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7.4 二项分布与超几何分布
考法一 二项分布
【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲 乙各射击一次，甲 乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环 9环 10环的概率分别为，乙击中8环 9环 10环的概率分别为，且甲 乙两人射击相互独立.
(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)0.2
(2)分布列见解析，数学期望为0.6
【解析】（1）设乙击中的环数少于甲击中的环数为事件，
则事件包括：甲击中9环乙击中8环，甲击中10环乙击中8环，甲击中10环乙击中9环，
则.
（2）由题可知的所有可能取值为，
由（1）可知，在一场比赛中，甲击中的环数多于乙击中的环数的概率为0.2，
则，
所以，
，
故的分布列为
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
所以.
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，.
(1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
(2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）记“，两位毕业生中有且只有一位通过招聘”为事件.
通过招聘的概率为，通过招聘的概率为，
∴.
即，两位毕业生有且只有一位通过招聘的概率为.
（2）随机变量可能的取值为0，1，2，3.
通过招聘的概率为，
由（1）得，两位毕业生通过招聘的概率均为.
∴，，三位毕业生通过招聘的人数.
则，
，
，
，
随机变量的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
2．（2024上·内蒙古鄂尔多斯 ）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(1)求的值以及这批产品的优质率；
(2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)，优质率为25%
(2)分布列见解析，1
【解析】（1）因为，所以，
产品质量指标超过130的频率为，
所以这批产品的优质率为；
（2）因为抽到产品为优质产品的频率为0.25，
以频率作为概率，所以每件产品为优质产品的概率为，
所以4件产品中优质产品的件数，
则，，
所以，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2 3 4
P
.
考法二 超几何分布
1．（2023上·内蒙古呼伦贝尔）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为.
(1)求的值；
(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，
因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以，
所以，解得或（舍去）；
（2）由题意可能的取值为0，1，2，3，
则，，，，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望为.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望.
【答案】分布列见解析，
【解析】由题意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以．
2．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
【解析】（1）记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A，
可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，
所以.
（2）由题意可知的可能取值为：0，1，2，3，则有：
，
，
可得的分布列为
0 1 2 3
所以.
3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）由直方图可知，
解得．
因为，
，
所以学员该项技能的评价指标的中位数在内．
设学员该项技能的评价指标的中位数为，则，
解得．
（2）由题意可知抽取的12名学员中该项技能的评价指标在内的有4名，在内的有8名．
由题意可知的所有可能取值为．
，，
，，
，
则的分布列为
0 1 2 3 4
考法三 二项分布与超几何分布的辨析
【例3-1】（2023湖南）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【答案】B
【解析】由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.
故选：B.
【例3-2】（2023上海）下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①满足独立重复试验的条件，是二项分布；
②的取值是1，2，3…，，（），显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布；
③虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；
④次试验是不独立的，因此不服从二项分布．
所以只有1个服从二项分布.
故选：B．
【例3-3】（2024·天津 ）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
【答案】分布列答案见解析，数学期望：
【解析】若选①，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列为
0 1 2 3
期望；
若选②，由题意，随机变量的可能值为0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列为：
0 1 2 3
期望.
【一隅三反】
1．（2024北京）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
【答案】ABD
【解析】依据超几何分布模型定义可知，试验必须是不放回地抽取次，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.
故选：ABD
2．（2023安徽）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（ ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
【答案】ABC
【解析】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复试验；
B是相互独立事件，但是“甲射中10环”与“乙射中9环” 的概率不一定相同，因此不是独立重复试验；
D中在相同的条件下，甲射击10次，是独立重复试验
故选：ABC
3（2023上·陕西西安 ）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分．
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列．
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【解析】（1）设甲答对题目的数目为，则，
可得，
又因为，
所以，.
（2）设乙答对的题目数为，可知的可能取值为0，1，2，3，4，
则，则有：
，
，
，
所以的分布列为：
10 25 40
4（2023云南）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．
（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝.
