作出辅助线，证得FE＝FM，设∠DFK＝α，证得△KEF≌△KMF（SAS），△EKM是等腰直角三角形，根据矩形及正方形的判定及性质，证得四边形KINZ是正方形，求出BE，OE的长，利用勾股定理求出OF的长，再利用三角函数及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣ax+6分别交x轴、y轴于A、C、B三点，
∴当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），OB＝OA＝6，A（6，0），
∴0＝62×a﹣6a+6，
解得，
即．
答：a的值为﹣．
（2）如图，连接OP，过P分别作x，y轴的垂线，垂足为T，W，
∴∠BOA＝∠PNO＝∠PTO＝90°，
∴四边形PTOW为矩形，
设P（t，﹣），
∴，
∴S△PBA＝S△BOP+S△AOP﹣S△AOB
＝
＝
＝3×
＝﹣．
答：S与t的函数关系式为：S＝﹣．
（3）如图，截取OM＝ON，
∵FE﹣FN＝2ON，
∴FE＝2ON+FN，
∴FE＝FM，
设∠DFK＝α，
∵∠FKE＝45°，
∴∠KDF＝45°﹣α，
则∠PEF＝∠DEO＝∠BEG＝45°+α，∠OEF＝90°﹣2α，∠EFO＝2α，
∴FK平分∠EFO，
∴∠EFK＝∠MFK，
∴△KEF≌△KMF（SAS），
∴KE＝KM，∠EKF＝∠MKF＝45°，连接EM，
∴EM⊥KF，
∴△EKM是等腰直角三角形，
∴∠MEF＝90°﹣α，
∴∠MEO＝90°﹣α﹣（90°﹣2α）＝α＝∠NEO，
作TV⊥y轴于V，作KI⊥x轴于I，作RH⊥y轴于H，
∴四边形HRTV是矩形，
∵KF＝TE，∠KIF＝∠TVE＝90°，
∴△KIF≌△TVE（AAS），
∴KI＝TV＝RH，
作KZ⊥y轴于Z，
∴四边形KIOZ是矩形，
∴∠KIM＝∠KZE＝90°，
∴△KZE≌KIM（HL），
∴KI＝KZ＝RH，
∴四边形KINZ是正方形，连接OK，
∴OK平分∠EOD，
∴∠KOE＝∠KOD＝45°
∴△KZE≌△RHE（AAS），
∴KE＝RE，
，
∴E（3，0），
∵BE+AF＝EF，AF＝OA﹣OF＝6﹣OF，
∴3+6﹣OF＝EF，
∴EF＝9﹣OF，
在Rt△EOF中，OF2+OE2＝EF2，
∴OF2+9＝（9﹣OF）2，
解得OF＝4，
∴EF＝MF＝5，OM＝ON＝MF﹣OF＝1，
在Rt△EOM中，，
则，tan∠QFA＝tan（45°+α）＝2，
作QL⊥x轴于L，
设FL＝m，则QL＝2m，Q（4+m，2m），
代入解析式，得2m＝﹣，
整理得m2+17m﹣18＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣18（舍去），
∴Q（5，2），
∴QL＝KI＝2，
连接KQ，
∴四边形KILQ是平行四边形，
∴KQ＝7，
在Rt△KGQ中，，
∴，即KG＝2GQ，
∴GQ2＝KQ2﹣KG2＝49﹣4GQ2，
整理得GQ2＝，
解得，（负值舍去）．
答：GQ的值为．
1．（2020 广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
2．（2021 深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x＝﹣，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（﹣，0），故本选项符合题意；
B、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，对称轴为直线x＝﹣，直线不经过点（﹣，0），故本选项不符合题意；
故选：A．
3．（2022 广州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（　　）
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
【分析】根据图象得出a，c的符号即可判断A、B，利用二次函数的性质即可判断C、D．
【解答】解：∵图象开口向上，
∴a＞0，故A不正确；
∵图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，故B不正确；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，x＞﹣2时，y随x的增大而增大，
故C正确，D不正确；
故选：C．
4．（2021 广东）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，则其面积S＝．这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B．4 C．2 D．5
【分析】根据公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，
∴5＝，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
当b＝3时，S有最大值为＝2．
故选：C．
5．（2020 广东）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解答问题．
【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b＞0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由图象可知，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3个，
故选：B．
6．（2023 广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】过A作AH⊥x轴于H，根据正方形的性质得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系数法求得a、c的值，即可求得结论．
【解答】解：过A作AH⊥x轴于H，
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
设A（m，m），则B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值为﹣2，
故选：B．
7．（2021 广东）设O为坐标原点，点A、B为抛物线y＝x2上的两个动点，且OA⊥OB．连接点A、B，过O作OC⊥AB于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A． B． C． D．1
【分析】分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，设点D（0，m），易证△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再证明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得点D为定点，坐标为（0，1），得DO＝1．进而可推出点C是在以DO为直径的圆上运动，则当点C到y轴距离为此圆的直径的一半，即时最大．
【解答】解：如图，分别作AE、BF垂直于x轴于点E、F，
设OE＝a，OF＝b，由抛物线解析式为y＝x2，
则AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y轴于点G，连接AB交y轴于点D，
设点D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化简得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化简得ab＝1．
则m＝ab＝1，说明直线AB过定点D，D点坐标为（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴点C是在以DO为直径的圆上运动，
