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6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
班级 姓名
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点一　平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 .知识点二　平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 .2.在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
一、平面向量的坐标表示 例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量的坐标；(3)求点B的坐标.变式1、如图，已知边长为1的正方形ABCD，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
二、平面向量加、减运算的坐标表示 例2、(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐标．变式2、(1)已知点A(1，0)，B(3，2)，向量＝(2，1)，则向量＝(　　)A．(0，－1) B．(1，－1)C．(1，0) D．(－1，0)(2)已知四边形ABCD为平行四边形，＝(2，3)，＝(－1，2)，则＋＝(　　)A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)变式3、(多选题)一个平行四边形的三个顶点坐标分别是(5，7)，(－3，5)，(3，4)，则第四个顶点的坐标可能是(　　)A．(－1，8) B．(－5，2)C．(11，6) D．(5，2)
课后作业
一、基础训练题
1．如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
则向量a的坐标为(　　)
A．(1，3)　　　　　　　 B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
2．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1)
3．已知＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．A点的坐标是(－2,4) B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)
A．第一、二象限　　B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果将＝绕原点O按逆时针方向旋转120°得到，则的坐标是(　　)
A． B． C．(－1，) D．
6．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
7．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a的坐标为________，b的坐标为________．
9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求和的坐标．
10．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若＝＋，求点P的坐标；
(2)若＋＋＝0，求的坐标．
二、综合训练题
12．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于(　　)
A． B．
C． D．
13．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
14．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则a＝________，x＝________.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
参考答案
1、【答案】A
2、【答案】A　
【解析】＝－＝(－2，－2)．
3、【答案】D　
【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．
4、【答案】D　
【解析】x2＋x＋1＝＋＞0，x2－x＋1＝＋＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．
5、【答案】D
【解析】如图，设绕原点O按逆时针方向旋转120°得到的的坐标为(x，y)，由题意得||＝1，
则x＝||cos(120°＋30°)＝－，
y＝||sin(120°＋30°)＝，
故的坐标是.故选D.
6、【答案】(－3，－5)　
【解析】＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
7、【答案】(1，－1)　
【解析】设P点坐标为(x，y)，||＝||.
当P在线段AB上时，＝.∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)，
∴ 解得 ∴P点坐标为(1，－1)．
当P在线段AB延长线上时，＝－.
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)，
∴ 此时无解．
综上所述，点P的坐标为(1，－1)．
8、【答案】(，)　
9、[解]　由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．
又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，
所以＝(－4,3)．
10、[解]　设点D的坐标为(x，y)，
(1)当平行四边形为ABCD时，＝，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴ ∴
∴D(0，－1)．
(2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，－3)．
(3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D(6,15)．
综上可见点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
11、[解]　(1)因为＝(1，2)，＝(2，1)，
所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即点P的坐标为(3，3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以解得
所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2)．
12、【答案】A　
【解析】设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
13、【答案】C　
【解析】如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则＝(x，－x)．
又因为A(－3,0)，B(0,2)，
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
所以 λ＝.
14、【答案】(1,1)　1　
【解析】∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，∵＝a，∴ 解得x＝1.
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6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
班级 姓名
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点一　平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 .知识点二　平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 .2.在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
一、平面向量的坐标表示 例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量eq \o(BA,\s\up6(→))的坐标；(3)求点B的坐标.变式1、如图，已知边长为1的正方形ABCD，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AD,\s\up6(→))的坐标．
二、平面向量加、减运算的坐标表示 例2、(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \o(CM,\s\up7(―→))＝3eq \o(CA,\s\up7(―→))，eq \o(CN,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，求M，N及eq \o(MN,\s\up7(―→))的坐标．变式2、(1)已知点A(1，0)，B(3，2)，向量eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，则向量eq \o(BC,\s\up6(→))＝(　　)A．(0，－1) B．(1，－1)C．(1，0) D．(－1，0)(2)已知四边形ABCD为平行四边形，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2)，则eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝(　　)A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)变式3、(多选题)一个平行四边形的三个顶点坐标分别是(5，7)，(－3，5)，(3，4)，则第四个顶点的坐标可能是(　　)A．(－1，8) B．(－5，2)C．(11，6) D．(5，2)
课后作业
一、基础训练题
1．如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
则向量a的坐标为(　　)
A．(1，3)　　　　　　　 B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
2．已知向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(0,2)，则eq \o(BC,\s\up7(→))＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1)
3．已知eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．A点的坐标是(－2,4) B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)
A．第一、二象限　　B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果将eq \o(OA,\s\up6(→))＝绕原点O按逆时针方向旋转120°得到eq \o(OB,\s\up6(→))，则eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标是(　　)
A． B． C．(－1，eq \r(3)) D．
6．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则eq \o(BD,\s\up7(→))＝________.
7．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|，则点P的坐标为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a的坐标为________，b的坐标为________．
9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求eq \o(AC,\s\up7(→))和eq \o(BD,\s\up7(→))的坐标．
10．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，求点P的坐标；
(2)若eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，求eq \o(OP,\s\up6(→))的坐标．
二、综合训练题
12．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于(　　)
A． B．
C． D．
13．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设eq \o(OC,\s\up7(→))＝λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．eq \f(1,5)　　　　B．eq \f(1,3)　　　　C．eq \f(2,5)　　　　D．eq \f(2,3)
14．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与eq \o(AB,\s\up7(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则a＝________，x＝________.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
参考答案
1、【答案】A
2、【答案】A　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2，－2)．
3、【答案】D　
【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．
4、【答案】D　
【解析】x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．
5、【答案】D
【解析】如图，设eq \o(OA,\s\up6(→))绕原点O按逆时针方向旋转120°得到的eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标为(x，y)，由题意得|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝1，
则x＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|cos(120°＋30°)＝－eq \f(\r(3),2)，
y＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|sin(120°＋30°)＝eq \f(1,2)，
故eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).故选D.
6、【答案】(－3，－5)　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
7、【答案】(1，－1)　
【解析】设P点坐标为(x，y)，|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|.
当P在线段AB上时，eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \o(PB,\s\up7(→)).∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1.)) ∴P点坐标为(1，－1)．
当P在线段AB延长线上时，eq \o(AP,\s\up7(→))＝－eq \o(PB,\s\up7(→)).
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝1＋x，,y＋4＝－2＋y，)) 此时无解．
综上所述，点P的坐标为(1，－1)．
8、【答案】(eq \r(2)，eq \r(2))　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
9、[解]　由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝4i＋3j，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝(4,3)．
又eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))，所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝－4i＋3j，
所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝(－4,3)．
10、[解]　设点D的坐标为(x，y)，
(1)当平行四边形为ABCD时，eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x＝1，,－2－y＝－1，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))
∴D(0，－1)．
(2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，－3)．
(3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D(6,15)．
综上可见点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
11、[解]　(1)因为eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，
所以eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即点P的坐标为(3，3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))
所以点P的坐标为(2，2)，故eq \o(OP,\s\up6(→))＝(2，2)．
12、【答案】A　
【解析】设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝eq \f(4,5)，所以向量b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5))).
13、【答案】C　
【解析】如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则eq \o(OC,\s\up7(→))＝(x，－x)．
又因为A(－3,0)，B(0,2)，
所以λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))＝(－3λ，2－2λ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ)) λ＝eq \f(2,5).
14、【答案】(1,1)　1　
【解析】∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，)) 解得x＝1.
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