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第三章 函数
第十一节 反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的相关概念 ☆☆ 根据以往中考来看，反比例函数在广东统考卷单独出题的几率相对比较大，出题的方法也较丰富，单一知识点的考察则多以选择题、填空题出现，综合性强的试题以解答题为主，例如一次函数与反比例函数的综合运用。本部分知识的考查难度基本不大，多数题目的技巧性可能会强一些，复习中需要多加注意，掌握好技巧应对解题将会显得更加便捷，复习时也要注重多加运用数形结合思想。
考点2 反比例函数的图象与性质 ☆☆
考点3 反比例函数的实际应用 ☆☆☆
考点1 反比例函数的相关概念
1.反比例函数的概念：
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做_____函数．反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k（k≠0）的形式．自变量x的取值范围是_____的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2.反比例函数解析式的确定：
确定的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出_____的值，从而确定其解析式．
3.求反比例函数表达式的一般步骤：
（1）设出函数的_____．
（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于k的方程．
（3）解方程，求得k的值．
（4）将所求得的k的值_____到函数表达式中．
考点2 反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的图象：
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．关于直线y=x，y=-x成轴对称．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2.反比例函数的性质：
（1）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第_____象限．在每个象限内，y随x的增大而_____．在两支上，第一象限y值大于第三象限y值．
（2）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第_____象限．在每个象限内，随x的增大而_____．在两支上，第二象限y值大于第四象限y值．
【注意】
（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数k决定；
（2）反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注意象限问题．
3.反比例函数中反比例系数的几何意义：
如下图，过反比例函数（k≠0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．
∵，∴xy=k,S=|k|．
4.常见的与反比例函数有关的图形面积：
考点3 反比例函数的实际应用
1.反比例函数应用问题的求解思路：
建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．
2.利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型：
建立函数模型的思路主要有两种：
（1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k的值；
（2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式．
考点1：反比例函数的相关概念
◇例题
1．（2023 大渡口区模拟）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．
2．（2024 大渡口区模拟）已知函数是反比例函数，则m的值为 　 ．
◆变式训练
1．（2023 未央区校级三模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝3x2 D．y＝6x+1
2．（2022 东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝　 　．
3．（2024 柳州一模）已知y是x的反比例函数，并且x＝2时，y＝6，求出y与x的函数解析式．
考点2：反比例函数的图象与性质
◇例题
1．（2023 顺德区一模）若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1
2．（2023 南海区校级三模）如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数图象，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023 梅县区一模）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
4．（2023 香洲区校级一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tanA＝2，则k的值为（　　）
A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8
5．（2022 南海区一模）反比例函数y＝的图象在二、四象限，则m应满足 　　．
6．（2023 高明区二模）根据函数和y＝x的图象写出一个满足的值，那x可能是 　　．
7．（2023 越秀区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，5）和点B（m，1）．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）当x＞0时，根据图象直接写出不等式的解集；
（3）若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的解析式．（结果用一般形式表示）
◆变式训练
1．（2023 增城区一模）已知反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≥2 C．a＜2 D．a＞2
2．（2024 深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023 怀集县二模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
4．（2023 佛山一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误 　 　．
5．（2023 南山区模拟）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则k的值为 　　．
6．（2022 深圳二模）已知△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为3
（1）写出y关于x的函数关系式　　；x的取值范围是　 　．
（2）列表，得
x … 1 2 3 4 …
y … 　　 　　 　　 　　 …
在给出的坐标系中描点并连线；
（3）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是图象上的两个点，且x1＞x2＞0，试判断y1，y2的大小．
7．（2023 新兴县一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点P（x，y）在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作PQ⊥y轴于点Q，记△CPQ的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
考点3：反比例函数的实际应用
◇例题
1．（2023 深圳一模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当R＜0.25时，I＜880 B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
