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习题课　数列求和(一)
[学习目标]　
1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.
2.掌握分组求和、倒序相加法求和、并项求和、裂项相消法求和等数列求和的方法．
一、分组求和与倒序相加法求和
例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝t，点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上．
(1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.
反思感悟　分组求和的适用题型
一般情况下形如cn＝an±bn，其中数列{an}与一个是等差数列，另一个是等比数列，求数列的前n项和，分别利用等差数列和等比数列的前n项和公式求和即可．
跟踪训练1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝(k∈N*)，求数列{cn}的前21项的和．(答案可保留指数幂的形式)
例2　已知函数f(x)对任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)，求数列{an}的通项公式．
反思感悟　倒序相加法求和适合的题型
一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和．
跟踪训练2　德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响．他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1＋2＋3＋…＋100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法．已知数列an＝，则a1＋a2＋…＋a98等于(　　)
A．96 B．97 C．98 D．99
二、拆项、并项求和
例3　已知数列an＝(－1)nn，求数列{an}的前n项和Sn.
反思感悟　并项求和法适用的题型
一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和．若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式．
跟踪训练3　已知数列{an}满足an＝(－1)nn2，则a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1等于(　　)
A．－(n＋1)(2n＋1) B．(n＋1)(2n＋1)
C．－n(n＋1) D．n(n＋1)
三、裂项相消法求和
知识梳理　
常见的裂项求和的形式：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝－；
(4)＝；
(5)＝－；
(6)ln＝ln(n＋1)－ln n；
(7)＝；
(8)(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
(9)＝(－1)n.
例4　已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若an>0，设bn＝log2(3an＋3)，求数列的前n项和．
反思感悟　(1)把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的．
(2)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止．
(3)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
跟踪训练4　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)记bn＝an＋1，证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；
(2)记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：＋＋…＋<.
1．知识清单：
(1)分组求和．
(2)倒序相加求和．
(3)并项求和．
(4)裂项相消求和．
2．方法归纳：公式法、分类讨论法．
3．常见误区：
(1)并项求和易忽略总项数的奇偶．
(2)裂项相消求和易忽略正负项个数是否相同．
1．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且满足an＋2－an＝1＋n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的共有(　　)
A．225人 B．255人
C．365人 D．465人
2．设Sn为数列{an}的前n项和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则Sn的值为(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－n－1 D．2n＋1－n－2
3．已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则数列的前10项和为(　　)
A. B. C. D.
4．已知f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f ＋f ＋…＋f ＝________.
习题课　数列求和(一)
例1　解　(1)因为点(Sn，an＋1)在直线y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，当n≥2时，
an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，
即an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an.
又当n＝1时，
a2＝3S1＋1，即a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以当t＝1时，a2＝4a1，此时，数列{an}是等比数列．
(2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
＝＋.
跟踪训练1　解　(1)设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意，
解得d＝q＝2，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n，
数列{bn}的通项公式为bn＝2n.
(2)由(1)知，a2k－1＝4k－2，数列{a2k－1}是等差数列，首项为2，公差为4，
b2k＝22k＝4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4，
而cn＝(k∈N*)，
则数列{cn}的前21项的和
T21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(b2＋b4＋…＋b20)
＝11×2＋11××4＋
＝，
所以数列{cn}的前21项的和为.
例2　解　∵f(x)＋f(1－x)＝1，
∴f ＋f ＝1.
∵an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)，①
∴an＝f(1)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(0)，②
①＋②得2an＝n＋1，
∴an＝，故数列{an}的通项公式为an＝.
跟踪训练2　C　[S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98
＝＋＋…＋＋，
S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1
＝＋＋…＋＋，
两式相加得，
2S＝
＋
＝＋＋…＋＋＝98×2，
∴S＝98.]
例3　解　方法一　若n是偶数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝.
若n是奇数，则Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝－n＝－.
综上所述，Sn＝n∈N*.
方法二　可采用分组求和(略)．
跟踪训练3　A　[a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1
＝－12＋22－32＋42－52＋…＋(2n)2－(2n＋1)2
＝－1＋(22－32)＋(42－52)＋…＋[(2n)2－(2n＋1)2]
＝－1－(2＋3)－(4＋5)－…－(2n＋2n＋1)
＝－[1＋2＋3＋4＋5＋…＋(2n＋1)]
＝－
＝－(n＋1)(2n＋1)．]
例4　解　(1)设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，
因为S2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20，
易知q≠1，所以T2＝＝4，①
T4＝＝20，②
由得1＋q2＝5，解得q＝±2.
当q＝2时，a1＝，
所以an＋1＝×2n－1＝；
当q＝－2时，a1＝－5，
所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1
＝－(－2)n＋1.
所以an＝－1或
an＝－(－2)n＋1－1.
(2)因为an>0，所以an＝－1，
所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1，
所以＝＝－，
所以数列的前n项和为
＋＋…
＋
＝－＝.
跟踪训练4　(1)解　由an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{bn}是以首项为a1＋1＝2，
公比为2的等比数列，
所以bn＝an＋1＝2n.
(2)证明　易得Tn＝
＝2(2n－1)，
于是＝＝－
＝，
所以＋＋…＋＝
＝，
因为>0，
所以＋＋…＋<.
随堂演练
1．B　2.D　3.C　4.2 022习题课　数列求和(二)
[学习目标]　
1.熟练掌握等差和等比数列前n项和的结构特点以及各个符号的意义.
