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第一讲 求函数值域（讲）
【典例1】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第6题）已知函数在区间单调递增、则a的最小值为（ ）
A． B．e C． D．
【解读】试题通过导数将单调性、不等式等知识有机整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查全面．试题重视基础，考查考生化归与转化的能力和主动探究的能力，为高校选拔人才提供了有效依据，能够很好地引导中学数学教学，有助于实现高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能．
【答案】C
【目标】试题以单调性为背景，考查导数的应用和不等式的综合运用，考查考生灵活运用知识分析函数性质的能力以及化归与转化的能力．
【分析】解题思路 由，得．因为函数在区间单调递增，所以当时，，即．
设函数，则．当时，，于是在区间单调递减．又，，从而的值域为．
又当时，，所以a的最小值为，故选C．
应用一 复杂函数值域
【例1】（2023·辽宁丹东·统考二模）设函数由关系式确定，函数，则（ ）
A．为增函数 B．为奇函数
C．值域为 D．函数没有正零点
【答案】D
【引导与详解】
第一步：求出函数解析式：在函数中，，可知
第二步：画出函数图象：画以下曲线，，，．
这些曲线合并组成图象，是两段以为渐近线的双曲线和一段圆弧构成．
第三步：分析函数的性质并得出函数性质：因为作图象在轴右侧部分包括点关于x轴对称，得到曲线，再作关于坐标原点对称，去掉点得到曲线，与合并组成图象．由图象可知，不是奇函数，不是增函数，值域为R．当时，图象与图象没有公共点，从而函数没有正零点．故选：D.
应用二 根据值域求参数值或范围
【例2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：求出函数的值域：函数，当时，，
则，则，
第二步：分、、两种情况讨论，求出函数在上的值域：函数在的值域记为，对任意的，存在，使，则，
①当时，，则，则；
②当时，因为，则，则，
所以，，解得；
③当时，因为，则，即.
第三步：求出的取值范围：所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
应用三 抽象函数值域
【例3】（2023·山西·校联考模拟预测）已知函数都是定义在上的函数，是奇函数，是偶函数，且，则（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
【引导与详解】
第一步：讨论函数的奇偶性：因为是偶函数，所以,由知，，所以，则f（x）为偶函数.
第二步：讨论函数周期性：由是奇函数可知，，所以，则，则，所以，
所以，则，所以，则4为f（x）的一个周期.
第三步：求出时的值，即可求出的值：
由得，，则，所以，
由得，，即，所以,
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.故选：A.
应用四 复合函数值域
【例4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．是周期函数
B．在区间上是增函数
C．的值域为
D．关于对称
【引导与详解】
第一步：求出函数周期：由题知，，
，
是函数的一个周期，故A正确；
第二步：讨论复合函数的单调性：在区间上是增函数，
其值域为在区间上是增函数，
根据复合函数同增异减法则知，在区间上是增函数，故B正确；
第三步：判断的单调性，进而求出的值域：
的值域为在区间上是增函数，
的值域为，故C正确；
第四步：讨论函数的对称性：，
所以不关于对称，故错误，故选：D.
应用五 导函数法求函数值域
【例4】（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）若函数存在两个极值点和，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：对函数求导，分析函数性质，并得出表达式：，
因为存在两个极值点和，故和为的两个不同的根，
故且，，，
故（舍）或且，
所以，
同理，
故
，
第二步：表达函数并求导得出单调性：设，故，
故在上为减函数，故，
第三步：得出结论：故的取值范围为：，故选：C.
方法一： 单调性法求值域
第一步：观察函数的表达式，确定其定义域.对于一些复杂的函数，可能需要先进行简化或分解，以便更好地确定定义域.
第二步：在定义域内，我们可以利用导数或函数图像等方法来判断函数的单调性.如果是二次函数，可以根据二次项系数和判别式的符号来判断；如果是三角函数，可以根据正弦、余弦函数的图像来判断.
第三步：根据函数的单调性，我们可以找到极值点.对于单调递增的函数，极值点通常出现在自变量由增变减的位置；对于单调递减的函数，极值点通常出现在自变量由减变增的位置.
第四步：计算极值点处的函数值和在定义域两端的函数值.这可以通过代入自变量到函数表达式中来实现.
第五步：比较这些函数值，取其中的最大值和最小值，即可得到函数的值域.如果函数在定义域内不单调，可能会有多个极值点，这时我们需要考虑所有极值点处的函数值和在定义域两端的函数值，以确定最大值和最小值.
需要注意的是，在使用单调性法求值域时，我们需要对函数的表达式、定义域、单调性和极值点有清晰的认识和正确的判断.同时，对于一些特殊的函数或复杂的问题，可能需要结合其他方法或技巧来解决.
方法二： 判别式法求值域
第一步：我们需要将二次函数转化为标准形式，即，然后计算判别式Δ.
第二步：根据Δ的值，我们可以判断函数的值域.
如果Δ>0，说明函数有两个不同的实数根，这时函数在实数范围内有定义，值域为空集.
如果Δ=0，说明函数有一个重根，函数在实数范围内仍有定义，值域为空集.
如果Δ<0，说明函数在实数范围内无定义，值域为全体实数.
方法三： 分离常数法求值域
第一步：将函数式化为两个部分，一个是分子，一个是分母，其中分子是一个常数，分母是一个多项式或一个简单的函数式，并根据函数的性质，确定分子和分母的取值范围.