2．（2023 从化区二模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.5m．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为 　　．
3．（2023 惠城区一模）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求该品牌电动车电池的电压；
（2）该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在7.2A﹣8A的范围，请你帮该小组确定这时电阻值的范围．
◆变式训练
1．（2023 南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（　　）
A．本实验中电压表的读数为2.5V
B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A
C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω
D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为
2．（2023 龙岗区校级一模）由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持R＞0），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过4A，则滑动变阻器阻值的范围是 　　．
3．（2023 越秀区校级模拟）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）当12≤x≤24时，求y与x的函数关系式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
4．（2023 佛山模拟）一定电压（单位：V）下电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例关系，小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）值的变化而变化的一组数据如表格所示．
R（Ω） … 2 3 4 6 12 …
I（A） … 24 16 12 8 4 …
请解答下列问题：
（1）这个蓄电池的电压值是
（2）请在图2的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式；
（3）若该电路的最小电阻值为1.5Ω，请求出该电路能通过的最大电流是多少．
1．（2022 广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（　　）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
2．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021 广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（　　）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
4．（2023 广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为 　　A．
5．（2021 广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
6．（2022 深圳）如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB中点，B'在反比例函数y＝图象上，则k的值为 　　．
7．（2022 广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
8．（2021 深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　　（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？　　．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：　　．
9．（2020 广州）如图，平面直角坐标系xOy中， OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求 OABC的周长．
10．（2021 广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
11．（2019 广东）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
12．（2020 广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝　2　；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
1．（2021 惠州三模）已知点P（2，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．（2023 三水区校级一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限 B．图象不可能与坐标轴相交
C．y随x的增大而增大 D．图象必经过点
3．（2023 越秀区模拟）若点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x1＜x2
4．（2023 东莞市校级一模）如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a与函数y＝的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
5．（2023 东莞市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（2，m）、B（6，n），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC交BD于点E．若BE＝2AE，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2023 香洲区校级一模）已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 　 　．
7．（2023 顺德区校级一模）物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则表中压强P1与P2的大小关系为：P1___P2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
S/m2 1 2 3
P/Pa P1 300 P2
8．（2023 潮阳区一模）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B（3，n）两点，则不等式k1x+b＞的解集是 　　．
9．（2023 陆河县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为　　．
10．（2023 三水区校级一模）为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）．
（1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式；
（2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长．
11．（2023 东莞市三模）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，直接写出点E的坐标．
12．（2023 东莞市校级一模）如图，在矩形ABCO中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC于点E．
（1）求k的值及直线DE的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求此时点P的坐标．
