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第3讲 利用导数研究不等式恒成立、能成立问题（讲）
【典例1】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第21题）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【解读】（1）试题巧妙地将三角函数与多项式函数结合，讨论函数之间的不等式问题，三角函数的导数是中学教学的重点与难点，具有一定的综合性．
（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，全面考查了利用导数证明不等式，利用导数讨论函数的单调性等与导数有关的问题，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔功能．
（3）试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握程度、运算求解娴熟程度不同的考生都能得到充分的展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题以三角函数，多项式函数为背景，构造了所要研究的函数．通过对函数性质的研究，试题全面考查了导数及其应用，这也是中学教学的重点与难点．试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，利用导数就能得到函数的单调性，考查考生通过导数解决实际问题的能力、计算与转化的能力，体现函数与方程的数学思想在中学教学的应用．试题的第（2）问体现了试题的选拔性，通过构造函数，利用导数得到函数的单调性，进而利用单调性得到所要论证的不等式，考查了化归与转化的能力、分类讨论的能力、逻辑推理能力、数学运算能力，具有较好的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）求出的导函数，并因式分解得
利用余弦函数的单调性可得的符号，进而得到的单调性．
（2）思路1 要讨论当时，a的取值范围，首先要观察的解析式中每一部分的符号．由于，注意到当时，，如果ax也小于零，那么．
于是当时，．下设．
当时，的符号不好确定，这里需要利用不等式的放缩，常用的不等式为：当时，．所以由得到．
先讨论必要性：不等号的左端可看成的函数，求出左边函数的取值范围，可以得到a要满足的必要条件．
设，则，当时，，故在单调递减．所以当时，．故当时，函数的取值范围为，所以．
再讨论充分性：当时，只需要证明，，．
由，
设，
则．
令，则．
当时，，故在单调递增．所以当时，．
故当时，，从而，所以在单调递减．故当时，，所以．
综上，a的取值范围是．
思路2 思路2要求较高，需要考生对三角函数有关的不等式十分熟悉．
三角函数中，常用的不等式有：当，，．
这两个不等式需要在平时学习过程中积累，证明不再赘述．思路2在此基础上进行不等式的放缩．
当时，
．
当时，取，满足，又因为当时，，所以
．
综上，a的取值范围是．
【典例2】（20203年高考文科数学（全国甲卷）第20题）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若，求a的取值范围．
【解读】（1）试题巧妙地将三角函数与多项式函数结合，讨论函数之间的不等问题，三角函数的导数是中学教学的重点与难点，具有一定的综合性．
（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，全面考查了利用导数研究函数的单调性等与导数有关的问题，试题计算量小，要求考生多思考，少计算，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔能力．
（3）试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握程度、运算求解娴熟程度不同的考生都能得到充分的展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题以三角函数、多项式函数为背景，构造了所要研究的函数．通过对函数性质的研究，试题全面考查了导数及其应用，这也是中学教学的重点与难点．试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，利用导数就能得到函数的单调性，考查了考生通过导数解决问题的能力、计算与转化的能力，体现了函数与方程的数学思想在中学教学的应用．试题的第（2）问体现了试题的选拔性，通过常用的函数不等式，放缩得到所证的不等式，考查了化归与转化的能力、分类讨论的能力、逻辑推理能力、数学运算能力，具有较好的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）求出的导函数，得到，所以在区间单调递减．
（2）要讨论时，a的取值范围，首先要观察解析式中每一部分的符号．由于，注意到时，，如果ax也小于零，那么．于是得到分类讨论的标准，即需要讨论a的正负号．
当时，．
当时，的符号不好确定，这里需要利用不等式的放缩，常用的不等式为：当时，，所以．因为，所以，取，满足，从而．
综上，a的取值范围为．
【典例3】（2023年高考数学（新课标Ⅰ卷）第19题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【解读】试题将指数函数与一次函数用参数结合起来，构成所要研究的函数，通过对函数单调性、最值的研究，从多角度考查导数的基础知识及利用导数研究函数性质的方法．试题设计的函数形式简单，但对利用导数研究函数性质的通性通法考查得比较全面，既考查了分类讨论的思想、化归与转化的思想，又考查了考生构造辅助函数、应用不等式放缩技巧的能力．
试题分步设问，第（1）问讨论函数的单调性，通过在函数中设置参数，既考查利用导数研究函数性质的能力，又考查分类讨论的思想，同时所得结果又为第（2）问做了铺垫．第（2）问将函数与不等式有机结合，要求考生利用第（1）问的结论，将的证明转化为证明，并构造辅助函数得到结论．试题考查由浅人深，对计算强度、思维深度的要求逐步提高，考查层次分明，重点突出，能较好地达到考查目的．试题所考查的虽然是运用导数研究函数的单调性的基本方法，但对考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分类与整合的数学思想，以及运用所学知识寻找合理的解题路径的能力进行了全面考查．
