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第四讲 抽象函数（讲）
【典例1】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
【答案】D
【目标】本题考查抽象函数，函数的对称性.
【分析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【典例2】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【解读】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
【答案】A
【目标】本题考查函数奇偶性的应用，由抽象函数的周期性求函数值
【分析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【典例3】（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【答案】C
【目标】本题考查抽象函数的奇偶性.
【分析】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：【典例4】（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【答案】D
【目标】本题考查由奇偶性求函数解析式，函数奇偶性的应用，抽象函数的奇偶性，函数周期性的应用.
【分析】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【典例5】（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【答案】B
【目标】本题考查函数奇偶性的应用，函数的周期性的定义与求解.
【分析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
【典例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
【答案】BC
【目标】本题考查抽象函数的奇偶性，函数对称性的应用，函数与导函数图象之间的关系.
【分析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【典例7】（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【解读】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【答案】ABC
【目标】本题考查函数奇偶性的定义与判断，函数极值点的辨析.
【分析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
应用一 抽象函数的定义域
【例1】（2023上·四川遂宁·高三统考期中）函数的图象恒过点，函数的定义域为，，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：求出定点坐标：
当时，即，则，
所以恒过定点，
第二步：求得的解析式，进而可得的解析式：
则，定义域为，由，得，
则的定义域为，
则，
第三步：再结合抽象函数的定义域求得的定义域，结合函数的单调性求解函数的值域.：
又在上单调递增，则在上单调递增，
则，
，
所以函数的值域为.
故选：C
应用二 抽象函数的值域
【例2】（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
【引导与详解】
第一步：根据函数的奇偶性对称性结合求出函数的周期：
因为是偶函数，所以，由知，，所以，则f（x）为偶函数.
由是奇函数可知，，所以，则，则，
所以，所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.
第二步：根据一个周期内的函数值计算求和：
由得，，则，所以，
由得，，即，所以，
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.
故选：A.
应用三 求抽象函数的解析式
【例3】（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在上的函数满足，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：利用赋值法求和函数的表达式：
令，得.
令，得，解得，
第二步：利用单调性解不等式：
则不等式转化为，
因为是增函数，且，
所以不等式的解集为.
故选：A
应用四 抽象函数的奇偶性
【例4】（2023上·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【引导与详解】
第一步：由函数是上的偶函数与的图象关于点对称可得出函数的周期：
因为函数是上的偶函数，
所以，
因为的图象关于点对称，
所以，即，
所以，
所以，
所以函数是上周期为4的函数，
第二步：根据时的表达式求解出一个周期的函数值.
当时，，
所以，，
又，，
第三步：求的值：
所以，
所以.
故选：D.
应用五 判断证明抽象函数的周期性
【例5】（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．23 B． C． D．3
【引导与详解】
第一步：根据条件求出函数的周期：
因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
令，则，所以，，
所以，，
则，
所以的周期，
第二步：根据函数的周期性求值：
因为，
所以，，，，
所以．
故选：C．
应用六 由抽象函数的周期性求函数值
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知.若是以2为最小正周期的周期函数，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【引导与详解】
第一步：计算根据函数的周期性：
因为是以2为最小正周期的周期函数，所以
，
第二步：比较等式两端求：
所以
解得.
故选：B
方法一：赋值法
第一步：理解问题，选择变量：首先，理解问题的要求和目标，以及问题中的函数和变量的含义.选择一个或多个变量进行赋值.这些变量通常对应于问题中的某些特定元素或条件.
第二步：赋值：根据问题的要求和选择的变量，基于题目给出的条件或逻辑进行合理的赋值.
第三步：应用函数：将你赋值的变量代入到抽象函数中，利用函数的性质和定义进行计算或推理.
第四步：得出结论，验证答案：根据函数的计算或推理结果，得出问题的答案或解决方案.对答案进行验证，确保它们符合问题的要求和逻辑.
方法二： 数形结合法
第一步：理解题意：首先，仔细阅读题目，理解其要求和所给条件.明确题目所涉及的数学知识点，以及抽象函数的具体形式和性质.
第二步：画出草图：根据题目的描述和给定的函数形式，尝试画出函数的草图.这一步可以帮助你直观地理解函数的性质，如对称性、单调性、周期性等.
第三步：分析性质：在草图的基础上，分析函数的性质.例如，可以观察函数的奇偶性、单调性、周期性等.这些性质对于后续解决问题至关重要.