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第三章 函数
第十一节 反比例函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 反比例函数的相关概念 ☆☆ 根据以往中考来看，反比例函数在广东统考卷单独出题的几率相对比较大，出题的方法也较丰富，单一知识点的考察则多以选择题、填空题出现，综合性强的试题以解答题为主，例如一次函数与反比例函数的综合运用。本部分知识的考查难度基本不大，多数题目的技巧性可能会强一些，复习中需要多加注意，掌握好技巧应对解题将会显得更加便捷，复习时也要注重多加运用数形结合思想。
考点2 反比例函数的图象与性质 ☆☆
考点3 反比例函数的实际应用 ☆☆☆
考点1 反比例函数的相关概念
1.反比例函数的概念：
一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成y=kx-1或xy=k（k≠0）的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．
2.反比例函数解析式的确定：
确定的方法仍是待定系数法．由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．
3.求反比例函数表达式的一般步骤：
（1）设出函数的一般形式．
（2）根据已知条件（自变量与函数的对应值）代入表达式得到关于k的方程．
（3）解方程，求得k的值．
（4）将所求得的k的值代入到函数表达式中．
考点2 反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的图象：
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称．关于直线y=x，y=-x成轴对称．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．
2.反比例函数的性质：
（1）当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限．在每个象限内，y随x的增大而减小．在两支上，第一象限y值大于第三象限y值．
（2）当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限．在每个象限内，随x的增大而增大．在两支上，第二象限y值大于第四象限y值．
【注意】
（1）反比例函数的图象是双曲线，反比例函数的增减性由系数k决定；
（2）反比例函数图象的两支在两个象限内，根据自变量的值比较相应函数值的大小时，应注意象限问题．
3.反比例函数中反比例系数的几何意义：
如下图，过反比例函数（k≠0）图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．
∵，∴xy=k,S=|k|．
4.常见的与反比例函数有关的图形面积：
考点3 反比例函数的实际应用
1.反比例函数应用问题的求解思路：
建立反比例函数模型→求出反比例函数解析式→结合函数解析式、函数性质做出解答．
2.利用反比例函数解决实际问题，关键是建立函数模型：
建立函数模型的思路主要有两种：
（1）已知函数类型，直接设出函数的解析式，根据题目提供的信息求得k的值；
（2）题目本身未明确表明变量间的函数关系，此时需通过分析，先确定变量间的关系，再求解析式．
考点1：反比例函数的相关概念
◇例题
1．（2023 大渡口区模拟）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C． D．
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：A、y＝3x+1是一次函数，故此选项不符合题意；
B、y＝3x2是二次函数，故此选项不符合题意；
C、y＝，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
D、y＝是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．（2024 大渡口区模拟）已知函数是反比例函数，则m的值为 　 ．
【分析】根据反比例函数的定义得出m2﹣5＝﹣1，再求出m即可．
【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴m2﹣5＝﹣1，
解得：m＝±2．
故答案为：±2．
◆变式训练
1．（2023 未央区校级三模）下列关系式中，y是x的反比例函数的是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝3x2 D．y＝6x+1
【分析】根据反比例函数的概念：形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数进行分析即可．
【解答】解：A、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，故此选项符合题意；
C、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
D、不是反比例函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．（2022 东营模拟）函数y＝（m﹣2）是反比例函数，则m＝　 　．
【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣2）是反比例函数，
∴3﹣m2＝﹣1，m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
3．（2024 柳州一模）已知y是x的反比例函数，并且x＝2时，y＝6，求出y与x的函数解析式．
【分析】先设该函数解析式为y＝，再运用反比例函数的定义进行求解．
【解答】解：设该函数解析式为y＝，
得＝6，
解得k＝12，
∴y与x的函数解析式为y＝．
考点2：反比例函数的图象与性质
◇例题
1．（2023 顺德区一模）若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（　　）
A．k＜0 B．k＞0 C．k＞1 D．k＜1
【分析】根据反比例函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故选：C．
2．（2023 南海区校级三模）如图，一次函数y＝ax+b和反比例函数图象，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出a，b，c的正负，进而利用二次函数图象与性质判断即可．
【解答】解：观察图象可得：a＞0，b＜0，c＜0，
∴二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，
则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是
，
故选：B．
3．（2023 梅县区一模）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A、B两点，其中A点的横坐标为3，当y1＜y2时，x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣3或x＞3 B．x＜﹣3或0＜x＜3
C．﹣3＜x＜0或0＜x＜3 D．﹣3＜x＜0或x＞3
【分析】由正、反比例的对称性结合点A的横坐标即可得出点B的横坐标，根据函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式y1＜y2的解集．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的横坐标为3，
∴点B的横坐标为﹣3．
观察函数图象，发现：
当0＜x＜3或x＜﹣3时，正比例函数图象在反比例函数图象的下方，
∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．
故选：B．
4．（2023 香洲区校级一模）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，tanA＝2，则k的值为（　　）
A．4 B．8 C．﹣4 D．﹣8