∴当点C到y轴距离为＝时，点C到y轴的距离最大．
故选：A．
8．（2021 广东）把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 　 　．
【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【解答】解：把抛物线y＝2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案为y＝2x2+4x．
9．（2023 广州）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，则y1　 　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【分析】依据题意，求出抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，从而由二次函数的性质，根据抛物线开口向下，故当x＞0时y随x的增大而减小，进而判断得解．
【解答】解：由题意得抛物线y＝x2﹣3的对称轴x＝0，
又a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2﹣3开口向上．
∴当x＞0时y随x的增大而增大．
∴对于A、B当0＜x1＜x2时，y1＜y2．
故答案为：＜．
10．（2021 深圳）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如表所示：
x（万元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【分析】（1）通过表格数据可以判断y与x之间的函数关系式为一次函数关系，设出函数解析式用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据销售利润等于单件的利润与销售件数的乘积列出函数关系式，根据二次函数的性质求最值即可．
【解答】解：（1）由表格中数据可知，y与x之间的函数关系式为一次函数关系，
设y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：，
∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+90；
（2）设该产品的销售利润为w，
由题意得：w＝y（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，
∵﹣5＜0，
∴当x＝13时，w最大，最大值为125（万元），
答：当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125万元．
11．（2021 广东）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65），y表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
【解答】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价（a﹣10）元，
则，
解得：a＝40，经检验a＝40是方程的解，
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元，
（2）由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x元（50≤x≤65）时，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70时，y随x的增大而增大，
∴当x＝65时，y取最大值，最大值为：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y关于x的函数解析式为y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利润为1750元．
12．（2023 深圳）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）设出G，L，根据题意列出方程求解即可．
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，根据题意求出直线FK的解析式，由BK＝OB+OK求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），
∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），
设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c，
将A、D、E三点坐标代入表达式，
得，
解得．
∴抛物线表达式为．
答：抛物线表达式为．
（2）设G（﹣t，3），则L（﹣t﹣），
∴，
解得（负值舍去），
∴GM＝2t＝．
答：两个正方形装置的间距GM的长为m．
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，如图4，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，
∵FK∥AC，
设，
∴，
得，
∴，
解得m＝，
∴直线FK的解析式为，
令y＝0，得x＝，
∴．
∴CK＝BK﹣BC＝＝
答：CK的长为m．
13．（2022 广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
【分析】（1）根据A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐标代入抛物线y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，设P（m，0），则PA＝1﹣m，易证△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性质即可求出QE的长，又因为S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，进而得到△CPQ面积和m的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求出面积最大值．
【解答】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P（m，0），则PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA CF﹣PA QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴当m＝﹣1时 S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）．
14．（2021 广东）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解之可得交点为（3，0），则二次函数图象必过（3，0），又过（﹣1，0），则把两点坐标代入解析式可得y＝ax2﹣2ax﹣3a，又ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，整理可得ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，所以a＞0且Δ＝0，则可得a＝1，从而求得二次函数解析式；
（2）由题意可得A（3，0），C（0，﹣3），设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0）．根据对角线的不同可分三类情况建立方程组讨论求解即可：①AC为对角线则有；②AM为对角线则有；③AN为对角线则有．
【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，
