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第二讲 函数的性质综合应用（讲）
【典例1】（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【解读】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可
【答案】C
【目标】本题考查判断指数型复合函数的单调性，对数型复合函数的单调性，根据解析式直接判断函数的单调性.
【分析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.
【典例2】（2023·全国·统考高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题以比较数的大小为背景，在选取的数值上精心设计，使得考生需要充分利用指数函数、二次函数的性质，并且灵活应用这些性质才能比较所给数的大小．试题考查了考生逻辑思维能力、分析问题与解决问题的综合能力．
【答案】A
【目标】试题考查了指数函数、二次函数以及复合函数的单调性，考查考生对指数函数性质的理解与掌握，考查考生灵活运用知识分析问题、解决问题的能力与计算能力．
【分析】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
【典例3】（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【解读】函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的主要工具．函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础．试题以基本初等函数的简单组合为载体，考查函数的奇偶性、运算求解能力及分析问题解决问题的能力．试题解答虽有技巧，但也是通性通法，考生也可以通过代入a的值，验证函数的奇偶性，试题设问简单，指向明确，有利于考生寻找思路．试题侧重对基础知识和必备能力的考查，对高中教学有很好的导向作用．
【答案】D
【目标】试题以基本初等函数为背景考查函数的奇偶性概念，主要考查基本的运算求解能力以及函数与方程的思想．
【分析】思路1 由于，因此．
故，即得，所以选D．
思路2 由题设可知．由于是偶函数，因此，
即，从而，故，正确选项是D．
思路3 由于是偶函数，因此，即，
故．
由题设可知，则，即得，故选D．
思路4 代入验证法
将，，1分别代入函数的表达式，计算和，验证可知，从而当，，1时都不是偶函数，故选项A，B，C都不正确，正确选项是D．
思路5 由题设，是偶函数当且仅当是奇函数．
由可得．
结合四个选项可知只有当时，成立，故选D．
【典例4】（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
【解读】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案.
【答案】D
【目标】考查函数奇偶性的定义与判断，判断指数型函数的图象形状，识别三角函数的图象（含正、余弦，正切），根据函数图象选择解析式
【分析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
【典例5】（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解读】题干以指数函数与二次函数等考生熟悉的初等函数为背景，考查考生对函数单调性的理解和掌握．通过简单的逻辑推理，结合函数单调性定义就可以正确求解．试题突出对基本概念的考查，要求能够利用定义来判定函数单调性．试题回归教材，对中学教学有较好的导向作用．
【答案】D
【目标】考查考生对函数单调性的理解与掌握，以及灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．
【分析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
【典例6】（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【解读】试题设计简洁，问题明确，给出了一个含有参数的函数解析式，要解决的是关于函数奇偶性的问题．其中函数的主干部分为对数函数，其基本性质是中学数学的重点内容和必备知识，属于考生熟悉的知识范畴．具体来说，本试题包含如下诸多亮点．
（1）突出基础性要求，助力“双减”政策落地．高考“四翼”考查要求中的基础性表现为深刻理解基础知识，掌握基本技能，学会实际应用．这就要求考生对基本概念、基本原理有比较深刻的理解，对学科的研究对象、研究内容、研究方法等有整体把握，对教材的知识能融会贯通，为进入高校继续学习发展提供可靠的基础支撑．本试题首先就是要求考生对函数的奇偶性、对数函数的性质等主干知识有整体把握，并能熟练地加以运用．
（2）注重解题思路的多元性和解题方法的灵活性．突出数学本质，注重通性通法．本试题的求解，既可以通过验证函数奇偶性的定义，也可以巧妙应用奇偶函数的运算性质，使不同思维水平的考生都能充分发挥．
（3）试题位于试卷靠前位置，考查对数函数等考生熟悉的内容，有利于稳定考生情绪，助力考生正常发挥，体现了高考“立德树人，服务选才，引导教学”的核心功能．
【答案】B
【目标】试题以对数函数与一次函数为主干，考查函数的奇偶性和对数函数的性质等基础知识，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力
【分析】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
【典例7】（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【解读】试题是多项选择题中相对较难的题目，大部分考生对抽象函数，尤其是函数方程的有关内容不是非常熟悉．本题需要较强的逻辑思维能力，有利于考查考生的数学素养，选拔创新性人才．
试题是一道重思维、轻计算的题目，题目中关于函数的方程的形式具有“齐次性”，即把函数换成时，方程是不变的，而D选项所陈述的性质与“齐次性”相悖．数学素养较好的考生，在判断D选项时，会注意到方程式的齐次性这一性质，快速排除错误选项，从而节省时间．多选题的题型设置为不同能力水平的考生提供了发挥的空间，试题源于教材，紧扣课程标准，对考生的能力进行了很好的区分，具有较好的选拔功能．
