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专题10 立体几何
1．异面直线夹角范围：
2．常见几何体的表面积
圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积
底面积
表面积
3．常见几何体的体积
柱体 (S为底面积，h为高) 锥体 (S为底面积，h为高) 台体 (S为上底面积，S’为下底面积，h为高) 球体 (R为球半径)
三棱锥的体积常常用等体积法转化
4．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a α，b α，a∥b a∥α 判定需要写3个条件
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
5．平面和平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内两相交直线平行，则这两个平面平行 a∥β，b∥β， a∩b＝P， a α，b α， α∥β 需要证2次线面平行
性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面（证明线面平行） α∥β，a α a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
6．直线和平面垂直的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α 需要写5个条件
性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a∥b
7．平面和平面垂直的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定 定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β 需要写6个条件
性质 定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α
题型1 空间点线面之间的位置关系
例1．设为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题：
①若,则；
②若,则；
③若且,则；
④若且,则．
其中所有正确命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】通过空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定定理与性质定理判断即可.
【详解】由为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,知：
在①中,若,则由面面垂直的判定定理得,故①正确；
在②中,若,则m与n相交、平行或异面,故②错误；
在③中,若且,则与相交或平行,故③错误；
在④中,若且,则由线面垂直的性质得,故④正确．
∴其中所有正确命题的序号是①④．
故选：D．
例2．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（ ）
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】D
【分析】举例说明判断①②；利用线线、线面垂直的判定、性质推理判断③④作答.
【详解】长方体中，平面为平面，直线BC为直线b，如图，
当直线AD为直线a时，满足，，而，①不正确；
当直线为直线a时，满足，，而，②不正确；
在平面内取两条相交直线m，n，如图，因，则，
而，则，又，m，n是相交直线，∴，③正确；
因，过直线b作平面，如图，
则有，又，，于是得，从而得，④正确，
∴给定命题正确的是③④.
故选：D.
题型2 空间几何体的表体积问题
例1．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
【答案】D
【分析】根据圆柱和圆锥的体积公式可得.
【详解】圆柱体积为，圆锥体积为，
所以，该组合体的体积为.
故选：D
例2．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据圆锥侧面展开图的形状先求出圆锥的母线，然后求出半径，再由圆锥的体积公式进行求解.
【详解】设母线长为，依题意得，，解得，于是圆锥的高为，
根据圆锥的体积公式，其体积为：.
故选：B