第四步：联系具体与抽象：将函数的抽象表达式与图形结合起来，利用图形的直观性来理解函数的性质，同时利用函数的性质来验证图形.
第五步：解决问题：根据题目的具体要求，结合函数的性质和图形，选择适当的数学工具和方法来解决问题.例如，如果问题是求函数的值域或定义域，可以根据函数的单调性或最值点来确定；如果问题是比较函数值的大小，可以根据函数的对称性或周期性来分析.
第六步：验证答案：最后，要验证所得答案的正确性.可以通过将答案代入原函数进行验证，或者利用图形的直观性来检查答案是否符合预期.
方法三： 构造法
第一步：理解问题：首先，理解问题的本质.仔细阅读题目，明确问题的要求，以及所涉及的数学概念和知识点.
第二步：确定目标：明确想要证明或求解的具体目标.这可以是求解某个具体的数学表达式，或者证明某个特定的数学关系.
第三步：构造函数：根据问题的特性和所涉及的数学知识，构造一个适当的函数或表达式.这个函数或表达式应该能够反映问题的内在规律，并且能够使问题简化或更容易处理.
第四步：利用函数的性质：利用所构造的函数的性质和已知的数学知识，推导和证明目标.这可能涉及到函数的导数、积分、极限等性质，以及一些基本的数学定理和公式.
第五步：得出结论：根据上述推导和证明，得出结论.如果目标是求解某个数学表达式，那么你可能需要求解构造的函数的极值、积分等；如果目标是证明某个数学关系，那么可能需要证明构造的函数满足这个关系.
第六步：验证答案：验证答案或证明是否正确.可以通过重新检查你的推导过程，或者使用其他方法来验证.
微点：特殊值（函数）法在特殊值函数中的运用
【表现形式】题干中未给定函数解析式，然后研究此函数的相关问题．
如：已知是定义在上的单调增函数，且满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法】特殊值（函数）法
根据抽象函数的类型，常取以下基本初等函数：
抽象函数模型 适用模型的基本初等函数
正比例函数
或 幂函数
或 指数函数
或 对数函数
正弦或余弦函数
正切函数
【步骤】抽象函数往往来源于我们熟悉的一些基本初等函数，所以在处理抽象函数问题时，
（1）我们需要观察得出题干中所给的抽象函数的结构特点，
（2）根据它的结构特点匹配我们熟悉的基本初等函数，
（3）用具体的基本初等函数来研究问题，这样就可以把抽象问题具体化，达到快速求解的目的．
【例1】已知是定义在上的单调增函数，且满足，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析　取函数，此时满足题干，
则，
所以解得．
【例2】若，有，则函数在区间[－2017，2017]上的最值之和为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
答案 B
解析　 取函数，此时满足题干，因为为奇函数，
所以．
【跟踪练习】
1．如果函数对任意满足,且,则
A．505 B．1010 C．2020 D．4040
2．若符合：对定义域内的任意的，都有，且当时，，则称为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是
A． B． C． D．
3．设函数的定义域是，且对任意正实数，y，都有恒成立，已知，则 .
4．已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 .
5．已知函数的定义域为，且满足，且，如果对任意的、，都有，那么不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】推导出，由此能求出则的值．
【详解】解：函数对任意，满足，且，
，
．
故选．
【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
2．B
【分析】利用好函数的定义，判断选项的正误即可．
【详解】解：对定义域内的任意的，，都有，说明函数是指数函数，排除选项C，D；
又因为：时，，所以排除选项A；
故选B．
【点睛】本题考查好函数的定义的应用，指数函数的简单性质的应用，是基本知识的考查．
3．－1
【分析】赋值得到，然后代入求解即可.
【详解】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案为：.
4．
【分析】通过赋值，可得到函数是关于对称，利用对称性即可求解.
【详解】令，可得到，
令，可得到，所以，
所以该函数是关于对称，
假设当在处取得最大值，那么会在处取得最小值，
根据函数是关于对称，
所以．
故答案为：.
5．B
【分析】计算出，并由可得出函数在上为减函数，再由，可得出，再由函数在上的单调性可得出，解出该不等式即可.
【详解】由于对任意的实数、，且.
令，可得，且，解得.
令，则，，.
.
设，则，由，得.
所以，函数在上为减函数，由，可得.
所以，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故选B.
【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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