【答案】ABC
【目标】试题以抽象函数为背景，考查了考生逻辑推理的核心素养，以及关于抽象函数的综合分析能力．
【分析】思路1 （1）代入可得，即，故选项A正确．
（2）代入可得，即，故选项B正确．
（3）对，代入可得，即，代入可得，因此恒成立，是偶函数，故选项C正确．
（4）由于且，我们对正实数考虑函数（这样由可推出的所有取值）．题设可转化为对任意正实数，成立，由这个式子比较容易想到的解为，对应的（），且．当参数时，是的极大值点而非极小值点．故选项D错误．
思路2 处理抽象函数类型的问题，一般思路是先代入一些特殊值，希望得到关于函数取值的信息．这要求代入的变量的特殊值能使得题目中的式子变得尽量简单，例如本题对变量依次代入特殊值，，，都满足，这时题设式子可以合并同类项，呈现出较为简单的形式．通过带入这些特殊值，得到的信息足以判断ABC三个选项均正确．
对于选项D，可以观察到当函数满足题意时，另一个函数也满足题意．因此如果D正确，则是的极小值点，也是的极小值点，这样既是的极小值点，又是极大值点，导致矛盾，因此选项D不正确．
【典例8】（2023·北京·统考高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【解读】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【答案】②③
【目标】考查分段函数的性质及应用，函数图象的应用，求平面两点间的距离，直线与圆的位置关系求距离的最值
【分析】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，
显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，
当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，
因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【典例9】（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则 ．
【解读】试题表述简洁规范，给出了一个含有参数的函数解析式，要解决的是关于函数奇偶性的问题．所给的函数包括二次函数与正弦函数两部分，这两种函数的基本性质是中学数学的重点内容和必备知识，属于考生熟悉的知识范畴．
试题贴近教材，突出基础性要求．试题要求考生对函数的奇偶性、正弦函数的性质等基本概念、基础知识、基本原理有整体把握和深入理解，对教材的知识融会贯通，并能熟练地加以运用．试题科学引导中学教学，促进教考衔接，引导学生提高在校学习效率，避免机械、无效的学习，落实高考评价体系中“四翼”的考查要求，助力“双减”政策落地．
试题注重解题思路的多元性和解题方法的灵活性．突出数学本质，注重通性通法，展现考生的思维过程．试题的求解，既可以通过验证函数奇偶性的定义，也可以巧妙应用奇偶函数的运算性质，使得不同思维水平的考生都能得到充分展示．
【答案】2
【目标】试题考查函数的奇偶性和正弦函数的性质等基础知识，考查学生的逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力．
【分析】思路1 利用偶函数的定义进行计算．
由知，．
由正弦函数的性质得，进而整理可得，所以．
思路2 代入特殊值进行计算．
容易看出，同时．由可得，所以．
思路3 利用奇偶函数的运算性质．
本题中，由三角函数诱导公式知，这是一个偶函数．由题设，为偶函数，故作为偶函数与偶函数的差，仍是一个偶函数，所以．
【典例10】（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【解读】试题设计一个含有参数的函数，将其性质的研究分层设计，层层递进．第（1）问给定参数值，求曲线在确定点处的切线方程，考查导数的几何意义，考点常规且基本，面向大部分考生，符合低起点的命题要求．试题第（2）问通过合理设计，引进曲线，求出使得曲线关于直线对称的常数a，b，对考生的思维能力有更高的要求，需要考生利用对称曲线的性质，特别是函数定义域的特殊性．首先确定常数，再利用对称性得到常数a，该问也可以利用对称的定义直接求常数a，b，但需要考生具备较强的观察能力以及恒等变形能力．试题第（3）问给出函数存在极值点的条件，要求确定参数的取值范围，将函数与不等式有机结合，为考生解答提供了广阔的想象空间．该问需要考生打破常规思路，综合利用函数特征，利用化归与转化的思想，将证明在存在零点，转化为证明在存在零点，从多角度考查考生利用导数研究函数性质的方法，对逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合的能力提出了较高要求，尤其对逻辑推理能力的考查，层次分明，区分度较高，突出选拔功能．
试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【答案】(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【目标】考试题考查导数公式、导数运算法则以及导数的几何意义；考查利用导数判断函数单调性、极值点的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力；综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论的思想．
【分析】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
故，即(取等条件为)，
所以，
，且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
应用一 奇偶性解抽象函数不等式
【例1】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：求函数定义域：由题可知函数的定义域为，
第二步：分析函数性质，并由单调性求不等式解集：∵，
∴是偶函数，
∴由可得，即.