【分析】作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，利用反比例函数系数的几何意义得到S△AOD＝1，再根据正切的意义得到tanA＝＝2，接着证明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性质得S△OBC＝2S△AOD＝4，所以 |k|＝4，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
【解答】解：作BC⊥x轴于C，AD⊥x轴于D，如图，则S△AOD＝×2＝1，
在Rt△AOB中，tanA＝＝2，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴＝（）2＝4，
∴S△OBC＝4S△AOD＝4，
∴ |k|＝4，
而k＜0，
∴k＝﹣8．
故选：D．
5．（2022 南海区一模）反比例函数y＝的图象在二、四象限，则m应满足 　　．
【分析】由反比例函数图象在二、四象限，可得m﹣5＜0，进而求解．
【解答】解：∵y＝的图象在二、四象限，
∴m﹣5＜0，
解得m＜5，
故答案为：m＜5．
6．（2023 高明区二模）根据函数和y＝x的图象写出一个满足的值，那x可能是 　　．
【分析】由函数的解析式可知函数和y＝x的图象都经过点（1，1），根据图象即可求得满足的值时，x的取值范围，在范围内取值即可．
【解答】解：函数和y＝x的图象都经过点（1，1），由图象可知，当0＜x＜1时，，
故x的值可能是，
故答案为：．
7．（2023 越秀区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，5）和点B（m，1）．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）当x＞0时，根据图象直接写出不等式的解集；
（3）若经过点B的抛物线的顶点为A，求该抛物线的解析式．（结果用一般形式表示）
【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后把B的坐标代入求得m的值；
（2）不等式的解集就是反比例函数的图象在一次函数的图象的交点以及反比例函数图象在上方时对应的x的范围；
（3）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（1，5），
∴，即n＝5，
∴反比例函数的表达式为，
∵点B（m，1）在反比例函数上，
∴，
∴m＝5．
∴反比例函数的表达式为，m＝5．
（2）不等式的解集为：0＜x≤1或x≥5．
（3）∵抛物线的顶点为A（1，5），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+5，
∵抛物线经过B（5，1），
∴1＝a（5﹣1）2+5，
解得，
∴抛物线的解析式是，
即．
∴该抛物线的解析式为．
◆变式训练
1．（2023 增城区一模）已知反比例函数y＝的图象在第二、第四象限，则a的取值范围是（　　）
A．a≤2 B．a≥2 C．a＜2 D．a＞2
【分析】根据反比例函数的图象位于二、四象限，3a﹣6＜0，解不等式即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限，
∴3a﹣6＜0，
则a＜2．
故选：C．
2．（2024 深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象可以确定，开口向上a＞0，对称轴在y轴右侧，b＜0，图象与y轴交于负半轴，c＜0，再判断一次函数y＝ax+b和反比例函数在一直角坐标系中的图象位置即可．
【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象可以确定，开口向上a＞0，对称轴在y轴右侧，b＜0，图象与y轴交于负半轴，c＜0，
∴一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，反比例函数分布在第二、四象限，选项A符合，
故选：A．
3．（2023 怀集县二模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）与反比例函数（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则关于x的不等式的解集是（　　）
A．﹣3＜x＜2 B．x＜﹣3或x＞2
C．﹣3＜x＜0或x＞2 D．0＜x＜2
【分析】一次函数y1＝kx+b落在与反比例函数y2＝图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2＝（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2．
故选：C．
4．（2023 佛山一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误 　 　．
【分析】根据反比例函数的图象和性质即可判断出答案．
【解答】解：图象中的错误：①因为x≠0，所以图象不能与y轴有交点；②图象应该是双曲线，不是折线．
故答案为：①因为x≠0，所以图象不能与y轴有交点；②图象应该是双曲线，不是折线．
5．（2023 南山区模拟）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在x轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则k的值为 　　．
【分析】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为45°，求出∠CEF＝45°，在Rt△CEF中根据特殊锐角三角函数值可求出CF、EF，在Rt△COF中，根据勾股定理求出OF，再根据△FOG∽△HOE，得出，进而求出S△HOE＝，最后根据反比例函数系数k的几何意义求出结果即可．
【解答】解：过点C作CF⊥OD，垂足为F，延长CF交OA于点G，过点E作EH⊥OA，垂足为H，
∵AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，∠OBA＝90°，
∴∠EOA+∠EAO＝（∠BOA+∠BAO）＝（180°﹣90°）＝45°＝∠CEF，
在Rt△CEF中，∠CEF＝45°，CE＝，
∴CF＝EF＝×＝1，
在Rt△COF中，OC＝，CF＝1，
∴OF＝＝2，
在Rt△OCF和Rt△OGF中，
∵∠OFC＝∠OFG＝90°，OF＝OF，∠COF＝∠GOF，
∴Rt△OCF≌Rt△OGF（ASA），
∴OG＝OC＝，FC＝FG＝1，
∵∠OFG＝90°＝∠OHE，∠FOG＝∠HOE，
∴△FOG∽△HOE，
∴，
又∵S△FOG＝×1×2＝1，
∴S△HOE＝|k|＝，
∴k＝（取正值），
故答案为：．
6．（2022 深圳二模）已知△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为3
（1）写出y关于x的函数关系式　　；x的取值范围是　 　．
（2）列表，得
x … 1 2 3 4 …
y … 　　 　　 　　 　　 …
在给出的坐标系中描点并连线；
（3）如果A（x1，y1），B（x2，y2）是图象上的两个点，且x1＞x2＞0，试判断y1，y2的大小．
【分析】（1）△ABC的面积＝xy＝3，即可求解；
（2）将x值代入函数表达式求出y值，描点绘出函数图象即可；
（3）从图象看，在x＞0时，y随x的增大而减小，即可求解．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝xy＝3，即y＝（x＞0），
故答案为：y＝；x＞0；
（2）对于y＝（x＞0），
当x＝1，2，3，4时，y＝6，3，2，，
故答案为6，3，2，；
描点绘出如下函数图象：
（3）从图象看，在x＞0时，y随x的增大而减小，
当x1＞x2＞0时，y1＜y2．
7．（2023 新兴县一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），双曲线y＝（x＞0）的图象经过线段BC的中点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点P（x，y）在反比例函数的图象上运动（不与点D重合），过P作PQ⊥y轴于点Q，记△CPQ的面积为S，求S关于x的解析式，并写出x的取值范围．
【分析】（1）首先根据题意求出C点的坐标，然后根据中点坐标公式求出D点坐标，由反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段BC的中点D，D点坐标代入解析式求出k即可；