当x＝3时，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．
∴y＝ax2+bx+c必过（3，0），
又∵y＝ax2+bx+c过（﹣1，0），
∴，解得：，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，
∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，
整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，
∴a＞0且Δ＝0，
∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）＝0，
∴（a﹣1）2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
∴该二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在，理由如下：
令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，则A点坐标为（3，0）；
令x＝0，得y＝﹣3，则点C坐标为（0，﹣3）．
设点M坐标为（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），
根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得：
①当AC为对角线时，，
即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝1，即N1（1，0）．
②当AM为对角线时，，
即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝5，即N2（5，0）．
③当AN为对角线时，，
即，解得：m1＝1+，m2＝1﹣，
∴n＝或﹣2﹣，
∴N3（，0），N4（﹣2﹣，0）．
综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2﹣，0）．
15．（2023 广州）已知点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设△GMN的外接圆圆心为C，⊙C与y轴的另一个交点为F，当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1，即可求解；
（2）①x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，即可求解；
②求出直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1，得到点C的坐标为：（，﹣）；由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3；由四边形FGEC为平行四边形，则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，求出yE＝﹣，进而求解．
【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1；
故n的值为1；
（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，则（x﹣m）（x﹣n）＝0，
解得x＝m或x＝n，
∴M（m，0），N（n，0），
∵点P（m，n）在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，
∴mn＝﹣2，
令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，
即当m+n＝0，且mn＝﹣2，
则m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），
即m＝﹣时，点E到达最高处；
②假设存在，理由：
对于y＝（x﹣m）（x﹣n），当x＝0时，y＝mn＝﹣2，即点G（0，﹣2），
由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2 ），对称轴为直线x＝，
由点M（m，0）、G（0，﹣2）的坐标知，tan∠OMG＝＝，
作MG的中垂线交MG于点T，交y轴于点S，交x轴于点K，则点T（m，﹣1），
则tan∠MKT＝﹣m，
则直线TS的表达式为：y＝﹣m（x﹣m）﹣1．
当x＝时，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣，
则点C的坐标为：（，﹣）．
由垂径定理知，点C在FG的中垂线上，则FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．
∵四边形FGEC为平行四边形，
则CE＝FG＝3＝yC﹣yE＝﹣﹣yE，
解得：yE＝﹣，
即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，
则m+n＝，
∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．
16．（2022 广州）已知直线l：y＝kx+b经过点（0，7）和点（1，6）．
（1）求直线l的解析式；
（2）若点P（m，n）在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点（0，﹣3），且开口向下．
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得到的点Q′也在G上时，求G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）①设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，将点（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a＝＜0，求m的取值即可；
②由题意求出Q点的横坐标为m+，联立方程组，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根据根与系数的关系可得m+m+＝2m﹣，可求a＝﹣2，从而可求m＝2或m＝﹣，确定抛物线的解析式后即可求解．
【解答】解：（1）将点（0，7）和点（1，6）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵点P（m，n）在直线l上，
∴n＝﹣m+7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵抛物线经过点（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴a＝＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵抛物线的对称轴为直线x＝m，
∴Q点与Q'关于x＝m对称，
∴Q点的横坐标为m+，
联立方程组，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+＝2m﹣，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m＝﹣，
当m＝2时，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此时抛物线的对称轴为直线x＝2，
图象在≤x≤上的最高点坐标为（2，5）；
当m＝﹣时，y＝﹣2（x+）2+，
此时抛物线的对称轴为直线x＝﹣，
图象在﹣2≤x≤﹣1上的最高点坐标为（﹣2，9）；
综上所述：G在≤x≤+1的图象的最高点的坐标为（﹣2，9）或（2，5）．
