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19.3.2 矩形的性质和判定（第2课时）
学习目标 ：
1.复习并巩固矩形的概念和性质，注意矩形性质的运用；
2.探索矩形的判定方法.
学习重难点 ：重点是掌握矩形的判定，难点是矩形判定定理的准确应用．
学 法 指 导 ：自学课本第84-85页内容，根据矩形的性质，讨论总结矩形的多种判定方法.
课前自主预习问题：
1.根据矩形的定义，应该说： 的平行四边形是矩形，这是矩形的判定方法之一.
2.根据矩形的有关性质，从角的角度说： 的四边形是矩形，这是矩形的判定方法之二.注意，仅从边的角度考虑，有什么条件判断某四边形是矩形吗？
3.根据矩形的有关性质，从对角线的角度，你能猜想到：对角线 的平行四边形是矩形，对角线 的四边形是矩形，这是判定方法三.
4.直角三角形斜边上的中线等于 ，在RtΔABC中，∠ACB=900，BC = 4cm,
AC = 3cm,D为AB边上的中点，则CD = .
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.思考：如果四边形的两组对边分别相等，这个四边形一定是平行四边形吗？为什么？能判定这个四边形一定是矩形吗？为什么？
2.工人师傅在做门窗框架、桌面等矩形物体时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你能说出其中的道理吗？
定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
由此,我们得到矩形的判定方法:
3.定理的证明(课本例2)
已知：如图，在□ ABCD中，AC=BD.
求证：□ ABCD是矩形.
证明 ∵四边形ABCD是□ ，
∴AD = BC,( )
在ΔADC和ΔBCD中，
∵
∴ΔADC≌ΔBCD（ ）
∴∠ADC = ∠BCD.
又∵ ∠ADC + ∠BCD = 1800 ，
∴ ∠ADC = ∠BCD = 900 .
∴□ ABCD是矩形.（ ）
4.典型例题：
例3 已知: 如图19-34,在ΔABC中,AB =AC,点D是AC的中点,直线AE // BC,过点D作直线EF // AB,分别交AE, BC于点E, F.求证:四边形AECF是矩形.
例4 已知: 如图19- 35,在四边形ABCD中,∠A =
∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
自结测试：
1.下列条件中,不能判定四边形为矩形的是( )
A.对角线相等且互相平分的四边形
B .有一组邻角相等的平行四边形
C .对角线相等且垂直的四边形
D.有一组对角互补的平行四边形
2.在数学活动课上,同学们在判断一个四边形]框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案,其中正确的是( )
A .测量两组对边是否分别相等 B .测量其中三个内角是否都为直角
C .测量对角线是否相等 D .测量对角线是否互相平分
3.如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　）
A． B． C． D．
4.如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
5.如图所示，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E ，使DE= AD，连接EB. EC ， DB，添加条件 _, 能使四边形DBCE成为矩形,并说明理由
6.如图，在平行四边形ABCD中, DE⊥AB于点E. BF 1 AB交CD于点F ,求证:四边形DEBF是矩形.
7.下面是小橙设计的“已知两相交直线作矩形”的尺规作图过程：
已知；如图，直线与直线相交于点O． 求作：矩形，使矩形的四个顶点在这两条直线上． 作法： ①在直线上任取一点A（不与点O重合） ②以点O为圆心，为半径作弧依次与直线、于点B、C、D； ③连接，，，． 即四边形就是所求作的矩形．
(1)使用直尺和圆规，按照作法补全图（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：
∵，，
∴四边形是 ．（ ）
∵，
∴，即，
∴四边形是矩形．（ ）（填推理的依据）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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19.3.2 矩形的性质和判定（第2课时）
学习目标 ：
1.复习并巩固矩形的概念和性质，注意矩形性质的运用；
2.探索矩形的判定方法.
学习重难点 ：重点是掌握矩形的判定，难点是矩形判定定理的准确应用．
学 法 指 导 ：自学课本第84-85页内容，根据矩形的性质，讨论总结矩形的多种判定方法.
课前自主预习问题：
1.根据矩形的定义，应该说： 的平行四边形是矩形，这是矩形的判定方法之一.
【答案】三个角是直角的四边形是矩形。
2.根据矩形的有关性质，从角的角度说： 的四边形是矩形，这是矩形的判定方法之二.注意，仅从边的角度考虑，有什么条件判断某四边形是矩形吗？
【答案】三个角是直角的四边形是矩形；两条邻边互相垂直的四边形是矩形。
3.根据矩形的有关性质，从对角线的角度，你能猜想到：对角线 的平行四边形是矩形，对角线 的四边形是矩形，这是判定方法三.
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形。
4.直角三角形斜边上的中线等于 ，在RtΔABC中，∠ACB=900，BC = 4cm,
AC = 3cm,D为AB边上的中点，则CD = .
【答案】斜边的一半，2.5
课堂合作学习，探究新知——学生交流展示：
1.思考：如果四边形的两组对边分别相等，这个四边形一定是平行四边形吗？为什么？能判定这个四边形一定是矩形吗？为什么？
【答案】一定是平行四边形，根据平行四边形的性质1可知。
2.工人师傅在做门窗框架、桌面等矩形物体时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你能说出其中的道理吗？
定理：对角线相等的平行四边形是矩形。
【答案】根据三解形全等和平行线性质可证。
由此,我们得到矩形的判定方法:
【答案】对角线相等的平行四边形是矩形。
3.定理的证明(课本例2)
已知：如图，在□ ABCD中，AC=BD.
求证：□ ABCD是矩形.