当时，，∵和在上都是单调递增的，
∴在上单调递增，又因是偶函数，
∴在上单调递减.
又∵，由函数的定义域知有，
∴由可得，解得：；
由可得，解得：.
综上，不等式的解集为.
故选：D.
应用二 构造奇偶函数求函数值
【例2】（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】第一步：分析函数性质：因为函数的定义域为，为偶函数，则，即，又因为为奇函数，则，所以，，可得，
第二步：利用函数性质求值：在等式中，令可得.故选：B.
应用三 对称性，周期性与奇偶性综合问题
【例3】（2023上·山东淄博·高三统考期中）已知函数是R上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称 B．4是的一个周期
C． D．
【引导与详解】第一步：利用奇函数求函数对称轴：函数是R上的偶函数，
，不恒为零，
，即为奇函数，
对于A：，，
从而，
，
即的图象关于直线对称，A正确；
第二步：求函数周期：对于B：，
即，，
， 是以为周期的函数，B错误；
第三步：带入求值：对于C：，C错误；
第四步：通过单调性与奇偶性比较函数值大小：对于D：当时，均为单调递增函数，在上单调递增，
又为奇函数，在上单调递增，
又，
，D错误.
故选：A.
应用四 单调性求参数
【例4】（2023上·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【引导与详解】第一步：分析函数单调性：由题意知函数由复合而成，
在R上是单调递减函数，故由在区间上是减函数，
第二步：利用单调性求范围：可知在区间上是增函数，故，
即实数的取值范围是，
故选：B
应用五 导数法证明或求解单调区间
【例5】（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期中）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．的极大值为
B．的单调递增区间为
C．曲线在处的切线方程为
D．方程有两个不同的解
【引导与详解】第一步：利用导函数求单调性：函数，定义域为，，令，解得，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误；
第二步：利用单调性求极值：有极小值，无极大值，A选项错误；
第三步：利用导数求切线方程：由，曲线在处的切点为，切线斜率为1，切线方程为，C选项正确；
第四步：利用函数图象求解的个数：方程，即，函数与的图像在上只有一个交点，所以方程有一个解，D选项错误；
故选：C.
应用六 导数法知单调区间求参数
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知函数（且）的图象恒过点A，函数的图象恰好过点A，且在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】第一步：求函数表达式：令，得，所以函数的图象恒过点，
将点A的坐标代入函数，得，则，
所以，则，
第二步：利用函数单调性解不等式，进而求参数：因为函数在上单调递减，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
可得在上恒成立，
则在上恒成立，
因为在上单调递增，且，
即在上的最小值为5，则，解得，
又因为且，所以实数a的取值范围为.
故选：B．
应用七 导数法判断函数大小关系
【例7】（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，则的大小关系为（ ）
A．. B．
C． D．
【引导与详解】第一步：利用导函数求函数单调性：易知是偶函数，，当时，
因为，所以.
令，则，所以单调递增，
所以，所以在上单调递增.
第二步：构造函数判断大小：构造函数，则.
令，得，令，得，所以在区间上单调递增，
在区间上单调递减.又，所以，
所以，所以，
第三步：判断三个数的大小：所以，即.
故选:.
方法一： 处理单调性、对称性和周期性问题，可以遵循以下步骤：
1. 确定问题的性质：首先要明确问题是关于函数的单调性、对称性还是周期性.
2. 根据问题的性质，选用适合的数学方法例如求导数、绘制函数图像、解方程等，以便理解和解决这个问题.
3. 全面理解题目给出的所有条件和要求，特别注意那些可能隐藏在文字描述中的条件.