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列为
Y 0 1 2
P
考法四 二项分布与超几何分布随机变量概率最值
【例4-1】（2024上·北京丰台 ）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．
(1)当临界值时，求漏诊率和误诊率；
(2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望；
(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
(3)
【解析】（1）由频率分布直方图可知，．
（2）样本中患病者在指标为区间的人数是，未患病者在指标为区间的人数是，总人数为5人．
可能的取值为0，1，2．
，，．
随机变量的分布列为
0 1 2
随机变量的期望为．
（3）由题，，
时，令
所以，关于的一次函数系数为，故单调递增，则即时取最小值
【例4-2】（2024上·河南漯河 ）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用电范围（度）
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用电量（度） 53 86 90 124 214 215 220 225 420 430
(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？
(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.
【答案】(1)259元
(2)分布列见解析，期望为
(3)4
【解析】（1）（元）.
（2）设取到第二阶梯电量的户数为，可知第二阶梯电量的用户有4户，
则可取0，1，2，3，4
，
，，
故的分布列为
0 1 2 3
.
（3）据题意，从全市中抽取的10户中用电量为第一阶梯的有户，则服从二项分布，
可知，
（注：两个不等式写出一个即可.）
解得，，.
当时用电量为第一阶梯的可能性最大.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．
(1)当时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；
(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为，出现3次信号1的概率为，求的最大值．
【答案】(1)单次传输小于三次传输
(2)
【解析】（1）单次传输发送0译码为0的概率．
三次传输发送0译码为0的概率．
因为，所以要得到正确信号，三次传输方案的概率大．
（2）由题意得，．
记函数，
则．
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以当时，，
所以的最大值是．
2．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
(1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？
(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？
(3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)或；
【解析】（1）先把个坑排好共个空，再把剩下的2个坑往空里放，共有种方案；
（2）一个坑需要补播种有两种可能：两粒种子不发芽和三粒种子不发芽
两粒种子发芽的概率
三粒种子发芽的概率
所以一个坑需要补播种的概率
（3）3个坑要补播种的概率为，要想有3个坑要补播种概率最大，即满足不等式组
解得：，又，所以或时，3个坑要补播种的概率最大，此时.
3．（2024上·北京昌平）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求的值；
(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，期望6900；
(3).
【解析】（1）由频率分布直方图可知；
（2）根据频率分布直方图可知评分低于110分的占比，评分不低于110分的占比，
任选3人中其评分情况有四种：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，
所以可取四种情况，
，，
，，
故的分布列为：
9000 8000 7000 6000
0.027 0.189 0.441 0.343
则；
（3）由题意可知，
可知当时取得最大值.
证明如下：设最大，即，
所以，
化简得，因为，故.
考法五 二项分布与超几何分布与其他知识的综合
【例5】（2024上·山东日照·高二统考期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．
【答案】(1)
(2)该同学没有希望进入决赛
【解析】（1）由题可知，所有可能的情况有：
①超过8分的是1道法律文书题，2道案例分析题，，
②超过8分的是2道法律文书题，1道案例分析题，，
③超过8分的是2道法律文书题，2道案例分析题，，
故所求的概率；
（2）设强化训练后，法律文书题超过8分的概率为，案例分析题超过8分的概率为，
则，
由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“优胜奖”的概率为：
，
，且，，即，，
则，，
故可得：，，
，
，
令，则在上单调递减，
．
该同学在5轮比赛中获得“优胜奖”的次数，
，
故该同学没有希望进入决赛．
【一隅三反】
1．（2023下·江西赣州·高二校联考阶段练习）（多选）在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ）
A．服从二项分布 B．服从超几何分布
C． D．
【答案】BD
【解析】依题意，等差数列公差，则通项为
，
由得，即等差数列前10项中有6个正数，
的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数，
因此，不服从二项分布，服从超几何分布，不正确，B正确；
错误；
由题正确．
故选：．
2．（2024·江苏 ）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
【答案】(1)分布列见解析，；
(【解析】（1）某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率
某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率
所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为
记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，所有可能的取值为，
则
的分布列为：
X 0 1 2 3
P
.