（2）分两步进行解答，①当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，如图1，根据S△CPQ＝CQ PQ列出S关于x的解析式，②当P在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，依然根据S△CPQ＝PQ CQ列出S关于x的解析式．
【解答】解：（1）∵长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（2，3），
∴C（0，3），
∵D是BC的中点，
∴D（1，3），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴双曲线的解析式为y＝；
（2）当P在直线BC的上方时，即0＜x＜1，
如图1，∵点P（x，y）在该反比例函数的图象上运动，
∴y＝，
∴S△PCQ＝CQ PQ＝x （﹣3）＝﹣x（0＜x＜1），
当P在直线BC的下方时，即x＞1，如图2，同理求出S△PCQ＝PQ CQ＝x （3﹣）＝x﹣2（x＞1），
综上S＝．
考点3：反比例函数的实际应用
◇例题
1．（2023 深圳一模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例函数的图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当R＜0.25时，I＜880 B．I与R的函数关系式是I＝（R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22 D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【解答】解：设I与R的函数关系式是I＝（R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝（R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝（R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
2．（2023 从化区二模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.5m．则动力F随动力臂L的变化的函数关系式为 　　．
【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂，即可得出F与L之间的函数关系．
【解答】解：依题意得：1200×0.5＝FL，
∴．
故答案为：．
3．（2023 惠城区一模）已知某品牌电动车电池的电压为定值，某校物理小组的同学发现使用该电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求该品牌电动车电池的电压；
（2）该物理小组通过询问经销商得知该电动车以最高速度行驶时，工作电压为电池的电压，工作电流在7.2A﹣8A的范围，请你帮该小组确定这时电阻值的范围．
【分析】（1）由电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，设I＝，用待定系数法可得U＝48，即该品牌电动车电池的电压为48V；
（2）求出当I＝7.2A时，R＝＝6，当I＝8A时，R＝＝6，即可得到答案．
【解答】解：（1）由电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，设I＝，
把（3，16）代入得：16＝，
解得U＝48，
∴该品牌电动车电池的电压为48V；
（2）由（1）知I＝，
当I＝7.2A时，R＝＝6，
当I＝8A时，R＝＝6，
∴电阻值的范围是6Ω﹣6Ω．
◆变式训练
1．（2023 南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（　　）
A．本实验中电压表的读数为2.5V
B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A
C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω
D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为
【分析】由题意可求出电流I与电阻Rx之积为0.5×5＝2.5V，即本实验中电压表的读数为2.5 V，可判断A；由A选项可知，可判断D；将Rx＝10Ω代入，即得出I＝0.25A，可判断B；由图象可知当I＝0.1A时，R＝25Ω，可判断C．
【解答】解：由图象可知，电流I与电阻Rx之积为0.5×5＝2.5V，
∴本实验中电压表的读数为2.5 V，
∴电流I与电阻Rx之间的函数关系式为，选项A，D正确，故该选项不符合题意；
当Rx＝10Ω时，A，选项B正确，故该选项不符合题意；
当I＝0.1A时，由图象可知R＝25Ω≠20Ω，选项C错误，故该选项符合题意．
故选：C．
2．（2023 龙岗区校级一模）由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持R＞0），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过4A，则滑动变阻器阻值的范围是 　　．
【分析】设反比例函数解析式为I＝，将点（2，4）代入，求得百分率函数解析式为I＝；解不等式即可得到结论．
【解答】解：设反比例函数解析式为I＝，
将点（2，4）代入，得U＝8，
故百分率函数解析式为I＝；
∵电流不超过4安培，
则≤4，
∴R≥2，故滑动变阻器阻值的范围是R≥2．
故答案为：R≥2．
3．（2023 越秀区校级模拟）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）当12≤x≤24时，求y与x的函数关系式；
（2）大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
【分析】（1）应用待定系数法求函数解析式；
（2）先用待定系数法求AB段函数解析式，再把y＝12代入两个函数解析式求解，即可求得结论．
【解答】解：（1）当12≤x≤24时，设y与x的函数关系式为y＝（k≠0，x＞0），
把（12，20）代入解析式得：20＝，
解得k＝240，
∴当12≤x≤24时，y与x的函数关系式为y＝；
（2）设AB段的函数解析式为y＝mx+n，
把（0，10）和（4，20）代入解析式得：
，
解得，
∴AB段的函数解析式为y＝x+10，
把y＝12代入y＝x+10得，x+10＝12，
解得x＝0.8；
把y＝12代入y＝得，12＝，
解得x＝20．
∵20﹣0.8＝19.2（h），
∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.2h．
4．（2023 佛山模拟）一定电压（单位：V）下电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例关系，小明用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）值的变化而变化的一组数据如表格所示．
R（Ω） … 2 3 4 6 12 …
I（A） … 24 16 12 8 4 …
请解答下列问题：
（1）这个蓄电池的电压值是
（2）请在图2的坐标系中，通过描点画出电流I和电阻R之间的关系图象，并直接写出I和R之间的函数关系式；
（3）若该电路的最小电阻值为1.5Ω，请求出该电路能通过的最大电流是多少．
【分析】（1）根据电压＝电流×电阻即可求解；
（2）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（3）将R＝1.5Ω代入函数关系式后求得电流的值即可．
【解答】解：（1）根据电压＝电流×电阻，
∴蓄电池的电压值是24×2＝48（V）．
（2）设I＝，
将点（6，8）代入得8＝，
∴k＝48，
∴I＝；
（3）当R＝1.5时，I＝＝32，
电路能通过的最大电流是32A．
1．（2022 广东）点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，则y1，y2，y3，y4中最小的是（　　）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
