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第一讲 导数及其几何意义（讲）
【典例1】（2023年高考理科数学（全国甲卷文科）第8题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题以函数图像的切线问题为背景，考查了导数的几何意义、导数的计算以及直线的方程．试题难度小，计算量小，符合2023年高考命题的整体要求．本题起到了稳难度的作用，侧重基础知识和必备能力的考查，同时也考查了考生对基本概念的理解．以及考生的运算求解能力及逻辑推理能力．
【答案】C
【目标】试题以导数的几何应用为背景，考查考生对导数的几何意义的理解与掌握，考查考生灵活运用知识分析函数性质的能力以及计算能力．
【分析】解题思路 由，得，所以，．
曲线在点处的切线方程为，即，故选C．
【典例2】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第21题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
【解读】试题设计一个含有参数的函数，将其性质的研究分层设计，层层递进．第（1）问给定参数值，求曲线在确定点处的切线方程，考查导数的几何意义，考点常规且基本，面向大部分考生，符合低起点的命题要求．试题试题重点突出，内容丰富，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题考查导数公式、导数运算法则以及导数的几何意义；考查利用导数判断函数单调性、极值点的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力；综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论的思想．
【分析】
（1）当时，，，
所以，．
曲线在点处的切线方程为．
【典例3】（2023·天津·统考高考真题）已知函数．
（1）求曲线在处切线的斜率；
【解读】熟练掌握两个函数乘法的导数是求解本题的关键.
【目标】本题考查求在曲线上一点处的切线方程（斜率），利用导数证明不等式，利用导数研究不等式恒成立问题.
【分析】
（1），则，
所以，故处的切线斜率为；
应用一 瞬时变化率与导数的概念
【例1】（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）现有一倒置圆锥形窗口，深24米，底面直径6米.以
的速度向容器中注水，则当水深8米时，水面上升的速度为______.
【引导与详解】
第一步：根据平行线分线段成比例可得水面半径和高关系：
设注入水后水面高度为，水面所在圆的半径为，
，即：，
第二步：由圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系：
因为水的体积为，即，
第三步：根据水深求出时间，对其求导即可的到水面上升的速度：
当时，，
令，则，
故，即当水深8米时，水面上升的速度为.
故答案为：.
应用二 求曲线切线的斜率（倾斜角）
【例2】（2023·四川成都·成都七中校考一模）与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：在曲线上任取一点，求出曲线在点处的法线方程：
在曲线上任取一点，对函数求导得，则，
若曲线的法线的纵截距存在，则，
所以，曲线在点处的法线方程为，
即，
第二步：得出该直线的纵截距：
所以，曲线在点处的法线的纵截距为，
第三步：利用导数求出该法线纵截距的最小值：
令，令，其中，
则，令，可得，
当时，，此时，函数单调递减，
当时，，此时，函数单调递增，
所以，.
故选：A.
应用三 求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【例3】（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，叫作牛顿数列.若函数且，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列是递减数列
C．数列是等比数列 D．
【引导与详解】
第一步：求导得切点处的切线方程，即可令0判断A：
，所以在点处的切线方程为：，
令0，得，故A正确.
第二步：根据对数的运算，结合等差等比数列的定义判断B、C：
，故，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故B错误，C正确，
第三步：根据等比求和公式即可求解D：
所以，D正确.
故选；ACD
应用四 求过一点的切线方程
【例4】（2023·全国·模拟预测）过原点可以作曲线的两条切线，则这两条切线方程为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【引导与详解】
第一步：由解析式得为偶函数，故过原点作的两条切线一定关于y轴对称：
由，得为偶函数，
故过原点作的两条切线一定关于y轴对称．
第二步：由导数几何意义求上的切线，结合偶函数对称性写出另一条切线：
当时，，则，
设切点为，故，解得或（舍），
所以切线斜率为1，从而切线方程为．
由对称性知：另一条切线方程为．
故选：A
应用五 已知切线（斜率）求参数
【例5】（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【引导与详解】
第一步：利用二次函数的知识求当时的范围：
当时，，
令，得或，因为不等式的解集为，所以，解得．
第二步：求当时与的位置关系：
当时，，结合不等式的解集为，
得恒成立，即恒成立，
则恒在的上方（或恰相切），
第三步：求出恰为函数在处的切线的临界时参数的值，即可得解.
又的表示过定点的直线，点恰在曲线上，
所以临界条件为恰为函数在处的切线，
由可得，则，所以，解得．
综上可得实数的取值范围为.
故选：A．
应用六 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则______.
【引导与详解】
第一步：根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线方程
因为的导数为，则，
所以曲线在处的切线方程为，即，
第二步：利用导数的几何意义求得的切点，从而得解：
又切线与曲线相切，设切点为，
因为，所以切线斜率为，解得，
所以，则，解得.
故答案为；.
