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2023-2024学年数学人教版七年级下册
第五章相交线与平行线 证明题专题训练
1．如图，AD∥EF，∠1+∠2=180°．
(1)求证：DG∥AB；
(2)若DG是∠ADC的角平分线，∠ADB=120°，求∠B的度数．
2．如图，有如下三个论断：①，②，③．
(1)请从这三个论断中选择两个作为题设，余下的一个作为结论，构成一个真命题．试用“如果……那么……”的形式写出来；（写出所有的真命题，不要说明理由）
(2)请你在上述真命题中选择一个进行证明．
3．已知：如图，中，E是AB上一点，，垂足分别为D，F，点G为AC上一点，连接DG，且．求证：．
4．在△ABC中，CF⊥AB于F，ED∥CF，∠1=∠2．
（1）求证：FG∥BC；
（2）若∠A=55°，∠1=30°，求∠FGC的度数．
5．已知：如图，．平分．

（1）求证：；
（2）求的度数．
6．如图1，，直线外有一点，连接，．
(1)证明：；
(2)如图2，延长至点，连接，平分，平分，且与交于点，求与的数量关系；
(3)如图3，在2的条件下，，，连接，且，，求的度数．
7．如图，直线AB∥CD，直线MN与AB，CD分别交于点M，N，ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，NE交AB于点F，过点N作NG⊥EN交AB于点G．
（1）求证：EM∥NG；
（2）连接EG，在GN上取一点H，使∠HEG=∠HGE，作∠FEH的平分线EP交AB于点P，求∠PEG的度数．
8．如图．已知点E在上，点M，N在上，．
(1)求证：；
(2)若，求证：；
(3)若，求的度数．
9．如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论．
（2）当点P移动到如图（2）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？请证明你的结论．
10．如图，在四边形ABCD中，BD⊥CB于点B，点E在DC边上，EF⊥CB于点F．
(1)如图1，若∠A=100°，∠ADC=80°，求证：∠ABD=∠CEF；
(2)如图2，延长AB和EF交于点G，连接DG，GD平分∠AGE，且∠AGE=∠BDC，若∠DGB=22°，∠A=96°，求∠ADB的度数．
11．如图，，．
(1)求证：；
(2)若，试探索：，，的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，，，求的度数．
12．如图，已知点在直线上，与互余，是上一点，连接．
(1)求证：．
(2)若平分，，求和的大小．
13．如图，已知点E，F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求和的大小．
14．已知，直线EF与直线分别交于点，点在直线上运动，点在射线上运动（点不与点重合），连接．