17．（2021 广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【分析】（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，将x＝2代入得y＝5，故点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3时，纵坐标最大，此时顶点移动到了最高处，顶点坐标为：（2，5）；
（3）求出直线EF的解析式为y＝2x+1，由得直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在线段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在线段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，可得抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝1．
【解答】解：（1）当m＝0时，抛物线为y＝x2﹣x+3，
将x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，
∴点（2，4）不在抛物线上；
（2）抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的顶点为（，），
化简得（，），
顶点移动到最高处，即是顶点纵坐标最大，
而＝﹣（m﹣3）2+5，
∴m＝3时，纵坐标最大，即是顶点移动到了最高处，
此时该抛物线解析式为y＝x2﹣4x+9，顶点坐标为：（2，5）；
（3）设直线EF解析式为y＝kx+b，将E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得，
∴直线EF的解析式为y＝2x+1，
由得：或，
∴直线y＝2x+1与抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此时2m+3＝5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点＝＜﹣或x顶点＝＞或x顶点＝＝＝1．
18．（2020 广东）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC＝CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；
（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE＝，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；
（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，
∴点B（3，0），点A（﹣1，0），
∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，
∴b＝﹣，c＝﹣；
（2）如图1，过点D作DE⊥AB于E，
∴CO∥DE，
∴，
∵BC＝CD，BO＝3，
∴＝，
∴OE＝，
∴点D横坐标为﹣，
∴点D坐标为（﹣，+1），
设直线BD的函数解析式为：y＝kx+m，
由题意可得：，
解得：，
∴直线BD的函数解析式为y＝﹣x+；
（3）∵点B（3，0），点A（﹣1，0），点D（﹣，+1），
∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，对称轴为直线x＝1，
∵直线BD：y＝﹣x+与y轴交于点C，
∴点C（0，），
∴OC＝，
∵tan∠CBO＝＝，
∴∠CBO＝30°，
如图2，过点A作AK⊥BD于K，
∴AK＝AB＝2，
∴DK＝＝＝2，
∴DK＝AK，
∴∠ADB＝45°，
如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N（1，0），
若∠CBO＝∠PBO＝30°，
∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，
∴PN＝，BP＝，
当△BAD∽△BPQ，
∴，
∴BQ＝＝2+，
∴点Q（1﹣，0）；
当△BAD∽△BQP，
∴，
∴BQ＝＝4﹣，
∴点Q（﹣1+，0）；
若∠PBO＝∠ADB＝45°，
∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，
当△DAB∽△BPQ，
∴，
∴，
∴BQ＝2+2
∴点Q（1﹣2，0）；
当△BAD∽△PQB，
∴，
∴BQ＝＝2﹣2，
∴点Q（5﹣2，0）；
综上所述：满足条件的点Q的坐标为（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．
1．（2023 越秀区校级一模）下列二次函数中，其图象的顶点坐标是（2，﹣1）的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】利用二次函数的顶点式写出各个函数的顶点坐标，然后判断即可．
【解答】解：A、顶点坐标为（2，1），不符合题意；
B、顶点坐标为（﹣2，1），不符合题意；
C、顶点坐标为（2，﹣1），符合题意；
D、顶点坐标为（﹣2，﹣1），不符合题意，
故选：C．
2．（2022 东莞市校级一模）将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是
（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可．
【解答】解：将二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是y＝（x+1﹣2）2﹣2﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣5．
故选：A．
3．（2023 霞山区一模）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次函数的图象可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过哪几个象限．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象，可知：a＜0，b＞0，
则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，
故选：C．
4．（2023 东莞市模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点在（0，1）和（0，2）之间．下列结论：
①abc＞0；②﹣1＜；③（a+c）2﹣b2＝0；④b＝﹣4a中，正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系，逐项分析判断即可．
【解答】解：①∵函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵函数与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
故abc＜0，①不正确；
②∵顶点为（1，n），对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴A点（3，0）关于对称轴x＝1的对称点为（﹣1，0），
∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，得c＝﹣3a，
∵1＜c＜2，
∴1＜﹣3a＜2，
∴﹣＞a＞﹣，故②不正确；
③当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，
（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，故③正确；
④由②的推理可知b＝﹣2a，故④不正确．
正确的有③，
故选：A．