（2）依题意，，即，
则有，当时，可得，
数列是首项为公比为的等比数列，则，
时，，
所以，各年级抽调的21人中，分配到餐厅甲的志愿者人数为，分配到餐厅乙的志愿者人数为.
3．（2024·山西吕梁 ）吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．
(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？
【答案】(1)
(2)小李能进入决赛
【解析】（1）设“在一轮比赛中，小李获得通关卡”，则事件A发生的所有情况有：
①得到认可的中式面点入选1道，中式热菜入选2道的概率为
②得到认可的中式面点入选2道，中式热菜入选1道的概率为
③得到认可的中式面点和中式热菜各入选2道的概率为
所以；
（2）由题知，强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率为，每道中式热菜被评委认可的概率为，则强化训练后，在一轮比赛中，小李获得通关卡的概率为
，
因为每轮比赛结果互不影响，所以进行3轮比赛可看作3重伯努利试验．
用X表示小李在3轮比赛中获得通关卡的次数，则 ，
∴，
∴小李能进入决赛.
4．（2024·黑龙江哈尔滨 ）这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前n项和；
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为，当取最大值时，求n的值．
【答案】(1)分布列见解析，期望为；
(2)；
(3)125.
【解析】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为，得到1份文旅纪念品；
既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为，获得2份文旅纪念品，
则的可能取值为3，4，5，6，
其中，，，，
所以的分布列为
3 4 5 6
.
（2）因为n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个，则只有1人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，于是，
则，
于是，
两式相减，得，
所以.
（3）设只游览冰雪大世界的人数为x，则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为，
因此游客得到纪念品的总个数，此时，
假定取最大值，必有，于是，
即，整理得，解得，而，则，
所以当取最大值时，.
单选题
1．（2024下·山东东营）随机变量服从二项分布：，则它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
【答案】C
【解析】因为随机变量服从二项分布：，则它的期望，故选：C.
2．（2023上·广东深圳·高二校考期末）若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，下列说法正确的是（ ）
A．其中的次品数服从超几何分布
B．其中的正品数服从二项分布
C．其中的次品数的期望是1
D．其中的正品数的期望是5
【答案】B
【解析】若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，则每一次抽取的结果相互独立，故此题中的“正品数”和“次品数”都分别服从二项分布.
对于选项A，因次品数服从二项分布，故选项A错误；
对于选项B，正品数服从二项分布，故选项B正确；
对于选项C，因次品数服从二项分布，即，则次品数的期望是，故选项C错误；
对于选项D，因正品数服从二项分布，即，则正品数的期望是，故选项D错误.
故选：B.
3．（2024上·广西桂林·高二统考期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知，件产品中有件次品，件正品，
从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，
表示要从件次品中抽取件，从件正品中抽取件，
故.
故选：B.
4．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】随机变量可取，
，，，，
，
故选：C
5．（2024上·广东深圳 ）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，至少含有一个黑球的概率是.
故选：B.
6．（2021上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③X表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.
这四种变量中服从超几何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【解析】超几何分布定义：设有总数为N件的甲乙两类物品，其中甲类有M件，从所有物品中任取n件，则中所含甲类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值m时的概率为，我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布.
①②中的变量不符合超几何分布的定义，无法用超几何分布的数学模型计算概率，故①②错误；
③中的变量符合超几何分布的定义选项，将白球视作甲类物品，黑球视作乙类物品，则可以用超几何分布的数学模型计算概率，故③正确；
④中的变量可以对应取出的白球个数，符合超几何分布的定义选项，可以用超几何分布的数学模型计算概率，故④正确.