(1)如图①，当点在线段上时，若，则 ；
(2)在点和点运动的过程中，的角平分线和的角平分线相交于点．
①如图②，当点在线段上运动时，写出和之间的数量关系，并加以证明；
②当点运动到直线下方时，请直接写出和之间的数量关系．
15．如图AB∥CD，点H在CD上，点E、F在AB上，点G在AB、CD之间，连接FG、GH、HE，HG⊥HE，垂足为H，FG⊥HG，垂足为G.
（1）求证：∠EHC+∠GFE=180°.
（2）如图2，HM平分∠CHG，交AB于点M，GK平分∠FGH，交HM于点K，求证：∠GHD=2∠EHM.
（3）如图3，EP平分∠FEH，交HM于点N，交GK于点P，若∠BFG=50°,求∠NPK的度数.
参考答案：
1．（1）证明：∵AD∥EF，
∴∠BAD+∠2=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠BAD，
∴DG∥AB；
（2）解：∵∠ADB=120°，
∴∠ADC=180°-∠ADB=180°-120°=60°，
∵DG是∠ADC的角平分线，
∴∠GDC=∠ADC=30°，
∵DG∥AB，
∴∠B=∠GDC=30°．
2．（1）解：①如图，如果，，那么；
②如图，如果，，那么；
③如图，，，那么；
（2）解：①如图，如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，如果，，那么；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
③如图，，，那么；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．证明：∵，
∴，
∴(两直线平行，同旁内角互补)，
∵（已知），
∴(同角的补角相等)，
∴(内错角相等，两直线平行)，
∴（两直线平行，同位角相等）．
4．（1）如图，∵DE∥FC，∴∠1=∠3．
又∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，
∴FG∥BC；
（2）∵∠1=∠2且∠1=30°，
∴∠2=30°．
∵CF⊥AB，
∴∠AFG=90°﹣30°=60°，
∴∠FGC=∠AFG+∠A=60°+55°=115°．
5．解：（1）证明:，
，
；
（2）由（1）得，
，
平分，
．
6．（1）证明：过点作，
∵，，
∴
∴，,，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，设，
又∵平分，设，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴
∴；
（3）设，
过点做，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
过点作，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．解：（1）∵AB∥CD，
∴∠AMN+∠CNM=180°，
∵ME，NE分别是∠AMN与∠CNM的平分线，
∴∠EMN= ∠AMN，∠ENM=∠MNC，
∴∠EMN+∠ENM=90°，即∠MEN=90°，
又∵NG⊥EN，
∴∠MEN+∠ENH=180°，
∴EM∥NG；
（2）设∠HEG=x，则∠HGE=∠MEG=x，∠NEH=90°﹣2x，
∵EP平分∠FEH，
∴∠FEH=2∠PEH=2（∠PEG+x），
又∵∠FEH+∠HEN=180°，
∴2（∠PEG+x）+90°﹣2x=180°，
解得∠PEG=45°．
8．（1）证明：∵，，
∴
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
（3）∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵，
∴，
∴
9．解：(1)∠APC=∠A+∠C．理由如下：
如图1，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠A+∠C．
故答案为：∠APC=∠A+∠C．
(2)∠APC+∠A+∠C=360°，理由如下：
如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥PE，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∴∠APE+∠A+∠C+∠CPE=360°，
∴∠APC+∠A+∠C=360°．
故答案为：∠APC+∠A+∠C=360°．
10．（1）证明：∵，
∴，
∴，
∴．
∵BD⊥CB于点B， EF⊥CB于点F,
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵BD⊥CB于点B， EF⊥CB于点F,
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵GD平分∠AGE，，
∴，
∴，
∴．
11．（1）证明：∵∠1=∠2，∠1=∠GFC，
∴∠2=∠CFG，
∴，
∴∠D=∠ACM，
∵∠D=∠CMG，
∴∠CMG=∠ACM，
∴；
（2）解：∠NBG∠ANB+∠1=180°；
理由如下：过B作交NG于P，
∴∠ANB=∠NBP，
∵，
∴∠D=∠DHG，
∵∠A+∠DHG=180°，
∴∠A+∠D=180°，
∴，
又∵CM∥DH，
∴，
∴∠PBG+∠1=180°，
∵∠PBG=∠NBG∠NBP=∠NBG∠ANB，
∴∠NBG∠ANB+∠1=180°；
（3）解：∵∠1+∠PBG=180°，∠1=100°，
∴∠PBG=80°，
∵∠NBG=130°，
∴∠ANB=∠NBP=50°，
∵∠ANB：∠BNG=2：1，
∴∠BNP=25°，
∴∠ANG=75°，
∴∠A=105°．
12．（1）证明：∵与互余，（已知）
∴，（互余定义）
∵，
∴，（垂直定义）
∴，
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行）；
（2）∵，（由（1）得）
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵平分，（已知）
∴（角平分线定义），
∴．
∴
13．（1）证明：∵，
．
，
．
∴．
（2）∵，
．
，
．
∵，
．
，
．
．
14（1）解：过点作，如图所示：

，
，
，，
，
，，
，
故答案为：；
（2）解：①，
证明如下：
过点分别作直线，如图所示：

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的角平分线和的角平分线相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，
简单说明如下：过点分别作直线，如图所示：

，
，
∴，
，
，
∵的角平分线和的角平分线相交于点，
∴，
，
又由图可知，
．
15．（1）∵HG⊥HE，FG⊥HG
∴FG∥EH，
∴∠GFE+∠HEF=180°，
∵AB∥CD
∴∠BEH=∠CHE
∴∠EHC+∠GFE=180°
（2）设∠EHM=x，
∵HG⊥HE，
∴∠GHK=90°-x,
∵MH平分∠CHG，
∴∠EHC=90°-2x，
∵AB∥CD
∴∠HMB=90°-x，
∴∠HMB=∠MHG=90°-x，
∵AB∥CD，
∴∠BMH+∠DHM=180°，即∠BMH+∠GHM+∠GHD =180°，
∴90°-x+90°-x+∠GHD =180°，解得，∠GHD =2x，
∴∠GHD=2∠EHM；
（3）延长FG，GK，交CD于R，交HE于S，如图，
∵AB∥CD，∠BFG=50°
∴∠HRG=50°
∵FG⊥HG，
∴∠GHR=40°，
∵HG⊥HE，
∴∠EHG=90°，
∴∠CHE=180°-90°-40°=50°，
∵AB∥CD,
∴∠FEH=∠CHE=50°，
∵EP是∠HEF的平分线，
∴∠SEP=∠FEH=25°，
∵GH平分∠HGF，
∴∠HGS=∠HGF=45°,
∴∠HSG=45°，
∵∠SEP+∠SPE=∠HSP=45°，
∴∠EPS=20°，即 ∠NPK=20°.

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