【分析】根据k＞0可知增减性：在每一象限内，y随x的增大而减小，根据横坐标的大小关系可作判断．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴在第一象限内，y随x的增大而减小，
∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函数y＝图象上，且1＜2＜3＜4，
∴y4最小．
故选：D．
2．（2023 广州）已知正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，则一次函数y＝ax+b的图象一定不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据正比例函数的性质可以判断a的正负，根据反比例函数的性质可以判断b的正负，然后即可得到一次函数y＝ax+b的图象经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【解答】解：∵正比例函数y1＝ax的图象经过点（1，﹣1），点（1，﹣1）位于第四象限，
∴正比例函数y1＝ax的图象经过第二、四象限，
∴a＜0；
∵反比例函数y2＝的图象位于第一、第三象限，
∴b＞0；
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
3．（2021 广州）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，顶点C在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，若顶点B的横坐标为﹣，则点A的坐标为（　　）
A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）
【分析】如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，通过证得△COE∽△OAD得到＝，则OE＝2AD，CE＝2OD，设A（m，）（m＞0），则C（﹣，2m），由OE＝0﹣（﹣）＝得到m﹣（﹣）＝，解分式方程即可求得A的坐标．
【解答】解：如图，作AD⊥x轴于点D，CE⊥x轴于点E，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOD+∠COE＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠COE＝∠OAD，
∵∠CEO＝∠ODA，
∴△COE∽△OAD，
∴＝（）2，，
∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，
∴＝（）2，
∴＝2，
∴＝，
∴OE＝2AD，CE＝2OD，
设A（m，）（m＞0），
∴C（﹣，2m），
∴OE＝0﹣（﹣）＝，
∵点B的横坐标为﹣，
∴m﹣（﹣）＝，
整理得2m2+7m﹣4＝0，
∴m1＝，m2＝﹣4（不符合题意，舍去），
经检验，m＝是方程的解，
∴A（，2），
故选：A．
4．（2023 广东）某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为．当R＝12Ω时，I的值为 　　A．
【分析】直接将R＝12代入I＝中可得I的值．
【解答】解：当R＝12Ω时，I＝＝4（A）．
故答案为：4．
5．（2021 广州）一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1　　y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【分析】由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣4m＝0，
解得m＝4，
∵m＞0，
∴反比例函数y＝图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为＞．
6．（2022 深圳）如图，已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB中点，B'在反比例函数y＝图象上，则k的值为 　　．
【分析】连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，根据直角三角形斜边中线的性质和旋转的性质得出△AOA′是等边三角形，从而得出∠AOB＝∠A′OB′＝60°，即可得出∠B′OE＝60°，解直角三角形求得B′的坐标，进一步求得k＝．
【解答】解：连接AA′，作B′E⊥x轴于点E，
由题意知OA＝OA′，A'是OB中点，∠AOB＝∠A′OB′，OB′＝OB，
∴AA′＝OB＝OA′，
∴△AOA′是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OB＝2OA＝2，∠B′OE＝60°，
∴OB′＝2，
∴OE＝OB′＝1，
∴B′E＝OE＝，
∴B′（1，），
∵B'在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝1×＝．
故答案为：．
7．（2022 广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【分析】（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S＝，把点（20，500）代入解析式求出V的值；
（2）由d的范围和图象的性质求出S的范围．
【解答】解：（1）设底面积S与深度d的反比例函数解析式为S＝，把点（20，500）代入解析式得500＝，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S＝，
∵S随d的增大而减小，
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625，
8．（2021 深圳）探究：是否存在一个新矩形，使其周长和面积为原矩形的2倍、倍、k倍．
（1）若该矩形为正方形，是否存在一个正方形，使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？　　（填“存在”或“不存在”）．
（2）继续探究，是否存在一个矩形，使其周长和面积都为长为3，宽为2的矩形的2倍？
同学们有以下思路：
①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10，xy＝12，联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
根据此方法，请你探究是否存在一个矩形，使其周长和面积都为原矩形的倍；
②如图也可用反比例函数与一次函数证明l1：y＝﹣x+10，l2：y＝，那么，
a．是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？　　．
b．请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的，若不存在，用图象表达；
c．请直接写出当结论成立时k的取值范围：　　．
【分析】（1）由已知正方形得到周长和面积分别扩大2倍后的正方形边长，两边长不相等，故不存在；
（2）①设新矩形的长和宽，然后列出方程组，通过解方程组判断结果；
②a：根据图象得出结论；
b：结合①中结果，画出图象表达；
c：利用Δ求k得取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，给定正方形的周长为8，面积为4，
若存在新正方形满足条件，则新正方形的周长为16，面积为8，
对应的边长为：4和，不符合题意，
∴不存在新正方形的周长和面积是边长为2的正方形的2倍．
故答案为：不存在．
（2）①设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，
联立，得：2x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
②a：从图象看来，函数y＝﹣x+10和函数y＝图象在第一象限有两个交点，
∴存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的2倍．
故答案为：存在．
b：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝2.5，xy＝3，
联立，得：2x2﹣5x+6＝0，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程无解，