例3．如图，圆柱的底面周长为，高为，圆锥的底面半径是，则该几何体的体积为 .
【答案】
【分析】利用圆柱的体积减去圆锥的体积来求得正确答案.
【详解】设圆柱的底面半径为，则，
故圆柱的体积为：，
圆锥的底面半径是，高为，
故圆锥的体积为：，
故组合体的体积.
故答案为：
题型3 线面角问题
例1．在直三棱柱中，，.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)由，知为异面直线与所成的角；
(2)由平面知为与平面所成角，根据几何关系即可求出三棱柱的棱长.
【详解】（1）∵，∴为异面直线与所成的角(或其补角).
由，，得.
因此异面直线与所成角的大小为.
（2）∵平面，∴为与平面所成角，即.
由，，得，于是.
因此三棱锥的体积.
例2．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.
(1)求证：平面；
(2)已知，当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）由题意可证得，，再由线面平行的判定定理即可证明.
（2）平面，所以为四棱锥的高，由题意求出菱形的面积，再由棱锥的体积公式计算即可得出答案.
【详解】（1）四边形是菱形，，
又平面，平面，
，又，平面，
平面；
（2）解：平面，
是直线与平面所成的角，
于是，，，又，
所以菱形的面积为，
故四棱锥的体积.
例3．在正三棱柱中，已知它的底面边长为2.
(1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积.
(2)若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)表面积为，体积为；(2)
【分析】（1）求出三棱柱的侧面积和底面积，求出表面积，利用体积公式求出体积；
（2）先根据线面角求出棱柱的高，进而利用等体积法求出三棱锥的体积.
【详解】（1）正三棱柱的两个底面积之和为，
正三棱柱的侧面积为，
故正三棱柱的表面积为；
正三棱柱的体积为；
（2）因为⊥平面，所以即为直线与平面所成角，
故，
所以，故，
.
题型4 二面角问题
例1．如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）作出异面直线与所成的角，并求得角的大小.
（2）判断二面角的平面角，并求得角的大小.
【详解】（1）在正方体中，连接，
由于，所以是异面直线与所成的角，
由于三角形是等边三角形，所以，
所以异面直线与所成的角的大小为.
（2）在正方体中，，
所以是二面角的平面角，
根据正方体的性质可知，所以二面角的大小为.
例2．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
【答案】(1)证明过程见解析；(2)
【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，进而证明出线面垂直；（2）找到两平面的夹角的平面角，再进行求解.
【详解】（1）因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
（2）因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.
1．在空间中，下列命题为真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．平行于同一条直线的两条直线垂直 D．平行于同一个平面的两条直线平行
【答案】B
【分析】运用空间中点线面的位置关系逐一判断即可.
【详解】垂直于同一条直线的两条直线可能平行、异面、相交，选项A说法错误;
垂直于同一直线的两个平面平行，选项B说法正确;
平行于同一直线的两条直线互相平行，选项C说法错误;
平行于同一平面的两条直线可能平行，相交或异面，选项D说法错误;
故选：B.
2．已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，则下列推理正确的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根据线面位置关系分别判断各选项.
【详解】A选项：由面面垂直的性质定理可知，缺少条件“”的情况下，与的位置关系不确定，平行，相交或在内都有可能，故A选项错误；
B选项：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故B选项正确；
C选项：若，，则与可能平行或相交，故C选项错误；
D选项：，，则或者，故D错误；
故选：B．
3．关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，且，，则
【答案】B
【分析】ACD可举出反例，B选项，可利用线面平行的性质和线面垂直的性质推出.
【详解】A选项，若，，则a，b平行，相交或异面，比如图1和图2，A错误；
B选项，因为，如图3，不妨设，且，则，
因为，，所以，由，则，B正确；
C选项，如图4，满足，，但，C错误；
D选项，，，且，，若，则不能得到，D错误.
故选：B
4．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项.
【详解】,
故选:A
5．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据轴截面面积和底面半径得到圆锥的高，进而得到圆锥的体积.
【详解】轴截面为等腰三角形，底边长为，设圆锥的高为，
则，解得，
故圆锥的体积为.
故选：B
6．如图,在三棱柱中,平面.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】(1)先说明为正方形,即,再证明平面,即,根据线面垂直的判定定理即可证明;
(2)根据(1)中结论平面,则直线与平面所成角即为,在正方形求出该角即可.
【详解】（1）证明: 平面,平面,,
,平行四边形为正方形,,
平面,平面,
,,平面,平面,
平面,平面,,
平面,平面,平面得证;
（2）记与交点为,由(1)知平面,所以平面,
故直线与平面所成角为,
由(1)知平行四边形为正方形,,
故直线与平面所成角为.
7．在正四棱锥中，，直线PA与平面ABCD所成的角为，求正四棱锥的体积V．
【答案】
【分析】作平面ABCD，连接AO，则O为正方形ABCD的中心，为直线PA与平面ABCD所成的角，有几何关系求出PO、正方形ABCD边长，由体积公式即可求V
【详解】作平面ABCD，连接AO，则O为正方形ABCD的中心，为直线PA与平面ABCD所成的角，则，
则，，，
∴
8．如图，、是圆锥SO的两条母线，是底面圆的圆心，底面圆半径为10，是的中点，，与底面所成角为，求此圆锥的侧面积．
【答案】．
【分析】先求出，再求出，从而得到，最后根据侧面积公式计算即可.
【详解】如图，作于，连接．
根据题意，得为与底面所成角，．
在中，易知是正三角形，
且有，，，．
因此在等腰Rt中，，
所以，．
则．
9．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；
【分析】（1）连接，由三角形中位线可证得，根据线面平行判定定理可证得结论；
（2）根据线面角定义可知所求角为，且，由长度关系可求得结果.
【详解】（1）连接，交于，连接
四边形为正方形 为中点，又为中点
平面，平面 平面
（2）平面 直线与平面所成角即为

设，则
10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面.

