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6.3.1平面向量基本定理
班级 姓名
学习目标
1．了解平面向量基本定理及其意义．
2．了解向量基底的含义．在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个 结论对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ 2．基底若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．3．基底的性质(1)不共线性： 平面内两个 的向量才可以作为一组基底. 由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．(2)不唯一性： 对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示．【即时训练】设e1，e2是平面内的一组基底，则下面四组向量不能作为基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1
对平面向量基本定理的理解 例1、(1)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝；④若存在实数λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②　　　　　　　　 B．②③C．③④ D．①④(2)如图所示，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足(　　)A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
用基底表示向量 例2、如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试用{a，b}为基底表示，，. INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\数学 人A 必修第二册（新教材）最新（加双选）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET 变式1、如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，＝a，＝b，用a，b表示，，，.
向量分解法的运用 例3、(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．(2)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A．－ B．－ C．＋ D．＋变式2、如图，在△ABC中，＝，P是BN上一点．若＝m＋，则实数m的值为________．
思考题 如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________．
课后作业
一、基础训练题
1．若{e1，e2}是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1　 B．e1－e2，e1＋e2
C．2e2－e1，－2e2＋e1 D．2e1＋e2,4e1＋2e2
2．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)
A．0,0　　 　B．1,1　　 　　 C．3,0　　 　　D．3,4
3．如图，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于(　　)
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
4．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)
A．＝－＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
5．如图，在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，
设＝a，＝b，则等于(　　)
A．－a＋b B．a－b
C．a－b D．a＋b
6．如图，已知E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a，b表示＝(　　)
A．a＋b B．a＋b
C．a－b D．a＋b
7．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．
8．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．
9．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，以a，b为基底表示向量与．
10．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\数学 人A 必修第二册（新教材）最新（加双选）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET
二、综合训练题
11．如图，在四边形ABCD中，＝，E为BC的中点，
且＝x＋y，则3x－2y＝(　　)
A． B． C．1 D．2
12．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
三、能力提升题
13．(多选题)在直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足＝2，点M，N在过点P的直线上，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　　)
A．＋为常数 B．m＋2n的最小值为3
C．m＋n的最小值为 D．m，n的值可以为m＝，n＝2
14．如图所示，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)试用向量a，b来表示，；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
6.3.1平面向量基本定理（一）
参考答案
1、【答案】B
【解析】不共线的向量能作为基底，因为e1－e2＝－(e2－e1)，所以向量e1－e2，e2－e1共线，排除A；因为2e2－e1＝－(－2e2＋e1)，所以2e2－e1，－2e2＋e1共线，排除C；因为2e1＋e2＝(4e1＋2e2)，所以2e1＋e2,4e1＋2e2共线，排除D．故选B．
2、【答案】D
【解析】因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4．
3、【答案】A
【解析】＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
4、【答案】D
【解析】依题意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故选D.
5、【答案】A
【解析】∵＝，∴＝－．又∵EF∥BC，∴＝＝(－)，
∴＝＋＝－＋(－)＝－＝－a＋b．
6、【答案】D
【解析】＝＝－a－b. ＝a＋b，∴＝＋＝a＋b.
7、【答案】a－b
【解析】由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，
代入①可求得e1＝a－b，所以e1＋e2＝a－b．
8、【答案】2
【解析】∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2．
∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，∴∴k＝2．
9、[解]　在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，BF＝BC，
∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b．
10、解　如图，以OA，OB所在射线为邻边，
OC为对角线作平行四边形OMCN，使得M在直线OA上，N在直线OB上，
则存在λ，μ，使＝λ，＝μ，
即＝＋＝λ＋μ. 在Rt△OCM中，
∵||＝2，∠COM＝30°，∴∠OCM＝90°，
∴||＝4，∴＝4，又||＝||＝2，∴＝2，
∴＝4＋2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
11、【答案】C
【解析】由题意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)
＝＋＝＋.
∵＝x＋y，∴x＋y＝＋.∵与不共线，
∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1.
12、【答案】1∶4　
【解析】如图，由＝＋可知M，B，C三点共线，
令＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ
λ＝，所以＝，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4．
13、【答案】ABD
【解析】如图所示，由＝2，可得－＝2(－)，
∴＝＋，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，
则＝，＝，∴＝＋，
∵M，P，N三点共线，∴＋＝1，∴＋＝3，
当m＝时，n＝2，A，D选项正确；
m＋2n＝(m＋2n)＝＋＋≥2＋＝3，当且仅当m＝n时等号成立，B选项正确；
m＋n＝(m＋n)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，
当且仅当n＝m时等号成立，C选项错误．故选ABD．
14、[解]　(1)因为AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b．
因为BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b．
(2)因为A，O，M三点共线，所以∥，
设＝λ，则＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b．
因为D，O，N三点共线，所以∥，存在实数μ使＝μ，则λa＋b＝μ．
由于向量a，b不共线，则解得所以＝，＝，
所以AO∶OM＝3∶11.
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