故选：B．
7．（2023下·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服从超几何分布
【答案】C
【解析】对于A，的可能取值为0，1，2，3，4，5，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于D，由题意，随机变量，故D不正确；
对于C，随机变量，，
若取得最大值时，则:
，
则，解得，则．
故的概率最大，所以C正确；故选：C.
8．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】①从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为的可能取值是，
则，
故随机变量的概率分布列为
0 1 2 3
则数学期望为，
方差为.
②从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，
则，故，，
故.
故选：D.
多选题
9．（2024上·江西上饶·高二统考期末）若随机变量，下列说法中正确的有（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
【答案】AC
【解析】因为随机变量，则，，
，
由期望的性质可得，
由方差的性质可得，AC对，BD错.
故选：AC.
10．（2023上·高二课时练习）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
【答案】ACD
【解析】随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，，
因此随机变量X服从超几何分布，B错误，C正确；
，，，
，，A正确；
，D正确.
故选：ACD
11．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由题意得
.
因为函数在上单调递增，且，所以，故A错误；
因为，故BC正确；
所以，
则，故D错误.
故选：BC
11．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（ ）
A．服从二项分布 B．的值最小为1
C． D．
【答案】BCD
【解析】依题意知随机变量服从参数为6，4，3的超几何分布，故A错误；
的所有可能取值为1，2，3，所以的值最小为1，故B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故选：BCD
127．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A．当，时，
B．时，有
C．当，时，当且仅当时概率最大
D．时，随着的增大而增大
【答案】BCD
【解析】由题意得发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
对于A：当，可取，
所以，
取，此时，故A项错误；
对于B：当时，即每次发射信号“”和发射信号“”的概率相等，所以为奇数的概率和为偶数的概率相等，即，故B正确；
对于C：当，，此时，，
当取得概率最大时，即，即，解得，故C项正确；
对于D：由题知当，发射信号“”的次数为和概率符合二项分布，
由二项式的均值公式，当概率一定时，越大则的值越大，所以能够出现奇数的概率也增大，故D正确.
故选：BCD.
填空题
13．（2024上·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ．
【答案】
【解析】由题意知．
因为，所以，解得，
所以．
故答案为： .
14．（2023·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）若随机变量，且，则 .
【答案】10
【解析】因为，
所以，
解得或，因为，
所以，所以，
所以.
故答案为：10
15．（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 .
【答案】/0.5
【解析】因 .
故答案为：.
16．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
【答案】7
【解析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率为，向右下落的概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
小球掉入号格子，需要向左次，向右次，概率为，
依此类推，小球掉入号格子，需要向左次，向右次，
概率为，
设小球落入号格子的概率最大，显然，，
则解得，又为整数，所以，
所以小球落入号格子的概率最大．
故答案为：．
解答题
17．（2024下·北京海淀·高三101中学校考开学考试）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下：
假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；
(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；
(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为 平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系．
【答案】(1)0.65
(2)分布列见解析，期望为
(3)
【解析】（1）根据频率分布直方图，
可得学生一周参加课后活动的时间位于区间的频率为，
因此估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率为；
（2）从全校学生中随机选取1人，
其一周参加课后活动的时间在区间的概率为0.4，因此，
可取，
，
．
则的分布列为：
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
；
（3）因为，
，
故中位数在区间上，
则，；
，
故.