证明 ∵四边形ABCD是□ ，
∴AD = BC,( )
在ΔADC和ΔBCD中，
∵
∴ΔADC≌ΔBCD（ ）
∴∠ADC = ∠BCD.
又∵ ∠ADC + ∠BCD = 1800 ，
∴ ∠ADC = ∠BCD = 900 .
∴□ ABCD是矩形.（ ）
【答案】平行四边形对边相等，平行四边形对边相等，平行四边形对角线相等，SSS，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（矩形定义）
4.精典例题：
例3 已知: 如图19-34,在ΔABC中,AB =AC,点D是AC的中点,直线AE // BC,过点D作直线EF // AB,分别交AE, BC于点E, F.求证:四边形AECF是矩形.
证明:∵ AE// BC,
∴∠1=∠2.
在△ADE和△CDF中，
∵ ∠1=∠2,∠ADE=∠CDF,AD=CD,
∴△ADE≌△CDF.
∴AE = CF.
所以四边形AECF是平行四边形.
又因为四边形ABFE是平行四边形，
∴EF = AB.
∵ AC=AB，
∴EF = AC.
∴四边形AECF是矩形
例4 已知: 如图19- 35,在四边形ABCD中,∠A =
∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A =∠B=∠C=90°
∴∠B +∠C= 180°，∠A +∠B= 180°.
∴AB// CD, AD // BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
所以四边形ABCD是矩形
自结测试：
1.下列条件中,不能判定四边形为矩形的是( )
A.对角线相等且互相平分的四边形
B .有一组邻角相等的平行四边形
C .对角线相等且垂直的四边形
D.有一组对角互补的平行四边形
[答案] C
[分析]本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，根据矩形的判定定理分别进行分析判断即可.
[详解]解: A. 对角线相等且互相平分的四边形为矩形，故此选项不符合题意;
B、有一组邻角相等的平行四边形，可证明有一个角为直角， 能判定四边形为矩形,故此选项不符合题意;
C.对角线相等且垂直的四边形不能判定四边形为矩形，故此选项符合题意;
D.有一-组对角互补的平行四边形，可证明有一 个角为直角，能判定四边形为矩形，故此选项不符合题意;
故选: C.
2.在数学活动课上,同学们在判断一个四边形]框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案,其中正确的是( )
A .测量两组对边是否分别相等 B .测量其中三个内角是否都为直角
C .测量对角线是否相等 D .测量对角线是否互相平分
[答案] B
[分析]本题考查的是矩形的判定定理，牢记矩形的判定方法是解答本题的关键，难度较小.根据矩形的判定定理即可得到结论.
[详解]解: A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形;不符合题意;
B、测量其中三个内角是否为直角，能判定矩形:符合题意;
C.测量对角线是否相等,不能判定形状;不符合题意;
D.测量对角线是否相互平分，能判定平行四边形:不符合题意;
故选: B.
3.如图，点在矩形的边上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理的综合运用，先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到的长，解题时，常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
【详解】解：∵四边形为矩形，
，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故选：B．
4.如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质得出，，，然后根据等边对等角得出，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出，设，根据勾股定理得出，根据线段的和差及勾股定理得出，最后再化简即可得出答案．
【详解】四边形为矩形
，
将矩形沿翻折，
，，
设
在中，
故选B．
5.如图所示，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E ，使DE= AD，连接EB. EC ， DB，添加条件 _, 能使四边形DBCE成为矩形,并说明理由
[答案] AB= BE或∠ADB=90°或CE⊥DE,理由见解析
[分析]本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键.先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答.
[详解]解: ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADII BC, AD= BC,
又∵AD= DE,
∴DE// BC,且DE= BC,
∴四边形BCED为平行四边形，
添加AB- BE，DE- AD,
∴BD⊥AE,
∴口DBCE为矩形;
添加∠ADB- 90°，
∴∠EDB=900，
∴口DBCE为矩形
∴添加CE⊥DE,
∴∠CED=900，
∴口DBCE为矩形. .
故答案为: AB= BE或∠ADB= 90°或CE⊥DE
6.如图，在平行四边形ABCD中, DE⊥AB于点E. BF 1 AB交CD于点F ,求证:四边形DEBF是矩形.
[答案]见解析
[分析]根据平行四边形的性质得到DF I BE，根据平行四边形的判定得到四边形DEBF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论.
[详解]证明:在平行四边形ABCD中,
∵CD// AB,
∴DFII BE,
∴DE⊥AB BF⊥AB,
∴∠DEB-90°，DE// BF,
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵∠DEB=90°，
∴四边形DEBF是矩形.
[点睛]本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键.
7.下面是小橙设计的“已知两相交直线作矩形”的尺规作图过程：
已知；如图，直线与直线相交于点O． 求作：矩形，使矩形的四个顶点在这两条直线上． 作法： ①在直线上任取一点A（不与点O重合） ②以点O为圆心，为半径作弧依次与直线、于点B、C、D； ③连接，，，． 即四边形就是所求作的矩形．
(1)使用直尺和圆规，按照作法补全图（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：
∵，，
∴四边形是 ．（ ）
∵，
∴，即，
∴四边形是矩形．（ ）（填推理的依据）
【答案】(1)见详解
(2)平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形
【分析】本题考查了尺规作图，矩形的判定，平行四边形的判定，
（1）根据题干中的要求作图即可；
（2）首先判定平行四边形，再根据对角线相等判定矩形即可．
【详解】（1）解：如图所示：
矩形即为所求；
（2）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵，
∴，
即，
∴四边形是矩形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形．
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