第二步：将分子和分母进行分离，即将分子作为一个单独的函数式，将分母作为一个多项式或一个简单的函数式.对于分子和分母的取值范围，确定它们的值域.将分子和分母的值域合并，得到函数的值域.
方法四： 求指数函数复合型函数的值域
第一步：识别复合函数的组成，判断该函数是由哪些基本初等函数复合而成的.
第二步：研究指数函数的性质，进而确定该函数的取值范围.
第四步：根据每个简单函数的性质，确定它们的值域.
第五步：根据函数的定义域和值域的关系，综合求解整个复合型函数的值域.
方法五： 导函数法求值域
第一步：确定函数的定义域，求导函数.
第二步：解方程，求出导函数的零点.
第三步：根据导函数的零点，将定义域划分为若干个小区间，确定每个小区间内导函数的符号.
第四步：根据每个小区间内导函数的符号，判断原函数的单调性.
第五步：根据原函数的单调性，求出原函数的极值点.
第六步：根据极值点，确定原函数的值域.
微点：对勾函数求值域
【表现形式】①求函数值域；②求最值.
【步骤】
（1）通过代数变形（一般为换元），将待求函数变形为含对勾函数的形式．
（2）根据对勾函数的相关性质，得到这个新函数的值域（最值），从而解决问题，通常包含以下几种情形．
①二次比一次型：形如，此时把分母看作一个整体进行换元，即可化成对勾函数的形式，进而求解出值域．
②一次比二次型：形如，此时将分子、分母同除以分子，分母就变成了①中的形式，换元后继续操作即可．
③二次比二次型：形如，此时先把分子中的二次项分离常数分离下去，就变成了②中的形式，再将分子、分母同除以分子，换元后继续操作即可．
需要注意的是，换元后注意新元取值范围的变化.并且，分子、分母同时除以某个式子时，注意这个式子是否可能为0．
【例1】求函数的值域．
答案
解析 先令，将函数变形为，然后根据对勾函数基本性质，得到函数的值域，即函数的值域．下面进入完整解题步骤：设，则，因为，所以．因为，所以．构建函数，函数在上单调递减，在上单调递增（对勾函数的性质），所以当时，函数取得最小值，所以函数的值域为，所以函数的值域为．
【例2】求函数的值域．
答案
解析 符合一次比二次的形式，时单独讨论，时分式上下同除以分子后转化为二次比一次型处理．当时，．当时，分式上下同除以得．由对勾函数的值域可知，当时，，所以．综上所述，函数的值域为．
【跟踪练习】
（2023·河南·校联考模拟预测）
1．设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（ ）
A．-4 B． C．4 D．1
（2023·湖北武汉·统考一模）
2．已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重庆·统考模拟预测）
3．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在上的值域为
C．若在上单调递减，则
D．若，则在定义域上单调递增
（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）
4．给出下列说法，错误的有（ ）
A．若函数在定义域上为奇函数，则
B．已知的值域为，则的取值范围是
C．已知函数的定义域为，则函数的定义域为
D．已知函数，则函数的值域为
5．求函数的值域．
（2023·全国·模拟预测）
6．若方程在上有实根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由数量积的定义表示求出，再利用条件，结合点在函数（）图象上，可求出点，从而解决问题.
【详解】设点，则，，
，
又， 则
可得，又，则，
解得，所以.
故选：A

2．B
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：
由图可知，当或时，两图象相交，
若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：
当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；
同理当,值域也不是；
当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；
综上可知，实数的取值范围是.
故选：B
3．AC
【分析】求得的定义域判断选项A；求得在上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得时的单调性判断选项D.
【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确；
选项B：，
由，可得，则，
当时，，则在上的值域为；
当时，，，
即在上的值域为；
当时，，，
即在上的值域为.
综上，当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为.判断错误；
选项C：，
若在上单调递减，则，解之得.判断正确；
选项D：，
则时，在和上单调递增.判断错误.
故选：AC
4．ABD
【分析】由奇函数的定义判断A，函数的值域满足判断B，根据抽象函数的定义域判断C，由对数函数的运算性质结合换元法判断D.
【详解】选项A：函数在定义域上为奇函数，
则，即，即，
即，整理得，即，
所以，解得，
当时，，该函数定义域为，满足，符合题意，
当时，，由可得，此时函数定义域为，满足，符合题意，
综上所述，选项A说法错误；
选项B：因为的值域为，
所以函数的值域满足，
所以，解得，所以B说法错误；
选项C：由得，所以的定义域为，选项C说法正确；
选项D：因为函数，
所以，，
当时，，
令，，则，
即函数的值域为，选项D说法错误；
故选：ABD
5．
【分析】先分离常数，再分类讨论与，结合换元法与对勾函数的性质即可得解.
【详解】，
当时，，
当时，，
令，则，，
所以，
由对勾函数的值域可知，当时，，
所以，
所以．
综上所述，函数的值域为．
6．C
【分析】根据题意，化简得到，设，得到，求得，得到为增函数，转化为方程在上有实根，设，利用导数求得函数的单调性，结合，进而求得的范围.
【详解】由，可得，即，
因为，可得，所以，其中，
设，则，
又因为，所以在上为增函数，
所以，即，
所以问题转化为方程在上有实根，
设（），则，所以在上是减函数，
所以，解得．
故选：C．
【点睛】关键点睛：解本题的关键是通过函数的单调性，把在上有实根转化为在上有实根，对于既含有指数式又含有对数式的等式或不等式，直接求导会出现越求导式子越复杂的情况，此时可通过同构函数，再利用函数的单调性，把问题转化为较为简单的函数的导数问题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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