18．（2024·全国·模拟预测）为增强体质，锤炼意志，让学生享受运动乐趣，享受校园生活，某学校举办全员运动会．该校高三某班的同学报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛这三类比赛（每人必须报名参加比赛且只能报一类），其中报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛的人数占本班人数的比例依次为（其中）．现从该班学生中任选3人，以频率估计概率．
(1)若被选取的3人参加比赛的类别互不相同的概率为，求a的值；
(2)记X为选取的3人中报名参加田径比赛和报名参加球类比赛的总人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)或
(2)分布列见解析；期望为
【解析】（1）因为报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛的人数占本班人数的比例依次为，
所以被选取的3人参加比赛的类别互不相同的概率为， 解得或．
（2）由题，报名参加田径比赛与报名参加球类比赛的概率之和为，
而X为选取的3人中报名参加田径比赛和报名参加球类比赛的总人数，
则，
故，，，，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故．
19．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．
成绩区间
频数
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【解析】（1）解：由表格知，成绩在的频率为，成绩在的频率为，
成绩在的频率为，
设获奖分数线为，则，
所以，，解得．
（2）解：从全市成绩不低于分的学生中随机抽取一人参加省级党史知识竞赛，
成绩在的概率为，
由题意知，，则的可能取值有、、、、，
则，，
，，
，
所以的分布列为
故．
20．（2024上·江西赣州·高二统考期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
【答案】(1)分布列见解析，数学期望为
(2)获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大.
【解析】（1）由题知：可取2，4，6，8，
则，，
，，
故的分布列为：
2 4 6 8
则的期望.
（2）解法一：由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为，
则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，
故（），
假设当时，概率最大，则，
解得，而.
故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
解法二：由（1）知参赛选手在一轮获得“挑战达人”勋章的概率为，
则某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得“挑战达人”勋章的枚数为，则，
故（），
所以Y的分布列为：
0 1 2 3 4 5
从分布列中可以看出，概率最大为，
所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大．
21（2024上·广东广州 ）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A B C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B C的自然成活率均为.
(1)任取树苗A B C各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；
(2)将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活.
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？
【答案】(1)分布列见解析；期望为
(2)①；②700
【解析】（1）由题意知，X的所有可能值为0，1，2，3，
则；
；
；
.
由此得X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
所以.
（2）根据,由（1）知当时，取得最大值.
①一棵种树苗最终成活的概率为.
②记为棵种树苗的成活株数，为株种树苗的利润，则，
所以，所以，
故，要使，则有.
所以该农户应至少种植700棵种树苗，就可获利不低于20万元.
22．（2023上·山西 ）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围．
【答案】(1)分布列见解析
(2)
【解析】（1）设小张猜中谜语的道数为，可知随机变量服从超几何分布，的取值分别为2，3，4．
有，，，
故小张猜中谜语道数的分布列为
2 3 4
设小王猜中谜语的道数为，可知随机变量服从二项分布的取值分别为0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
．
故小王猜中谜语道数的分布列为
0 1 2 3 4
（2）由（1）可知，
若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，则，可得．7.4 二项分布与超几何分布
考法一 二项分布
【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中学校联考期末）甲、乙两人进行射击比赛，每次比赛中，甲 乙各射击一次，甲 乙每次至少射中8环.根据统计资料可知，甲击中8环 9环 10环的概率分别为，乙击中8环 9环 10环的概率分别为，且甲 乙两人射击相互独立.
(1)在一场比赛中，求乙击中的环数少于甲击中的环数的概率；
(2)若独立进行三场比赛，其中X场比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，求的分布列与数学期望.
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰）已知某单位招聘程序分两步：第一步是笔试，笔试合格才能进入第二步面试；面试合格才算通过该单位的招聘.现有，，三位毕业生应聘该单位，假设，，三位毕业生笔试合格的概率分别是，，；面试合格的概率分别是，，.
(1)求，两位毕业生中有且只有一位通过招聘的概率；
(2)记随机变量为，，三位毕业生中通过招聘的人数，求的分布列与数学期望.
2．（2024上·内蒙古鄂尔多斯 ）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如下图所示.（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
(1)求的值以及这批产品的优质率；
(2)以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出件，记这件中优质产品的件数为，求的分布列与数学期望.
考法二 超几何分布
【例2】（2023上·内蒙古呼伦贝尔）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为.
(1)求的值；
(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）“英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2022年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从武汉市的中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学、信息技术学科夏令营活动．若化学组的12名学员中恰有5人来自同一中学，从这12名学员中选取3人，表示选取的人中来自该中学的人数，求的分布列和数学期望.