应用七 已知某点处的导数值求参数或自变量
【例7】（2023·江西·统考模拟预测）设将函数的图像绕原点顺时针旋转后得到的曲线是函数的图象．若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：将的最小值等价于图象上的点到直线的最小距离：
因为，所以．
由题意知，的最小值等价于图象上的点到直线的最小距离．
第二步：通过求解与平行且与相切的直线：
设直线与直线平行，且与曲线切于点，
则直线的斜率为，
解得，从而，
第三步：求解出的取值范围：
因此图象上的点到直线的最小距离为点到直线的距离，
即为，因此．
故选：A
方法一： 求在曲线上一点处的切线方程方法
第一步：确定函数表达式和切点坐标.
第二步：求出函数在该点的导数值，即切线斜率.
第三步：利用点斜式方程，将切点坐标和斜率代入，得到切线方程.
方法二： 求过一点的切线方程
第一步：确定函数表达式和已知的点.
第二步：求出函数的导数，得到切线的斜率.
第三步：利用点斜式，代入切线斜率和已知点的坐标.
第四步：求出切线方程.
方法三： 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题
第一步：求出函数的导数：导数表示函数在某一点的切线斜率.因此，首先需要求出给定函数的导数.
第二步：找出切点：对于函数上的每一个点，计算其导数值，该值即为切线的斜率.找出使导数等于0的点，这些点即为可能的切点.
第三步：计算切线方程：对于每一个切点，使用点斜式方程 来计算切线方程.其中，是切点，m是切线的斜率.
第四步：判断切线关系：对于两条切线，如果它们的斜率相等，则它们是平行的；如果它们的斜率互为负倒数，则它们是垂直的；如果它们的斜率相等且截距也相等，则它们是重合的（公切线）.
第五步：求解问题：根据题目要求，判断两条切线的位置关系，并据此得出结论或求解问题.
微点：公切线的求法
【表现形式】①求两个函数的公切线②根据公切线求参数
【步骤】
第一步：求出给定两个函数的导数，也就是切线的斜率.
第二步：需要找到这两个函数的公切点.公切点是两个函数值相等的点，假设这个点是，那么就有.
第三步：计算公切线的斜率.公切线斜率等于两个函数在公切点处的导数之和，也就是.
第四步：使用点斜式方程来找出公切线的方程.
【例1】若曲线与有一条斜率为2的公切线，则______.
解析：，，，．先设公切线在曲线上的切点为，在曲线上的切点为，则的方程既可以表示为，也可以表示为．由于公切线的斜率为2，于是，得到，，于是的方程既为，也为，因此，解得．
【例2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求b．
解析：设与和的切点分别是，，
则切线分别是，，
由，
得，．
【跟踪练习】
（2023·全国·模拟预测）
1．已知函数与的图象关于直线对称，直线与的图象均相切，则的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
（2023·全国·模拟预测）
2．试写出曲线与曲线的一条公切线方程 .
（2023·广东佛山·统考一模）
3．已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则 .
（2023·浙江·统考一模）
4．已知函数，，写出斜率大于且与函数，的图象均相切的直线的方程： .
（2023·湖南郴州·统考一模）
5．若存在，使得函数与的图象有公共点，且在公共点处的切线也相同，则的最大值为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据与的图象关于直线对称，得到，设直线与函数的图象的切点坐标为，与函数的图象的切点坐标为，由斜率相等得到，然后再利用斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：因为函数与的图象关于直线对称，
所以与互为反函数，所以，
则．由，得，
设直线与函数的图象的切点坐标为，
与函数的图象的切点坐标为，
则直线的斜率，故，
显然，故，
所以直线的倾斜角为，
故选：B．
2．或（写出一个即可）
【分析】设出切点坐标，根据切线斜率相等，建立等式，解出即可.
【详解】设公切线与曲线切于点，
与曲线切于点.
由，得.由，得.
令，即，则，
且，
即，
化为，
所以，解得或.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
当时，，，
此时切线的方程为，即.
综上可知，切线的方程为或，写出任意一个即可.
故答案为：或，写出任意一个即可.
3．
【分析】可先设交点为，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求的值.
【详解】易知：必有.
设两曲线的交点为，，，由题意：，
两式相除得：，∵，∴.
代入得：
解得.
故答案为：
4．
【分析】公切线问题，求导，再利用斜率相等即可解题.
【详解】∵，
∴，，
设相切的直线与函数，的图象的切点分别为，，
且，
∴，且，
解得，
∴两切点分别为，
∴与函数，的图象均相切的直线的方程为：.
故答案为：.
5．
【分析】设两函数图象的公共点横坐标为，求导后得到方程，求出，从而得到，即，构造函数，求导得到单调性，进而求出，求出答案.
【详解】的定义域为，的定义域为R，
设两函数图象的公共点横坐标为，则，
，，则，即，
解得或，
因为，所以（舍去），满足要求，
且，即，
故，，
令，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故，所以的最大值为.
故答案为：
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：
(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；
(2) 己知斜率求切点即解方程；
(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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