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6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
班级 姓名
学习目标
1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．
3．理解并掌握两向量共线的性质和判断方法，并能熟练地处理有关向量共线问题．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝ ．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．【即时训练1】(1)已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则＋＝(　　)A．(2，－3)　　B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2,3)(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)则a＋2b－3c的坐标是________．
阅读教材，完成右边的内容 2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使 ．(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是 ．3．正确理解向量平行的条件(1)a∥b(b≠0) a＝λb. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a∥b ＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0. 即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．【即时训练2】(1)下列各组向量中，共线的是(　　)A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A，B，C三点共线，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的横坐标为(　　)A．－3　　　　　　　　B．9 C．－9 D．3
已知平面向量共线求参数 例1、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式1、(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)与向量b＝(1，－2)平行，则实数m的值为(　　)A．－1或 B．1或－ C．－1 D．(2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________.
共线向量与线段分点坐标的计算 例2、设P是线段上一点，点,的坐标分别是(，)，(，).(1)当P是线段的中点时，求点P的坐标.(2)当P是线段的一个三等分点时，求点P的坐标.变式2、当＝λ(λ≠－1)时，点P的坐标是什么？
课后作业
一、基础训练题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为(　　)
A．　　　 　B．－　　　 　C．2　　 　　 D．－2
3．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(　　)
A．－2 B．11 C．－2或11 D．2或11
4．与a＝(12,5)平行的单位向量为(　　)
A． B．
C．或 D．
5．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
7．已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________．
8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
9．已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，则的坐标为________.
10．已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
11．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，
＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及的坐标．
二、综合训练题
12．(多选题)已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，则下列结论正确的是(　　)
A．直线OC与直线BA平行 B．＋＝
C．＋＝ D．＝－2
13．设向量a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)，定义一种运算“＊”，向量a?b＝(a1，b1)＊(a2，b2)＝(a2b1，a1b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在
y＝f(x)的图象上运动且满足＝m＊＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最小值为(　　)
A．－1　　　 　B．－2　 　　　C．2　 　　　D．
14．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
三、能力提升题
15．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5，0)，D(1,0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
参考答案
1、【答案】B　
【解析】只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a．
2、【答案】A　
【解析】由a∥b得－x2＋2＝0,得x＝±．当x＝时,a与b方向相同,当x＝－时,a与b方向相反．
3、【答案】C　
【解析】＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由题知∥，
故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2．
4、【答案】C
【解析】设与a平行的单位向量为e＝(x，y)，则∴或
5、【答案】B　
【解析】由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°．
6、【答案】　
【解析】由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)．
又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，解得λ＝．
7、【答案】－　
【解析】＝－＝(1－k,2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－或k＝1，
当k＝1时，A，B重合，故舍去．
8、【答案】或　
【解析】由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b．
由
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
当λ＝时，x＝0时，y＝；当λ＝－时，x＝，y＝0．所以B或．
9、【答案】
【解析】设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)，∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7,7).
(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，∴x2＝4，y2＝，即D，则＝.
10、[解]　(1)＝(x,1)，＝(4，x)．∵∥，∴x2＝4，x＝±2．
(2)由已知得＝(2－2x，x－1)，当x＝2时，＝(－2,1)，＝(2,1)，
∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，∴∥，此时A，B，C三点共线．
又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上．
综上，当x＝2时，A，B，C，D不在一条直线上；
当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．
11、[解]　a＝＝(5，－5)，b＝＝(－6，－3)，c＝＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)．
∴∴
(3)设M(x1，y1)，由＝3c，得(x1＋3，y1＋4)＝3(1,8)，
∴∴x1＝0，y1＝20．∴M(0,20)．
设N(x2，y2)，由＝－2b，得(x2＋3，y2＋4)＝－2(－6，－3)．
∴解得∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
12、【答案】ACD　
【解析】因为＝(－2,1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，
所以直线OC∥BA，所以A正确；因为＋＝≠，所以B错误；
因为＋＝(0,2)＝，所以C正确；
因为＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以D正确．
13、【答案】B　
【解析】由题意知，点P的坐标为(x，sin x)，
则＝m?＋n＝＋＝．
又因为点Q在y＝f(x)的图象上运动，所以点Q的坐标满足y＝f(x)的解析式，
即y＝2sin，所以函数y＝f(x)的最小值为－2．
14、【答案】m≠　
【解析】＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)
＝(2－m,1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，
则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠．
15、【答案】　
【解析】设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又因为＝－＝(5λ－4,4λ)，由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0．解得λ＝，
所以＝＝，所以P的坐标为．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
班级 姓名
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．
2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 知识点一　平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相 的向量，叫做把向量作 .知识点二　平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作 .2.在直角坐标平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .知识点三　平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