2．（2023上·江苏南通·高三海门中学校考阶段练习）某班为了庆祝我国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有个红球，则分得个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；
(2)求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
3．（2023·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测）某乒乓球队训练教官为了检验学员某项技能的水平，随机抽取100名学员进行测试，并根据该项技能的评价指标，按分成8组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计该项技能的评价指标的中位数（精确到0.1）；
(2)若采用分层抽样的方法从评价指标在和内的学员中随机抽取12名，再从这12名学员中随机抽取5名学员，记抽取到学员的该项技能的评价指标在内的学员人数为，求的分布列与数学期望．
考法三 二项分布与超几何分布的辨析
【例3-1】（2023湖南）下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（ ）
A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为
B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为
C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为
D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为
【例3-2】（2023上海）下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3-3】（2024·天津 ）已知条件①采用无放回抽取：②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分.
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若___________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和期望.
【一隅三反】
1．（2024北京）(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有（ ）
A．在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X
B．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数
C．一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的数为随机变量X
D．从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X
2．（2023安徽）(多选)下列事件不是n重伯努利试验的是（ ）
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
3（2023上·陕西西安 ）某中学进行校庆知识竞赛，参赛的同学需要从10道题中随机抽取4道来回答．竞赛规则规定：每题回答正确得10分，回答不正确得分．
(1)已知甲同学每题回答正确的概率均为0.5，且各题回答正确与否之间没有影响，记甲的总得分为，求的期望和方差；
(2)已知乙同学能正确回答10道题中的6道，记乙的总得分为，求的分布列．
4（2023云南）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．
（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．
考法四 二项分布与超几何分布随机变量概率最值
【例4-1】（2024上·北京丰台 ）2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于的人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．
(1)当临界值时，求漏诊率和误诊率；
(2)从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望；
(3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值．
【例4-2】（2024上·河南漯河 ）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.
阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯
月用电范围（度）
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
居民用电户编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用电量（度） 53 86 90 124 214 215 220 225 420 430
(1)若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电450度时应交电费多少元？
(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，记取到第一阶梯电量的户数为，当时对应的概率为，求取得最大值时的值.
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）．
(1)当时，若发送0，则要得到正确信号，试比较单次传输和三次传输方案的概率大小；
(2)若采用三次传输方案发送1，记收到的信号中出现2次信号1的概率为，出现3次信号1的概率为，求的最大值．
2．（2024上·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立，对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种.
(1)从 个坑中选两个坑进行观察，两坑不能相邻，有多少种方案？
(2)对于单独一个坑，需要补播种的概率是多少？
(3)当 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？
3．（2024上·北京昌平）某汽车生产企业对一款新上市的新能源汽车进行了市场调研，统计该款车车主对所购汽车性能的评分，将数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图：
(1)求的值；
(2)该汽车生产企业在购买这款车的车主中任选3人，对评分低于110分的车主送价值3000元的售后服务项目，对评分不低于110分的车主送价值2000元的售后服务项目．若为这3人提供的售后服务项目总价值为元，求的分布列和数学期望；
(3)用随机抽样的方法从购买这款车的车主中抽取10人，设这10人中评分不低于110分的人数为，问为何值时，的值最大？（结论不要求证明
考法五 二项分布与超几何分布与其他知识的综合