∴不存在新矩形使得其周长和面积为原矩形的倍．
从图象看来，函数y＝﹣x+2.5和函数y＝图象在第一象限没有交点，
∴不存在新矩形，使得周长和面积是原矩形的倍．
c：设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝5k，xy＝6k，
联立，得：x2﹣5kx+6k＝0，
∴Δ＝（﹣5k）2﹣4×1×6k＝25k2﹣24k，
设方程的两根为x1，x2，
当Δ≥0即25k2﹣24k≥0时，x1+x2＝5k＞0，x1x2＝6k＞0，
解得：k≥或k≤0（舍），
∴k≥时，存在新矩形的周长和面积均为原矩形的k倍．
故答案为：k≥．
9．（2020 广州）如图，平面直角坐标系xOy中， OABC的边OC在x轴上，对角线AC，OB交于点M，函数y＝（x＞0）的图象经过点A（3，4）和点M．
（1）求k的值和点M的坐标；
（2）求 OABC的周长．
【分析】（1）利用待定系数法求出k，再利用平行四边形的性质，推出AM＝CM，推出点M的纵坐标为2．
（2）求出点C的坐标，求出OA，OC的长即可解决问题．
【解答】解：（1）∵点A（3，4）在y＝上，
∴k＝12，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AM＝MC，
∴点M的纵坐标为2，
∵点M在y＝的图象上，
∴M（6，2）．
（2）∵AM＝MC，A（3，4），M（6，2）
∴C（9，0），
∴OC＝9，OA＝＝5，
∴平行四边形OABC的周长为2×（5+9）＝28．
10．（2021 广东）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
【分析】（1）把P（1，m）代入反比例函数解析式即可求得；
（2）分两种情况，通过证得三角形相似，求得BO的长度，进而即可求得k的值．
【解答】解：（1）∵P（1，m）为反比例函数y＝图象上一点，
∴代入得m＝＝4，
∴m＝4；
（2）令y＝0，即kx+b＝0，
∴x＝﹣，A（﹣，0），
令x＝0，y＝b，
∴B（0，b），
∵PA＝2AB，
由图象得，可分为以下两种情况：
①B在y轴正半轴时，b＞0，
∵PA＝2AB，
过P作PH⊥x轴交x轴于点H，
又B1O⊥A1H，∠PA1O＝∠B1A1O，
∴△A1OB1∽△A1HP，
∴，
∴B1O＝PH＝4×＝2，
∴b＝2，
∴A1O＝OH＝1，
∴|﹣|＝1，
∴k＝2；
②B在y轴负半轴时，b＜0，过P作PQ⊥y轴，
∵PQ⊥B2Q，A2O⊥B2Q，∠A2B2O＝∠PB2Q，
∴△A2OB2∽△PQB2，
∴，
∴AO＝|﹣|＝PQ＝，B2O＝B2Q＝OQ＝|b|＝2，
∴b＝﹣2，
∴k＝6，
综上，k＝2或k＝6．
11．（2019 广东）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．
【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；
（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；
（3）根据S△AOP：S△BOP＝1：2，可得答案．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点A（﹣1，4），B（4，n），
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，
∴n＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，
∴，
解得：k1＝﹣1，b＝3，
∴一次函数的解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC＝×3×1＝，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×1+×4＝，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP＝×＝，
∴S△AOC＜S△AOP，S△COP＝﹣＝1，
∴×3 xP＝1，
∴xP＝，
∵点P在线段AB上，
∴y＝﹣+3＝，
∴P（，）．
12．（2020 广东）如图，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝　2　；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．
【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则k＝s t＝st＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y＝﹣，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解答】解：（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则k＝s t＝st＝2，
故答案为2；
（2）连接OD，
则△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD＝×8﹣×2＝3；
（3）方法一：
设点D（m，），则点B（4m，），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，），
设直线DE的表达式为：y＝px+n，将点D、E的坐标代入上式得并解得，
直线DE的表达式为：y＝﹣，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
又∵FG∥BD，
故四边形BDFG为平行四边形．
方法二：
设点D（m，），则点B（4m，），
∵点G、O关于点C对称，则点G（8m，0），
∴点E（4m，），
∴BD＝4m﹣m＝3m，BE＝，EC＝，
∵BD∥OG，
∴△BDE∽△CFE，
∴，即，
解得：CF＝m，
∴FG＝OG﹣OC﹣CF＝8m﹣4m﹣m＝3m＝BD，
又∵FG∥BD，
∴四边形BDFG为平行四边形．
1．（2021 惠州三模）已知点P（2，m）在反比例函数y＝﹣的图象上，则点P关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（2，1）
【分析】将点P（2，m）代入反比例函数y＝﹣，先求出点P的坐标，再求出它关于原点的对称点的坐标．
【解答】解：点P（2，m）代入反比例函数y＝﹣得：
m＝﹣1，
∴点P的坐标是（2，﹣1），
∴点P关于原点的对称的点的坐标为（﹣2，1），
故选：A．
2．（2023 三水区校级一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　）
A．图象位于第一、三象限
B．图象不可能与坐标轴相交
C．y随x的增大而增大
D．图象必经过点
【分析】根据反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：∵，k＝﹣4＜0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A、C不符合题意；
当x＝时，则y＝﹣，
∴函数图象经过点（，﹣），图象不可能与坐标轴相交，故选项D不符合题意，选项B符合题意；
故选：B．
3．（2023 越秀区模拟）若点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　）
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2 C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x1＜x2
【分析】直接把各点坐标代入反比例函数的解析式，求出x1，x2，x3的值，再比较大小即可．
【解答】解：∵点A（x1，﹣2），B（x2，2），C（x3，6）都在反比例函数的图象上，
∴﹣2＝﹣，解得x1＝6；
2＝﹣，解得x2＝﹣6；
6＝﹣，解得x3＝﹣2，
∵﹣6＜﹣2＜6，
∴x2＜x3＜x1．
故选：A．
4．（2023 东莞市校级一模）如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a与函数y＝的图象可能是（　　）
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数图象所在的象限可以判定a的符号，根据a的符号来确定直线所经过的象限．
