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19.3.4 菱形的性质和判定（第2课时）
学习目标 ：
1.复习并巩固菱形的概念和性质，注意菱形性质的运用；
2.探索菱形的判定方法.
学习重难点 ：
重点是掌握菱形的判定，难点是菱形判定定理的准确应用．
学 法 指 导 ：
自学课本第87-88页内容，根据菱形的性质，讨论总结菱形的多种判定方法.
课前自主预习问题：
1.根据菱形的定义，应该说： 的平行四边形是菱形，这是菱形的判定方法之一.
2.根据菱形的有关性质，从边的角度说： 的四边形是菱形，这是菱形的判定方法之二.注意，仅从角的角度考虑，有什么条件判断某四边形是菱形吗？
3.根据菱形的有关性质，从对角线的角度，你能猜想到：对角线 的平行四边形是菱形，对角线 的四边形是菱形. 这是判定方法三.
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.我们知道：如果四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形一定是平行四边形.能判定这个四边形一定是菱形吗？为什么？
2. 操作探究：
（1）如右图，以点A为端点任意画两条线段
AB = AD，再分别以点B、D为圆心，AB长为半径画
弧，两弧相交于点C，连接BC、DC,四边形ABCD是
菱形吗？为什么？
结论：定理1 .
（2）如右图，画两条互相垂直的直线l1和l2，两直线相交于点O，在l1上取两点A、C,使OA = OC, 在l2上取两点B、D,使OB = OD,顺次连接AB、BC、
CD、DA,四边形ABCD是菱形吗？为什么？
结论：定理2 .
此结论的另一种说法是：
.
3.精典例题.
例6如图19-41,在 ABCD中，AC = 8, BD =6,
AB =5,求AD的长
自结测试：
1.如图，已知，，将沿边翻折，得到的与原拼成的四边形是菱形、其依据正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是菱形
2．下列说法中正确的是（ ）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
3.如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（ ）
甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
4.在的两边上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为 ．
拓展性训练
5.已知，是△ABC的角平分线，交AB于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
6.如图，在中，点，分别在，上，连接，，，若，．求证：四边形是菱形．
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19.3.4 菱形的性质和判定（第2课时）
学习目标 ：
1.复习并巩固菱形的概念和性质，注意菱形性质的运用；
2.探索菱形的判定方法.
学习重难点 ：
重点是掌握菱形的判定，难点是菱形判定定理的准确应用．
学 法 指 导 ：
自学课本第87-88页内容，根据菱形的性质，讨论总结菱形的多种判定方法.
课前自主预习问题：
1.根据菱形的定义，应该说： 的平行四边形是菱形，这是菱形的判定方法之一.
【答案】有一组邻边相等
2.根据菱形的有关性质，从边的角度说： 的四边形是菱形，这是菱形的判定方法之二.注意，仅从角的角度考虑，有什么条件判断某四边形是菱形吗？
【答案】四边都相等；两组对角分别相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。
3.根据菱形的有关性质，从对角线的角度，你能猜想到：对角线 的平行四边形是菱形，对角线 的四边形是菱形. 这是判定方法三.
【答案】互相垂直；互相垂直，且一条对角线平分一组对角
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.我们知道：如果四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形一定是平行四边形.能判定这个四边形一定是菱形吗？为什么？
答： 不能判定。因为根据菱形的定义，两组邻边相等的四边形是菱形。
2. 操作探究：
（1）如右图，以点A为端点任意画两条线段
AB = AD，再分别以点B、D为圆心，AB长为半径画
弧，两弧相交于点C，连接BC、DC,四边形ABCD是
菱形吗？为什么？
【答案】是菱形。因为根据操作可知，
AD=AB=BC=CD
根据菱形定义可得ABCD是菱形。
结论：定理1 .
【答案】四边都相等的四边形是菱形。
（2）如右图，画两条互相垂直的直线l1和l2，两直线相交于点O，在l1上取两点A、C,使OA = OC, 在l2上取两点B、D,使OB = OD,顺次连接AB、BC、
CD、DA,四边形ABCD是菱形吗？为什么？
【答案】是菱形。
根据操作可知，AO=DO,OC=OB,
可知，ΔADOΔCBO(SAS)
所以，AD=BC,∠DAC=ACB
所以，AD//BD,AD=BC
所以，四边形ABCD是平行四边形
因为，DB⊥AC
所以四边形ABCD是菱形
结论：定理2 .
【答案】对角线互相垂直的平行四边形是菱形
此结论的另一种说法是：
.
【答案】对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
3.精典例题.
例6如图19-41,在 ABCD中，AC = 8, BD =6,
AB =5,求AD的长
解.因为四边形 ABCD是平行四边形,所以
OA =AC=4,OB=BD=3.
又∵ AB =5,满足AB2= 0A2 + OB2,
∴ ΔAOB为直角三角形,即OA⊥OB.
∴ ABCD是菱形，AD = AB = 5.
自结测试：
1.如图，已知，，将沿边翻折，得到的与原拼成的四边形是菱形、其依据正确的是（ ）
A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．一组邻边相等的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是菱形
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的判定，折叠的性质，根据折叠的性质和已知条件可证明，再由四边形线段的四边形是菱形可得答案．
【详解】解：由折叠的性质可得，
又∵，
∴，
∴四边形是菱形，
故选A．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．有一组对边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定；运用矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质和判定可求解．
【详解】解：A、有一组对边平行的四边形是平行四边形不一定是平行四边形（如梯形），故该选项错误；
B、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故该选项错误；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故该选项正确；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故该选项错误；
故选：C．
3.如图，在给定的平行四边形上，作一个菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点，连接，则四边形为菱形；乙：以为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，作的垂直平分线交于，则四边形为菱形；根据两人的做法可判断（ ）
甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
【答案】C
【分析】由甲作图可得，，证明四边形是平行四边形，根据，证明四边形是菱形，可判断甲的正误；由乙作图可得，，，在的垂直平分线上，，则，四边形为菱形，进而可判断乙的正误．
【详解】解：由甲作图可得，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形，甲正确，故符合要求；
由乙作图可得，，，在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，乙正确，故符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了作垂线，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握菱形的判定，平行四边形的判定与性质，等角对等边是解题的关键．
4.在的两边上分别截取线段、，使；分别以点、为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，根据作图得到四边形为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可．
【详解】解：由作图可知：，
∴四边形为菱形，
∴四边形的面积为，
∴；
故答案为：．
拓展性训练
5.已知，是△ABC的角平分线，交AB于点E，交于点F．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练的利用菱形的判定方法进行证明是解本题的关键．
先证明四边形为平行四边形，再证明可得从而可得结论．
【详解】证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵是的一条角平分线，
∴
∴
∴四边形为菱形．
6.如图，在中，点，分别在，上，连接，，，若，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和全等三角形的判定与性质．先由平行四边形的性质和题意证明，得到，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可证明．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
．
，，
，．
．
．
又，，
．
．
是菱形．
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