【例5】（2024上·山东日照·高二统考期末）普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，也是构建社会主义和谐社会的应有之意．为加强对学生的普法教育，某校将举办一次普法知识竞赛，共进行5轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：题库中有法律文书题和案例分析题两类问题，每道题满分10分．每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成法律文书题和案例分析题各2道，若有不少于3道题得分超过8分，将获得“优胜奖”，5轮比赛中，至少获得4次“优胜奖”的同学将进入决赛．甲同学经历多次限时模拟训练，指导老师从训练题库中随机抽取法律文书题和案例分析题各5道，其中有4道法律文书题和3道案例分析题得分超过8分．
(1)从这10道题目中，随机抽取法律文书题和案例分析题各2道，求该同学在一轮比赛中获“优胜奖”的概率；
(2)将上述两类题目得分超过8分的频率作为概率．为提高甲同学的参赛成绩，指导老师对该同学进行赛前强化训练，使得法律文书题和案例分析题得分超过8分的概率共增加了，以获得“优胜奖”的次数期望为参考，试预测该同学能否进入决赛．
【一隅三反】
1．（2023下·江西赣州·高二校联考阶段练习）（多选）在等差数列中，．现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为．则下列结论正确的是（ ）
A．服从二项分布 B．服从超几何分布
C． D．
2．（2024·江苏 ）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
(1)记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
(2)学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
3．（2024·山西吕梁 ）吕梁市举办中式厨师技能大赛，大赛分初赛和决赛，初赛共进行3轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛，参赛选手要在规定的时间和范围内，制作中式面点和中式热菜各2道，若有不少于3道得到评委认可，将获得一张通关卡，3轮比赛中，至少获得2张通关卡的选手将进入决赛．为能进入决赛，小李赛前在师傅的指导下多次进行训练，师傅从小李训练中所做的菜品中随机抽取了中式面点和中式热菜各4道，其中有3道中式面点和2道中式热菜得到认可．
(1)若从小李训练中所抽取的8道菜品中，随机抽取中式面点、中式热菜各2道，由此来估计小李在一轮比赛中的通关情况，试预测小李在一轮比赛中通关的概率；
(2)若以小李训练中所抽取的8道菜品中两类菜品各自被师傅认可的频率作为该类菜品被评委认可的概率，经师傅对小李进行强化训练后，每道中式面点被评委认可的概率不变，每道中式热菜被评委认可的概率增加了，以获得通关卡次数的期望作为判断依据，试预测小李能否进入决赛？
4．（2024·黑龙江哈尔滨 ）这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中的游客计划只游览冰雪大世界，另外的游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X，求X的分布列及数学期望；
(2)记n个游客得到文旅纪念品的总个数恰为个的概率为，求的前n项和；
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n个的概率为，当取最大值时，求n的值．
单选题
1．（2024下·山东东营）随机变量服从二项分布：，则它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
2．（2023上·广东深圳·高二校考期末）若100件产品中包含10件次品，有放回地随机抽取6件，下列说法正确的是（ ）
A．其中的次品数服从超几何分布
B．其中的正品数服从二项分布
C．其中的次品数的期望是1
D．其中的正品数的期望是5
3．（2024上·广西桂林·高二统考期末）已知在件产品中有件次品，现从这件产品中任取件，用表示取得次品的件数，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·宁夏石嘴山·高二石嘴山市第三中学校考期末）在10件工艺品中，有3件二等品，7件一等品，现从中抽取5件，则抽得二等品件数X的数学期望为（ ）．
A．2 B．4 C． D．
5．（2024上·广东深圳 ）一袋中装有大小 质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021上·高二课时练习）一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量：
①X表示取出的最大号码；
②X表示取出的最小号码；
③X表示取出的白球个数；
④取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分减去4的差.
这四种变量中服从超几何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
7．（2023下·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）经检测一批产品中每件产品的合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则以下选项正确的是（ ）
A．的可能取值为1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服从超几何分布
8．（2024上·河南·高二校联考期末）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小 质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球.现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为.则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C． D．
多选题
9．（2024上·江西上饶·高二统考期末）若随机变量，下列说法中正确的有（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
10．（2023上·高二课时练习）在一个袋中装有质地、大小均一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取出的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．随机变量X服从二项分布
C．随机变量X服从超几何分布
D．
11．（2024上·辽宁抚顺·高二校联考期末）已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024上·河南南阳·高二南阳市第五中学校校联考期末）在一个袋中装有除颜色外其余完全一样的3个黑球，3个白球，现从中任取4个球，设这4个球中黑球的个数为，则（ ）
A．服从二项分布 B．的值最小为1
C． D．
127．（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字“”和“”组成的序列．现连续发射信号次，每次发射信号“”的概率均为．记发射信号“1”的次数为，记为奇数的概率为，为偶数的概率为，则下列说法中正确的有（ ）
A．当，时，
B．时，有
C．当，时，当且仅当时概率最大
D．时，随着的增大而增大
填空题
13．（2024上·江西南昌·高二江西师大附中校考期末）在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则 ．
14．（2023·陕西西安·西安市长安区第二中学校联考模拟预测）若随机变量，且，则 .