4. 建立数学模型：根据问题的性质和已知条件，构建适当的数学模型.如果问题是关于函数的单调性，可以画出函数的图像，标注单调区间；如果是关于对称性，可以找到函数的对称轴或对称中心；如果问题是关于周期性，可以找出函数的周期.
5. 进行计算或分析：根据建立的数学模型，进行计算或分析.如果问题较复杂，可能需要使用计算机软件进行数值计算和模拟.
6. 整合答案：根据计算或分析的结果，整合答案.如果问题是关于函数的单调性，可以写出单调区间和单调函数；如果问题是关于对称性，可以找到对称轴或对称中心并解释其意义；如果问题是关于周期性，可以写出函数的周期并解释其意义.此外，还要注意答案的表述方式，确保答案清晰、准确、易于理解.
方法二：利用导数法研究函数单调性的基本步骤如下：
1. 确定函数f(x)的定义域并求导数.
2. 求解导数方程为0的根，这些根称为临界点或转折点.
3. 通过临界点将定义域划分为若干个区间，然后分别讨论每个区间的单调性.若在某个区间内，导函数大于0，则f(x)在此区间内单调递增；若在某个区间内，导函数小于0，则f(x)在此区间内单调递减.
反过来，也可以利用函数的单调性解决相关问题，例如确定参数的取值范围.如果函数f(x)在区间(a，b)内可导，那么有如下几个结论：
1. 如果函数y=f(x)在区间(a，b)上为增函数，则导函数不小于0.
2. 如果函数y=f(x)在区间(a，b)上为减函数，则导函数不大于0.
3. 如果函数y=f(x)在区间(a，b)上为常数函数，则导函数等于0.
微点：解函数不等式
【表现形式】比较两复合函数值的大小
【步骤】
第一步：根据单调性的定义或的导数，得到函数在对应的区间上的单调性．
第二步：通过函数的单调性，将不等式转化为不等式或．
第三步：求出或的解集．
【例1】已知函数，求不等式的解集．
解析 我们首先通过导函数，得到函数单调递增，然后将不等式转化为不等式，进而求出其解集．下面进入完整解题步骤：因为，所以，所以函数单调递增．因为，所以，所以，所以或．综上所述，不等式的解集为．
【跟踪练习】
（2023上·江苏泰州·高三统考期中）
1．已知函数是奇函数，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
（2024上·陕西安康·高三校联考阶段练习）
2．已知函数是偶函数，当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）
3．已知定义域为的奇函数，满足，记，下列对函数的描述错误的是（ ）
A．图象关于直线对称 B．
C． D．
（2023上·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）
4．已知（且）在区间上为减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）
5．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全国·模拟预测）
6．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据函数为奇函数的性质，可进行求解.
【详解】由题知为奇函数，所以得：，
即：，解之得：，故D项正确.
故选：D
2．D
【分析】根据已知画出的图象，并将不等式化为，数形结合求不等式解集.
【详解】根据题意，作偶函数的图象，如下图示.

由，不等式可化为，则，
所以或，由图知：或或或.
所以不等式解集为.
故选：D
3．C
【分析】根据奇函数的性质得到且，即可求出，可判断B，结合已知条件推出，从而得到，即可判断C、D，再计算，即可判断A.
【详解】定义域为的奇函数，则且，
又，即，所以，
即，所以，
又，所以，故B正确，
又，
所以，则是以为周期的周期函数，
则，故C错误，D正确；
又，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
故选：C
4．B
【分析】依题意可得，即可得到在区间上为增函数，结合二次函数及对数函数的性质计算可得.
【详解】函数，
因为（且）在区间上为减函数，
则在区间上为增函数，
所以在区间上单调递减，且大于(等于)恒成立，
为减函数，
所以，解得，
即实数的取值范围是.
故选：B
5．A
【分析】根据题意构造函数，利用导数研究其单调性，代入数值，可得答案.
【详解】设函数，
因为上，上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以，当且仅当时，等号成立．
令，则．
设函数，
因为上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，即，所以．
综上可得：．
故选：A.
6．B
【分析】依据原函数的单调性得到导函数的正负，后利用二次函数性质求参数范围即可.
【详解】由得
，
因为函数在上单调递减，所以在上恒成立．
设，则在上恒成立，
利用二次函数的图象与性质及数形结合思想，
可得或，
解得，所以实数a的取值范围为
故选：B．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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