一、平面向量的坐标表示 例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b.四边形OABC为平行四边形.(1)求向量a，b的坐标；(2)求向量eq \o(BA,\s\up6(→))的坐标；(3)求点B的坐标.变式1、如图，已知边长为1的正方形ABCD，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(AD,\s\up6(→))的坐标．
二、平面向量加、减运算的坐标表示 例2、(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \o(CM,\s\up7(―→))＝3eq \o(CA,\s\up7(―→))，eq \o(CN,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，求M，N及eq \o(MN,\s\up7(―→))的坐标．变式2、(1)已知点A(1，0)，B(3，2)，向量eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，则向量eq \o(BC,\s\up6(→))＝(　　)A．(0，－1) B．(1，－1)C．(1，0) D．(－1，0)(2)已知四边形ABCD为平行四边形，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2)，则eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝(　　)A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)变式3、(多选题)一个平行四边形的三个顶点坐标分别是(5，7)，(－3，5)，(3，4)，则第四个顶点的坐标可能是(　　)A．(－1，8) B．(－5，2)C．(11，6) D．(5，2)
课后作业
一、基础训练题
1．如图，{e1，e2}是一个基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
则向量a的坐标为(　　)
A．(1，3)　　　　　　　 B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
2．已知向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(0,2)，则eq \o(BC,\s\up7(→))＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1)
3．已知eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,4)，则下列说法正确的是(　　)
A．A点的坐标是(－2,4) B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4) D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于(　　)
A．第一、二象限　　B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果将eq \o(OA,\s\up6(→))＝绕原点O按逆时针方向旋转120°得到eq \o(OB,\s\up6(→))，则eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标是(　　)
A． B． C．(－1，eq \r(3)) D．
6．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，则eq \o(BD,\s\up7(→))＝________.
7．已知点A(3，－4)与B(－1,2)，点P在直线AB上，且|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|，则点P的坐标为________．
8．在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，则a的坐标为________，b的坐标为________．
9．已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求eq \o(AC,\s\up7(→))和eq \o(BD,\s\up7(→))的坐标．
10．已知平面上三个点坐标为A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求点D的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．
11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，求点P的坐标；
(2)若eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，求eq \o(OP,\s\up6(→))的坐标．
二、综合训练题
12．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于(　　)
A． B．
C． D．
13．已知A(－3,0)，B(0,2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设eq \o(OC,\s\up7(→))＝λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))(λ∈R)，则λ的值为(　　)
A．eq \f(1,5)　　　　B．eq \f(1,3)　　　　C．eq \f(2,5)　　　　D．eq \f(2,3)
14．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)与eq \o(AB,\s\up7(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，则a＝________，x＝________.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
参考答案
1、【答案】A
2、【答案】A　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2，－2)．
3、【答案】D　
【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．
4、【答案】D　
【解析】x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，所以向量a对应的坐标位于第四象限．
5、【答案】D
【解析】如图，设eq \o(OA,\s\up6(→))绕原点O按逆时针方向旋转120°得到的eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标为(x，y)，由题意得|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝1，
则x＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|cos(120°＋30°)＝－eq \f(\r(3),2)，
y＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|sin(120°＋30°)＝eq \f(1,2)，
故eq \o(OB,\s\up6(→))的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).故选D.
6、【答案】(－3，－5)　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
7、【答案】(1，－1)　
【解析】设P点坐标为(x，y)，|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|.
当P在线段AB上时，eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \o(PB,\s\up7(→)).∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1.)) ∴P点坐标为(1，－1)．
当P在线段AB延长线上时，eq \o(AP,\s\up7(→))＝－eq \o(PB,\s\up7(→)).
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝1＋x，,y＋4＝－2＋y，)) 此时无解．
综上所述，点P的坐标为(1，－1)．
8、【答案】(eq \r(2)，eq \r(2))　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
9、[解]　由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝4i＋3j，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝(4,3)．
又eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))，所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝－4i＋3j，
所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝(－4,3)．
10、[解]　设点D的坐标为(x，y)，
(1)当平行四边形为ABCD时，eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x＝1，,－2－y＝－1，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))
∴D(0，－1)．
(2)当平行四边形为ABDC时，同(1)可得D(2，－3)．
(3)当平行四边形为ADBC时，同(1)可得D(6,15)．
综上可见点D可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
11、[解]　(1)因为eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，
所以eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即点P的坐标为(3，3)．
(2)设点P的坐标为(x，y)，
因为eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))
所以点P的坐标为(2，2)，故eq \o(OP,\s\up6(→))＝(2，2)．
12、【答案】A　
【解析】设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝eq \f(4,5)，所以向量b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5))).
13、【答案】C　
【解析】如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
则eq \o(OC,\s\up7(→))＝(x，－x)．
又因为A(－3,0)，B(0,2)，
所以λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))＝(－3λ，2－2λ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ)) λ＝eq \f(2,5).
14、【答案】(1,1)　1　
【解析】∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，)) 解得x＝1.
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