15．（2024上·辽宁·高二校联考期末）某班要从3名男同学和5名女同学中随机选出4人去参加某项比赛，设抽取的4人中女同学的人数为，则 .
16．（2023上·山东德州·高二校考阶段练习）如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入 号格子的概率最大.图片仅供参考
解答题
17．（2024下·北京海淀·高三101中学校考开学考试）“双减”政策执行以来，中学生有更多的时间参加志愿服务和体育锻炼等课后活动．某校为了解学生课后活动的情况，从全校学生中随机选取100人，统计了他们一周参加课后活动的时间（单位：小时），分别位于区间，用频率分布直方图表示如下：
假设用频率估计概率，且每个学生参加课后活动的时间相互独立．
(1)估计全校学生一周参加课后活动的时间位于区间的概率；
(2)从全校学生中随机选取3人，记表示这3人一周参加课后活动的时间在区间的人数，求的分布列和数学期望；
(3)设全校学生一周参加课后活动的时间的中位数估计值为 平均数的估计值为（计算平均数时，同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替），请直接写出的大小关系．
18．（2024·全国·模拟预测）为增强体质，锤炼意志，让学生享受运动乐趣，享受校园生活，某学校举办全员运动会．该校高三某班的同学报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛这三类比赛（每人必须报名参加比赛且只能报一类），其中报名参加游泳比赛、田径比赛、球类比赛的人数占本班人数的比例依次为（其中）．现从该班学生中任选3人，以频率估计概率．
(1)若被选取的3人参加比赛的类别互不相同的概率为，求a的值；
(2)记X为选取的3人中报名参加田径比赛和报名参加球类比赛的总人数，求X的分布列和数学期望．
19．（2023·全国·模拟预测）为庆祝中国共产党成立周年，某市开展了党史知识竞赛活动，竞赛结束后，为了解本次竞赛的成绩情况，从所有参赛学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩作为样本，数据整理后，统计结果如表所示．
成绩区间
频数
假设用样本频率估计总体概率，且每个学生的竞赛成绩相互独立．
(1)为了激励学生学习党史的热情，决定对竞赛成绩优异的学生进行表彰，如果获得表彰的学生占样本总人数的，试估计获奖分数线；
(2)该市决定从全市成绩不低于分的学生中随机抽取人参加省级党史知识竞赛，成绩在的人数为，求的分布列和数学期望．
20．（2024上·江西赣州·高二统考期末）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品．据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的．
(1)求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；
(2)若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立．问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大？
21（2024上·广东广州 ）某地区为贯彻习近平总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树.某农户考察三种不同的果树苗A B C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为，引种树苗B C的自然成活率均为.
(1)任取树苗A B C各一棵，估计自然成活的棵数为，求的分布列及；
(2)将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率.该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活.
①求一棵种树苗最终成活的概率；
②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？
22．（2023上·山西 ）近日，某企业举行“猜灯谜，闹元宵”趣味竞赛活动，每个员工从8道谜语中一次性抽出4道作答．小张有6道谜语能猜中，2道不能猜中；小王每道谜语能猜中的概率均为，且猜中每道谜语与否互不影响．
(1)分别求小张，小王猜中谜语道数的分布列；
(2)若预测小张猜中谜语的道数多于小王猜中谜语的道数，求的取值范围．

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