(1)求证：平面；
(2)求侧面与底面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据已知以及勾股定理、面面垂直的性质定理，利用线面垂直的判定定理进行证明.
（2）根据已知，证明为侧面与底面所成二面角的平面角，再利用三角形的性质计算求解.
【详解】（1）证明：在中，
，
又侧面底面，
侧面底面平面，
平面，又平面，
，又，平面，
平面.
（2）
解：取的中点为，连接，
，所以
又侧面底面，侧面底面，面，
平面
又平面，，
过点作，垂足为，连接，又，平面，
平面，又平面，平面，
，
为侧面与底面所成二面角的平面角，
在直角中，，
，，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为.
11．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）通过证明平面，即可证明面面垂直；
（2）表达出二面角的平面角，即可求出二面角的平面角的正弦值.
【详解】（1）由题意，
因为四边形为菱形，所以.
连接AC.

因为，所以为等边三角形，从而.
在中，是的中点，所以.
因为平面，平面，所以.
∵，面，平面，面，∴平面.
又平面，∴平面PCE⊥平面PAD
（2）由题意及（1）得，在平面中，过点作，垂足为，连接.

因为平面,平面，所以.
又, 平面,平面，所以平面.
又平面，所以，
从而是二面角的平面角．
在Rt中，,，
所以.在Rt中，，，所以.
在Rt中,,
所以二面角的平面角的正弦值为.专题10 立体几何
1．异面直线夹角范围：
2．常见几何体的表面积
圆柱 圆锥 圆台 球
侧面展开图
侧面积
底面积
表面积
3．常见几何体的体积
柱体 (S为底面积，h为高) 锥体 (S为底面积，h为高) 台体 (S为上底面积，S’为下底面积，h为高) 球体 (R为球半径)
三棱锥的体积常常用等体积法转化
4．线面平行的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面 a α，b α，a∥b a∥α 判定需要写3个条件
性质定理 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
5．平面和平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内两相交直线平行，则这两个平面平行 a∥β，b∥β， a∩b＝P， a α，b α， α∥β 需要证2次线面平行
性质定理 两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面（证明线面平行） α∥β，a α a∥β
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 α∥β α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
6．直线和平面垂直的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α 需要写5个条件
性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 a∥b
7．平面和平面垂直的判定定理和性质定理
文字语言 图形表示 符号表示 备注
判定 定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 α⊥β 需要写6个条件
性质 定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 l⊥α
题型1 空间点线面之间的位置关系
例1．设为空间两条不同的直线,为空间两个不同的平面,给出下列命题：
①若,则；
②若,则；
③若且,则；
④若且,则．
其中所有正确命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
例2．已知、表示两条不同的直线，表示平面，则下面四个命题正确的是（ ）
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，则．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
题型2 空间几何体的表体积问题
例1．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
例2．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
例3．如图，圆柱的底面周长为，高为，圆锥的底面半径是，则该几何体的体积为 .
题型3 线面角问题
例1．在直三棱柱中，，.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)若与平面所成角为，求三棱锥的体积.
例2．已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面.
(1)求证：平面；
(2)已知，当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积.
例3．在正三棱柱中，已知它的底面边长为2.
(1)若该正三棱柱的高为4，分别求其表面积与体积.
(2)若直线与平面所成角的大小为，求三棱锥的体积.
题型4 二面角问题
例1．如图，在正方体中，
(1)求异面直线与所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
例2．如图，棱锥的底面是矩形，平面，．
(1)求证：平面；
(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．
1．在空间中，下列命题为真命题的是（ ）
A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行
C．平行于同一条直线的两条直线垂直 D．平行于同一个平面的两条直线平行
2．已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，则下列推理正确的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，
3．关于三条不同直线a，b，l以及两个不同平面，，下面命题正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，且，，则
4．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（ ）
A． B．4 C． D．
5．已知圆锥PO的底面半径为，轴截面的面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图,在三棱柱中,平面.
(1)求证:平面;
(2)求直线与平面所成角的大小.
7．在正四棱锥中，，直线PA与平面ABCD所成的角为，求正四棱锥的体积V．
8．如图，、是圆锥SO的两条母线，是底面圆的圆心，底面圆半径为10，是的中点，，与底面所成角为，求此圆锥的侧面积．
9．如图，是正方形，直线底面，，是的中点.
（1）证明：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.
10．如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，侧面是等腰三角形，且，侧面底面.

(1)求证：平面；
(2)求侧面与底面所成二面角的正弦值.
11．如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．

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