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第三讲 指对幂比较大小（讲）
【典例1】1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题以比较数的大小为背景，在选取的数值上精心设计，使得考生需要充分利用指数函数、二次函数的性质，并且灵活应用这些性质才能比较所给数的大小．试题考查了考生逻辑思维能力、分析问题与解决问题的综合能力．
【答案】A
【目标】试题考查了指数函数、二次函数以及复合函数的单调性，考查考生对指数函数性质的理解与掌握，考查考生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力与计算能力．
【分析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
【典例2】（2023·天津·统考高考真题）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【解读】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【答案】D
【目标】考查比较指数幂的大小，由幂函数的单调性比较大小，考查学生的计算能力.
【分析】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
【典例3】（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【答案】C
【目标】考查比较指数幂的大小，由幂函数的单调性比较大小，考查学生的计算能力.
【分析】因为，故.故答案为：C.
【典例4】（2022·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【答案】A
【目标】考查比较指数幂的大小，由幂函数的单调性比较大小，考查学生的计算能力.
【分析】由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
【典例5】（2022·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小.
【答案】C
【目标】利用幂函数、对数函数的单调性结合中构造函数法可得出、、的大小关系.
【分析】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
应用一 利用幂函数的性质比较大小
【例1】（2023上·江苏镇江·高三统考开学考试）下列结论正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【引导与详解】第一步：两边平方，利用基本不等式证明选项：选项A，因为，
所以，故A正确；
第二步：令，利用基本不等式证明选项：选项B，令，则，
则，故B正确；
第三步：利用分数性质比较大小：选项C，由及真分数性质“若则”，
可知，故C错误；
第四步：利用换底公式及对数函数单调性，可得，再结合指数函数与幂函数单调性比较大小：选项D，，由换底公式得，，
则，故，
则由是减函数得，，
又在单调递增得，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
应用二 指数式，幂式大小比较
【例2】（2023上·内蒙古赤峰·高三校考期中）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【引导与详解】第一步：比较a，b和1之间的关系：因为函数单调递减，所以，
又幂函数在上单调递增，所以，所以，
第二步：比较c与1之间的关系，进而得出a，b，c三者的关系：因为函数单调递增，所以，所以.
故选：D
应用三 比较指数、对数、幂的大小问题
【例3】（2023·四川遂宁·统考模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【引导与详解】第一步：求a的范围：由，则，所以；
第二步：比较a与b的关系：由，且，则，所以；
第三步：比较b与的关系：由，且，则，所以；
第四步：比较c与的关系：由，且，根据函数在上单调递增，则；
第五步：比较a，b，c之间的关系：综上可得，所以.
故选：D.
应用四 构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系
【例4】（2024·全国·高三专题练习），则（　　）
A． B． C． D．
【引导与详解】第一步：作差：依题意，，
第二步：构造函数并求导：令，
求导得，
第三步：利用单调性比较a与c的关系：因此函数在上单调递增，，即，则；
第四步：构造函数并求导：令，求导得，
第五步：利用单调性比较b与c的关系，进而得出a，b和c的关系：因此函数在上单调递增，，即，则，所以.故选：B
方法一： 比较指数、对数和幂的大小
1. 观察给出的数或表达式，识别它们是指数、对数还是幂。
2. 确定每个表达式的底数和指数。对于指数函数，底数是基数，指数是指数；对于对数函数，底数是基数，指数是未知数；对于幂函数，底数是基数，指数是未知数。
3. 根据函数的性质确定它们的大小关系。
a. 指数函数：对于底数为a（a>0且a≠1）的指数函数，当a>1时，函数f(x)是增函数，即x越大，f(x)越大；当0b. 对数函数：对于底数为a（a>0且a≠1）的对数函数，当a>1时，函数f(x)是增函数，即x越大，f(x)越大；当0c. 幂函数：对于幂函数，当n>0时，函数f(x)是增函数，即x越大，f(x)越大；当n<0时，函数f(x)是减函数，即x越大，f(x)越小。