5．（2022 武江区校级一模）若直线y＝3x+m经过第一、三、四象限，则二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点必在第 　 　象限．
【分析】先根据一次函数经过的象限得到m＜0，再由二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点坐标为（m，1）即可得到答案．
【解答】解：∵直线y＝3x+m经过第一、三、四象限，
∴m＜0，
∵二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点坐标为（m，1），
∴二次函数y＝（x﹣m）2+1的图象顶点在第二象限，
故答案为：二．
6．（2023 越秀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　．（用“＜”表示）
【分析】求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据点到对称轴的距离的大小判断即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵0＜n＜1，
∴﹣2＜n﹣2＜﹣1，﹣1＜n﹣1＜0，1＜n+1＜2，
∴点（n﹣2，y1）到对称轴的距离最大，（n+1，y3）到对称轴距离最短，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3．
7．（2023 宝安区校级三模）如图，抛物线y＝（x﹣2）2﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，则直线AB的表达式为 　 　．
【分析】求出A、B点的坐标，用待定系数法求直线AB的解析式即可；
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣2，
∴顶点A的坐标为（2，﹣2），
令x＝0，则y＝（﹣2）2﹣2＝2，
∴B的坐标为（0，2），
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的表达式为y＝﹣2x+2，
故答案为：y＝﹣2x+2．
8．（2021 大埔县模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为 　．
【分析】先计算出自变量为0时所对应的二次函数值得到C点坐标，则过CD中点与x轴平行的直线为y＝2，再利用等腰三角形的性质得点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，然后解方程﹣x2+2x+3＝2即可确定P点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P为直线y＝2与抛物线y＝﹣x2+2x+3的交点，
当y＝2时，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．
故答案为（1+，2）或（1﹣，2）．
9．（2023 蓬江区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，对于下列说法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的有 　 　（填序号）．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵顶点在x轴的上方，
∴，即，故正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当x＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确；
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故答案为：①②④．
10．（2023 南海区模拟）今年以来，我省接待的游客人数逐月增加，据统计，某景区的游客人数三月份为5万人，五月份为7.2万人．
（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）该景区的门票价格为100元/人，依据往年数据，六月份购票人数约2万，门票价格每降低2元，游客人数增加500人，问当票价定为多少元时，可以使得门票收入最高？
【分析】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；
（2）设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，由题意可得W＝（100﹣m）×（20000+），然后根据二次函数的性质即可得结果．
【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得5（1+x）2＝7.2，
解这个方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）设门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元，
由题意，得
W＝（100﹣m）×（20000+），
化简，得W＝﹣250m2+5000m+2000000
＝﹣250（m﹣10）2+2025000，
∵﹣25＜0，
∴当m＝10时，W取最大值，为2025000万元．
票价定为100﹣10＝90元时，可以使得门票收入最高．
答：当票价定为90元时，可以使得门票收入最高．
11．（2023 天河区二模）已知函数和函数y2＝（n+2）x﹣2n﹣3，其中，m，n为常数，且n≠﹣2，记函数y1的顶点为P．
（1）当m＝0时，点P恰好在函数y2的图象上，求n的值；
（2）随着m的变化，点P是否都在某一条抛物线上？如果是，求出该抛物线的解析式，如果不是，请说明理由；
（3）当﹣1＜x＜2时，总有y2＜y1，求m﹣n的取值范围．
【分析】（1）把m＝0代入得＝﹣（x﹣1）2+2，则P（1，2），再将点P的坐标代入函数y2的解析式中即可求解；
（2）将函数y1化为顶点式得y1＝，在P，设a＝，则m＝2a﹣2，将其代入中即可求解；
（3）由y2＜y1可得（n+2）x﹣2n﹣3＜﹣x2+（m+2）x﹣2m+1，化简得x+2＞m﹣n，根据总有y2＜y1可得m﹣n小于x+2的最小值，以此即可求解
【解答】解：（1）当m＝0时，＝﹣（x﹣1）2+2，
∴此时，顶点P的坐标为（1，2），
∵点P在函数y2的图象上，
∴n+2﹣2n﹣3＝2，
解得：n＝﹣3；
（2）∵＝，
∴P，
设a＝，则m＝2a﹣2，
∴yP＝＝a2﹣4a+5，
∴点P是在抛物线y＝x2﹣4x+5上运动；
（3）∵y2＜y1，
∴（n+2）x﹣2n﹣3＜﹣x2+（m+2）x﹣2m+1，
整理得：x2﹣4＜（m﹣n）（x﹣2），
∴（x+2）（x﹣2）＜（m﹣n）（x﹣2），
∵﹣1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，
∴x+2＞m﹣n，
∵当﹣1＜x＜2时，总有y2＜y1，
∴m﹣n小于x+2的最小值，∵x+2＞1
∴m﹣n≤1．
12．（2023 东莞市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx经过点A（2，0）和点B（﹣1，m），顶点为点D．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）设线段BD与x轴交于点P，如果点C在x轴上，且△ABC与△ABP相似，求点C的坐标．
【分析】（1）将A（2，0）代入y＝x2+bx，求出抛物线解析式，再将B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；
（3）求出P点坐标（，0），设C（t，0），当∠ABC＝∠APB时，△AB

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