【解答】解：若双曲线经过第一、三象限，则a＞0．直线应该经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴，
若双曲线经过第二、四象限，则a＜0．所以直线应该经过第二、四象限，且与y轴交于负半轴，
故选项A正确；
故选：A．
5．（2023 东莞市校级二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A（2，m）、B（6，n），AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC交BD于点E．若BE＝2AE，则k的值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】把点A和点B的坐标分别代入反比例函数，得到m＝，n＝，从而得到OC＝2，BD＝6，AC＝，OD＝，进一步得到DE＝OC＝2，EC＝OD＝，由BE＝2AE，得到4＝2×，求得k＝6．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点A（2，m）、B（6，n），
∴m＝，n＝，
∴A（2，），B（6，），
∴OC＝2，BD＝6，AC＝，OD＝，
∴DE＝OC＝2，EC＝OD＝，
∴BE＝BD﹣DE＝6﹣2＝4，AE＝AC﹣EC＝＝，
∵BE＝2AE，
∴4＝2×，
解得k＝6．
故选：C．
6．（2023 香洲区校级一模）已知反比例函数的图象位于一、三象限，则m的取值范围为 　 　．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于一、三象限，
∴m﹣1＞0，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
7．（2023 顺德区校级一模）物理学中，在压力F不变的情况下，某物体承受的压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，则表中压强P1与P2的大小关系为：P1___P2．（填“＞”，“＝”或“＜”）
S/m2 1 2 3
P/Pa P1 300 P2
【分析】根据表格数据求得反比例函数解析式，根据反比例函数的性质即可求解．
【解答】解：∵压强P与它的受力面积S成反比例函数关系，设，
依题意F＝2×300＝600，
∴反比例函数解析式为：，600＞0，
∴P随S的增大而减小，
∵1＜3，
∴P1＞P2，
故答案为：＞．
8．（2023 潮阳区一模）如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B（3，n）两点，则不等式k1x+b＞的解集是 　　．
【分析】从函数图象看，当x＜0和1＜x＜3时，一次函数y＝k1x+b的图象在反比例函数y＝的图象的上方，从而求解．
【解答】解：从函数图象看，当x＜0或1＜x＜3时，一次函数y＝k1x+b的图象在反比例函数y＝的图象的上方，
故不等式k1x+b＞的解集为x＜0或1＜x＜3
故答案为：x＜0或1＜x＜3．
9．（2023 陆河县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴于点C，连接OA，则△OAC面积为　　．
【分析】先根据△OAC的面积等于3和反比例函数系数k的几何意义，可得出|k|＝3，进而求出k的值．
【解答】解：∵y＝，即y＝，
∴k＝，
∴S△OAC＝|k|＝，
故答案为：．
10．（2023 三水区校级一模）为防止病菌滋生，某校定期对教室进行喷雾消毒，某次消毒作业时，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的正比例函数，喷雾完成后y是x的反比例函数（如图）．
（1）当x＞5时，求y关于x的函数解析式；
（2）已知每立方米空气中含药量不低于4mg时，消毒效果最好，求本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长．
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y（mg）是时间x（min）的函数解析式，再把y＝4代入两个解析式求值，再相减即可．
【解答】解：（1）当x＞5时，设y关于x的函数解析式为y＝，
把（5，8）代入解析式得：8＝，
解得k＝40，
∴当x＞5时，y关于x的函数解析式为y＝；
（2）根据题意得，当0＜x≤5时，y关于x的函数解析式为y＝x，
把y＝4代入y＝x得：x＝；
把y＝4代入y＝得：x＝10．
∵10﹣＝＝7.5（min），
∴本次消毒每立方米空气中含药量不低于4mg的时长为7.5min．
11．（2023 东莞市三模）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）结合图象，直接写出不等式＜kx+b的解集；
（3）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，直接写出点E的坐标．
【分析】（1）先把A点坐标代入y＝中求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B（12，1），然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可；
（3）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出直线AB的解析式，再求出点P的坐标（0，7），得出PE＝|m﹣7|，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，求出m的值，从而得出点E的坐标．
【解答】解：（1）把A（2，6）代入y＝，得m＝2×6＝12，
∴反比例函数解析式为y＝，
把B（n，1）代入y＝得n＝12，则B（12，1），
把A（2，6），B（12，1）代入y＝kx+b得，解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+7；
（2）由图象可知，不等式＜kx+b的解集为x＜0或2＜x＜12；
（3）设直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7），
∴PE＝|m﹣7|，
∵S△AEB＝S△PEB﹣S△PEA＝5，
∴×|m﹣7|×12﹣×|m﹣7|×2＝5．
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5，
∴|m﹣7|＝1．
∴m1＝6，m2＝8，
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
12．（2023 东莞市校级一模）如图，在矩形ABCO中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC于点E．
（1）求k的值及直线DE的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求此时点P的坐标．
【分析】（1）根据矩形的性质可求出点B，点D的坐标，将点D的坐标代入反比例函数关系式可求出k的值，进而确定点E的坐标，再根据待定系数法求出直线DE的关系式即可；
（2）求出点D关于x轴的对称点D′的坐标，求出直线ED′与x轴的交点即可满足△PDE的周长最小；
【解答】解：（1）∵在矩形ABCO中，AB＝2，BC＝4，
∴点B（4，2），
∵点D是边AB的中点，
∴点D（4，1），
∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4×1＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
当y＝2时，即2＝，
解得x＝2，
∴点E（2，2），
设直线DE的关系式为y＝kx+b，则
，
解得，，
∴直线DE的关系式为y＝﹣x+3；
（2）点D（4，1）关于x轴的对称点D′的坐标为（4，﹣1），
直线ED′与x轴的交点即为所求的点P，此时△PDE的周长最小，
设直线ED′的关系式为y＝ax+c，则
，
解得，
∴直线ED′的关系式为y＝﹣x+5，
当y＝0时，即﹣x+5＝0，
解得x＝，
∴直线ED′与x轴的交点P（，0），
∴当△PDE的周长最小时，点P（，0）．
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