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19.3.3.菱形的性质和判定（第1课时）
学习目标 ：
1.理解菱形的概念，了解菱形与矩形、平行四边形的关系；
2.探索菱形的性质，注意菱形性质的运用.
学习重难点 ：
重点是掌握菱形的性质，难点是菱形性质定理的准确、熟练应用．
学 法 指 导 ：
自学课本第86-87页内容，了解矩形的性质，按导学案内容独立完成或小组合作完成相应作业.
课前自主预习问题：
1. 的平行四边形是菱形；
2.菱形与平行四边形相同，两组 分别平行且相等，两组 分别相等，对角线 ；菱形与平行四边形不同的是有一组邻边 ，进而我们推导出它的四条边都 ；而且菱形的对角线 .
3.菱形的一边为3cm ，则该它的周长是 .菱形的一个内角为400，则它的其他三个内角分别是 ；若菱形的两条对角线分别是12cm和16cm，则它的四条边的长都是 cm,面积是 cm2.一般地，若菱形的两条对角线分别是a和b，则它的面积为 .
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.用你前面自制的平行四边形模具演示平行四边形的移动过程，并注意改变边的长度，当移动到有一组邻边相等时停止，你能得到什么图形？引出菱形定义．
的平行四边形是菱形 ；菱形也是一种特殊的平行四边形.
2.按照上面的定义，在右面的空白处画一个菱形，
用字母表示出来，度量出它的四条边的长、四个
角的度数和两条对角线之间的夹角，还有对角线
与各边的夹角，记录如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
∠AOB = , ∠BOC = ；
∠BAC = , ∠DAC = ；∠BCA = , ∠DCA = ；
∠ABD = , ∠CBD = ；∠ADB = , ∠CDB = ；
3.根据以上数据，你能得出菱形的有关性质吗？请你用文字表达出来：
4.因为菱形是一个轴对称图形，你能用等腰三角形的性质或轴对称的性质证明“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”吗？（画出相应的图形）
已知:四边形ABCD是菱形,对角线AC , BD相交于点O
求证:AC⊥BD
5.精典例题
例5 已知菱形的两条对角线长分别为a, b,求菱形的面积
自结测试：
菱形的面积为，一条对角线长是，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接，当时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5.如图，菱形的对角线，相交于点，为中点，，则菱形的周长为 ．
6．边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是 ．
7.如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
(1)求证：；
(2)若为中点，，求的长．
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19.3.3.菱形的性质和判定（第1课时）
学习目标 ：
1.理解菱形的概念，了解菱形与矩形、平行四边形的关系；
2.探索菱形的性质，注意菱形性质的运用.
学习重难点 ：
重点是掌握菱形的性质，难点是菱形性质定理的准确、熟练应用．
学 法 指 导 ：
自学课本第86-87页内容，了解矩形的性质，按导学案内容独立完成或小组合作完成相应作业.
课前自主预习问题：
1. 的平行四边形是菱形；
【答案】有一组邻边相等
2.菱形与平行四边形相同，两组 分别平行且相等，两组 分别相等，对角线 ；菱形与平行四边形不同的是有一组邻边 ，进而我们推导出它的四条边都 ；而且菱形的对角线 .
【答案】对边，对角，互相平分，相等，相等，互相垂直
3.菱形的一边为3cm ，则该它的周长是 .菱形的一个内角为400，则它的其他三个内角分别是 ；若菱形的两条对角线分别是12cm和16cm，则它的四条边的长都是 cm,面积是 cm2.一般地，若菱形的两条对角线分别是a和b，则它的面积为 .
【答案】12cm,1400,400,1400,400,3，5,96,ab
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.用你前面自制的平行四边形模具演示平行四边形的移动过程，并注意改变边的长度，当移动到有一组邻边相等时停止，你能得到什么图形？引出菱形定义．
的平行四边形是菱形 ；菱形也是一种特殊的平行四边形.