2.掌握错位相减法的一般过程和思路以及数列求和中的创新问题．
一、错位相减法
例1　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
反思感悟　(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
(2)用错位相减法求和时，应注意：
①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．
②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
跟踪训练1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)．
①求数列{an}的通项公式；
②若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
(2)在①Sn＝2n－3n－1，②an＋1＝2an＋3，a1＝－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．设数列{an}的前n项和为Sn，且________．
(ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(ⅱ)若bn＝n·(an＋3)，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
二、数列求和中的创新问题
例2　在①S3＝6，S5＝15；②公差为1，且a2，a4，a8成等比数列；③a1＝1，a2＋a3＋a5＋a6＝16，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足________．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)令cn＝[lg an ]，其中[x]表示不超过x的最大整数，求c1＋c2＋…＋c2 023.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
反思感悟　数列求和中的创新问题往往和函数、不等式、平面几何等实际问题相结合，重点考查数列求和的应用意识．
跟踪训练2　“提丢斯数列”，是由18世纪德国数学家提丢斯给出，具体如下：0,3,6,12,24,48,96,192，…，容易发现，从第3项开始，每一项是前一项的2倍；将每一项加上4得到一个数列：4,7,10,16,28,52,100,196，…；再将每一项除以10后得到：“提丢斯数列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0，…，则下列说法中，正确的是(　　)
A．“提丢斯数列”是等比数列
B．“提丢斯数列”的第99项为
C．“提丢斯数列”前31项和为＋
D．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项
1．知识清单：
(1)错位相减法求和．
(2)创新求和问题．
2．方法归纳：公式法、错位相减法、列举法．
3．常见误区：
(1)错位相减法中要注意项的符号以及化简合并．
(2)创新求和问题有时可用列举法．
1．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是(　　)
A．2n＋1＋n－2
B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2
D．2n＋1－n－2
2．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，则数列{an}的前10项的和为(　　)
A. B. C. D.
3．已知数列{an}满足an＝
定义使a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1,2 023]内所有“幸福数”的和为________．
4.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在欧洲，帕斯卡(1623～1662)在1654年发现这一规律，比杨辉要迟了393年．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，则在该数列中，第37项是________．
习题课　数列求和(二)
例1　解　当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
当x≠1时，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn
＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
综上可得，
Sn＝
跟踪训练1　(1)解　①因为Sn＝2an－2，当n＝1时，S1＝2a1－2，解得a1＝2，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，
所以an＝Sn－Sn－1
＝(2an－2)－(2an－1－2)
＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)．
所以数列{an}是首项为2，
公比为2的等比数列，
故an＝2×2n－1＝2n.
②由①知an＝2n，
则bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②得Tn＝
1＋－
＝1＋－
＝1＋－－
＝－.
所以数列{bn}的前n项和Tn＝3－.
(2)解　(ⅰ)若选①：∵Sn＝2n－3n－1，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3n－1－[2n－1－3(n－1)－1]＝2n－1－3，
又当n＝1时，a1＝S1＝－2满足上式，
故an＝2n－1－3.
若选②：由an＋1＝2an＋3，a1＝－2，
易得an＋1＋3＝2(an＋3)，
于是数列{an＋3}是以a1＋3＝1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋3＝2n－1，∴an＝2n－1－3.
(ⅱ)由(ⅰ)得bn＝n·2n－1，
从而Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，
2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
作差得－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
于是Tn＝(n－1)2n＋1.
例2　解　(1)选①，
设等差数列{an}的公差为d，
因为S3＝6，S5＝15，
所以
解得a1＝d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
选②，
因为等差数列{an}中，公差为1，
且a2，a4，a8成等比数列，
所以a2a8＝a，
即(a1＋1)(a1＋7)＝(a1＋3)2，
解得a1＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
选③，
因为等差数列{an}中，a1＝1，
a2＋a3＋a5＋a6＝16，
所以4a1＋12d＝16，
即4＋12d＝16，
解得d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
(2)由(1)知cn＝[lg an]＝[lg n]，
因为c1＝[lg 1]＝0，c10＝[lg 10]＝1，
c100＝[lg 100]＝2，c1 000＝[lg 1 000]＝3，
所以当1≤n≤9时，cn＝0，
当10≤n≤99时，cn＝1，
当100≤n≤999时，cn＝2，
当1 000≤n≤2 023时，cn＝3，
所以c1＋c2＋…＋c2 023＝0＋90×1＋900×2＋(2 023－999)×3＝4 962.
跟踪训练2　C　[记“提丢斯数列”为数列{an}，则当n≥3时，10an－4＝6·2n－3，解得an＝；
当n＝2时，a2＝0.7，符合该式；
当n＝1时，a1＝0.55≠0.4；
∴an＝
“提丢斯数列”不是等比数列，
故A错误；
“提丢斯数列”的第99项为a99＝，故B错误；
“提丢斯数列”前31项和为S31＝0.4＋30×＋×
＝12.4＋×＝＋，故C正确；
由an≤20，得a1＝0.55，成立；
n≥2时，an＝≤20，
即2n≤，解得n≤8，
a8＝＝19.6，a9＝＝38.8，
∴“提丢斯数列”中，不超过20的有8项，故D错误．]
随堂演练
1．D　2.C　3.2 036　4.190

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