4. 根据上述性质，比较给定的指数、对数和幂的大小。
5. 得出结论。根据比较结果确定哪个表达式最大、哪个最小。
方法二： 构造函数求导法比较大小
第一步：我们需要确定要比较的函数，对这个函数求导，得到它的导数。
第二步：通过判断导数的正负性，我们可以确定函数的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
第三步：根据函数的单调性，我们可以比较指数函数、对数函数和幂函数的值的大小。
第四步：我们可以根据需要求出具体的x值，比较指数函数、对数函数和幂函数的值的大小。
方法三： 用近似值法比较指对幂函数值大小
1. 选择起始点：选择一个起始点，通常选择自变量为1时的函数值作为起始点。
2. 计算近似值：利用指对幂函数的性质，计算出在起始点附近的近似值。
3. 比较近似值：比较两个函数的近似值，可以初步判断它们的大小关系。如果一个函数的近似值大于另一个，那么可以初步判断该函数在整体上大于另一个函数。
4. 分析变化趋势：如果不能通过比较近似值确定大小关系，还需要分析函数在自变量增大时的变化趋势。
5. 得出结论：结合以上步骤的分析，得出比较指对幂函数值大小的结论。
需要注意的是，使用近似值法进行比较时，可能会有一定的误差。因此，在分析过程中需要谨慎对待，并结合其他方法进行验证。
方法四： 利用放缩法比较指对幂函数值大小
1. 选择一个合适的放缩因子，并将选定的函数乘以放缩因子，得到放缩后的函数。
2. 利用导数或单调性等数学工具，比较放缩后的函数的值的变化情况。
3. 最终根据放缩的结果对函数值进行比较。
微点：函数比较大小问题——1/0比较法或特殊值法
【表现形式】题干中出现与指数函数、对数函数、幂函数有关的函数比较大小的问题．
【步骤】因为指数函数过定点（0，1），对数函数过定点（1，0），幂函数过定点（1，1），所以它们的函数值的取值情况都与0或1这种特殊数有关，所以在比较大小时常常用1或0作为分界点进行比较．除此之外，有的时候如果题目给出了很多参数进行比较大小，我们也可以利用特殊值法来比较大小．
类型 比较大小的数值为具体数值 比较大小的数中存在参数或变量
方法 0/1比较法 特殊值法
步骤 一、先确定每个数字与0或1的大小关系；二、根据第一步的结果确定各个数字的大小关系即可； 三、下结论．（见例1） 一、对题目中的参数（或变量）进行赋值，将问题转化为具体数值的大小比较；二、利用指数函数、对数函数、幂函数的图象及性质比较各个具体数值的大小关系即可； 三、下结论．（见例2、例3）
【例1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案B
解析由于此题中所给的a，b，c都是具体的数值，此时没有办法进行赋值，也就没有办法用特殊值法，所以此时采用1/0比较法进行求解．
∵，∴．
∵，∴．
∵，且，∴，故选B．
【例2】设为正数，且，则（ ）
A． B． C．\\ D．
答案D
解析　因为在中出现了变量，所以此时用特殊值法比较，不妨令，则，，由指对互化公式得，．所以此时，，，所以，故选D．
【跟踪练习】
1．设，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则有
A． B． C． D．
3．设,则（ ）
A． B． C． D．
4．设不为的实数满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，且，则下列不等式中恒成立的是（　 　）
A． B． C． D．
6．已知，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据对数函数、指数函数的知识确定三者的大小关系.
【详解】∵，，，
∴的大小关系是．
故选：C
2．A
【详解】∵,
∴
故选A
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
3．A
【解析】利用中间量隔开三个值即可.
【详解】∵，
∴，又，
∴，
故选：A
【点睛】本题考查实数大小的比较，考查指对函数的性质，属于常考题型.
4．B
【解析】当时，结合对数函数性质易判断A不成立；
考查的单调性易判断B成立；
考查的单调性易判断C不成立；
当时，考查的单调性易判断D不成立.
【详解】解：时，，，，∴A不成立；
∵在上是增函数，且，∴，∴B成立；
当0＜b＜1时，是减函数，，∴C不成立；
当时，在上是减函数，∴，∴D不成立.
故选：B
【点睛】思路点睛：分别考查对数函数、幂函数、指数函数的单调性，结合取特殊值，是解决对数值、幂值比较大小一类题的常用方法.
5．C
【分析】主要利用排除法求出结果．
【详解】对于选项A：
当时，不成立；
对于选项B：当时，，所以不成立；
对于选项D：当时，不成立；
故选C．
【点睛】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，排除法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
6．A
【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数的性质即可得到答案.
【详解】由已知，，，，所以.
故选：A
【点睛】本题考查指、对、幂的大小比较，考查学生的逻辑推理与基本计算能力，是一道容易题.
答案第1页，共2页
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