【答案】有一组邻边相等
2.按照上面的定义，在右面的空白处画一个菱形，
用字母表示出来，度量出它的四条边的长、四个
角的度数和两条对角线之间的夹角，还有对角线
与各边的夹角，记录如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
∠AOB = , ∠BOC = ；
∠BAC = , ∠DAC = ；∠BCA = , ∠DCA = ；
∠ABD = , ∠CBD = ；∠ADB = , ∠CDB = ；
【答案】5，5，5，5；600，1200，600，1200，
900，900，600，600，600，600，300，300，300，300
3.根据以上数据，你能得出菱形的有关性质吗？请你用文字表达出来：
①菱形的四条边都相等
②菱形的对角线互相垂直
4.因为菱形是一个轴对称图形，你能用等腰三角形的性质或轴对称的性质证明“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”吗？（画出相应的图形）
已知:四边形ABCD是菱形,对角线AC , BD相交于点O
求证:AC⊥BD
证明:
∵ABCD是萎形
∴AO=CO (平行四边形对角线互相平分)
∵AB=BC
∴AC⊥BD (等腰三角形三线合一 )
∵ABCD是萎形
∴∠DAC=∠DCA
∵ΔAD0ΔCB0(Hl)
∴∠DAC=∠ACB
∴∠DCA=∠ACB
所以，每条对角线平分一组对角。
5.精典例题
例5 已知菱形的两条对角线长分别为a, b,求菱形的面积
解：设菱形ABCD的两条对角线AC, BD相交于点0(图19-38).AC=a,BD=b.
因为四边形ABCD是菱形,所以
AC⊥BD. (菱形的对角线互相垂直)
所以，S菱形ABCD = SΔABD +SΔCBD
=BD·AO +BD·OC
=BD·(AO+0C)
=BD .AC =ab.
自结测试：
菱形的面积为，一条对角线长是，那么菱形的另一条对角线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的面积公式；
设菱形的另一条对角线长为，根据菱形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设菱形的另一条对角线长为，
由题意得：，
解得：，
即菱形的另一条对角线长为，
故选：D．
2.如图，在菱形中，，，，分别是，的中点，，相交于点，连接，，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据菱形的性质和，可知是等边三角形，是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，即可判断①；根据可证，根据全等三角形的性质可得，再根据含角的直角三角形的性质可判断②；根据为直角三角形，可知，进一步可知，即可判断③；根据勾股定理可得，再根据三角形面积的求法即可判断④．从而得出答案．
【详解】解：在菱形中，，
，
，
是等边三角形，是等边三角形，
，，
，分别是，的中点，
，
，
，，
，
故①正确；
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
为直角三角形，
，
，
与不全等，
故③错误；
∵菱形，，
∴
，，，
根据勾股定理，得，
，
故④正确，
故正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
3.如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点F，E为垂足，连接，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质得，再根据菱形的性质得到，再证明，进而得出，，可知，然后根据等腰三角形的性质得，进而得出答案．
【详解】连接．
∵是的垂直平分线，
∴．
∵四边形是菱形，
∴．，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键．
4.如图，菱形中，，边，E为边的中点，P为边上的一点，连接，当时，线段的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
如图，连接，证明是等边三角形，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵E为边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5.如图，菱形的对角线，相交于点，为中点，，则菱形的周长为 ．
【答案】
【分析】此题考查了菱形的性质和中位线定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和中位线定理的应用．
【详解】∵四边形是菱形，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，
∴菱形的周长为，
故答案为：．
6．边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是 ．
【答案】/24平方厘米
【分析】此题主要考查了菱形的性质．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可．
【详解】解：如图所示：
设菱形中，对角线，
∵四边形是菱形，对角线，
∴，
，
，
∴菱形的面积为∶．
故答案为：．
7.如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点，在菱形的对角线上．
(1)求证：；
(2)若为中点，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】对于（1），根据矩形的性质得，，进而得出，再根据菱形的性质可得，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案；
对于（2），先根据菱形的性质得，，再说明四边形是平行四边形，可得，然后根据矩形的对角线相等得出答案.
【详解】（1）四边形是矩形，
，，
．
，，
．
四边形是菱形，
，
，
，
；
（2）连接，
四边形是菱形，
，．
为中点，
．
，
，，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形，
，，
．
【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定等，灵活选择性质定理是解题的关键．
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