【目标】试题考查基本求导公式及求导法则，考查利用导数判断函数单调性、最值的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力；综合考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及分类讨论的思想．
【分析】解题思路 （1）讨论函数单调性的一般方法是利用函数的导数的正负，即先求得，再判别其正负．由于函数的导数中含有参数，从而需要对参数进行分类讨论．
（2）思路1 当时，利用（1）的结果知，当时，取得最小值，
所以．
从而将转化为证明，即．
于是可以构造辅助函数（），通过研究的单调性得到结论．
思路2 同思路1，将第（2）问转化为证明，即，
再进一步利用不等式得到结论．
思路3同思路1，将第问转化为证明，即，
利用不等式得到，由此证明结论成立．
【典例4】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第22题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【解读】（1）三角函数的导数是中学教学的重点与难点．试题巧妙地将三角函数与对数函数相结合，讨论函数的极值问题，具有一定的综合性．
（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，全面考查了利用导数证明不等式、讨论函数的单调性与极值等导数的相关问题，试题计算量小，要求考生多思考、少计算，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔功能．
（3）试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握程度、运算求解能力不同的考生都能得到充分的展示，有效考查了考生的学习潜能，对中学数学教学具有积极的引导作用．
【目标】试题以三角函数、对数函数为背景，全面考查了导数及其应用．试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，通过构造函数并借助导数得到单调性，进而证明不等式，考查了考生运用函数模型解决问题的能力、化归与转化的能力，体现了函数与方程的数学思想在中学教学中的应用．试题的第（2）问面向有能力的考生，体现了试题的选拔性，通过第（1）问铺设好的不等式，利用导数讨论函数的单调性，进而得到极值，考查了考生分类讨论的思想以及逻辑思维能力、运算求解能力，具有较好的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）要证明：当时，，应考虑将导数作为工具，结合函数的单调性证明不等式．
构造函数，，利用导数容易证明在单调递增，在单调递减，结合，就可以证明当时，．
（2）若是的极大值点，则存在，使得当时，．为了找到满足题意的，要通过的导函数的符号讨论的单调性．
因为是偶函数，不妨设，又因为，不妨设．
，
分母，只需讨论分子的符号．令．
第（1）问中的不等式为第（2）问做好了准备工作．
当时，，于是．
当时，，于是．
如果找到，使得当时，，则，故在单调递增，从而，那么就不是的极大值点．要使，只需，又，所以只需考虑的符号，于是找到了分类讨论的标准．
当时，．当时，，，故单调递增，从而，因此不是的极大值点．
当时，，为了找到，使得当时，，
只需，即．此不等式不容易解，继续进行不等式放缩：
，
只需，解得，即．
于是当时，，
从而，故在单调递减．
又因为是偶函数，故是的极大值点．
综上，a的取值范围是．
应用一 利用导数研究不等式恒成立
【例1】（2023·广西·模拟预测）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：由二次函数性质及不等式恒成立得出：
当时，的开口向上且对称轴，
此时，要使恒成立，则，
第二步：当时对求导，研究单调性求最小值：
当时，上，即递减，上，即递增；
所以，
第三步：结合恒成立求参数范围：
要使，则，即，故；
综上，的取值范围为．
故选：C
应用二 利用导数研究不等式能成立
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．若存在，使得成立，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：将问题转化为“直线与函数的图象有交点”：
存在，使得成立，
即在上有解，即在上有解，
所以直线与函数的图象有交点，
第二步：利用导数分析的单调性以及取值：
又，令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
第三步：求解出的最大值：
所以要使直线与函数的图象有交点，只需，
所以的最大值是，
故选：A．
方法一： 直接求导法
第一步：对函数求导，并令导函数为0，求出导数的零点.
第二步：通过导函数研究函数的单调性，并找到函数的极值点，以及函数的最小值和最大值.
第三步：在对应区间上，检查这些极值点是否满足给定的不等式.如果满足，那么不等式在该区间上恒成立或能成立；如果不满足，那么不等式在该区间上不能恒成立或能成立
方法二： 分离参数法
第一步：转化问题：首先，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题.
第二步：分离参数：在不等式中分离参数，得到参数的取值范围.这一步通常是通过移项、合并同类项等代数操作完成的.
第三步：求最值：在参数分离后，分别求出函数f(x)和g(x)在区间上的最大值和最小值.这通常涉及到对函数进行求导，并找到导数为零的点，从而确定函数的极值.
第四步：比较参数：最后，比较参数的取值范围和两个函数的最小值与最大值之间的关系，得出结论.
方法三： 构造函数法
第一步：确定参数：首先，我们需要确定题目中的参数.这些参数通常会在不等式中出现，并且会影响不等式的解.
第二步：构造函数：根据题目要求和参数特点，我们需要构造一个函数，该函数能够反映不等式的特征.这个函数通常会利用参数来表示，以便于我们后续对参数进行讨论.
第三步：求导数：利用导数，我们可以研究函数的单调性.通过对导数进行符号判断，我们可以确定函数在某个区间上的单调性.
第四步：判断单调性：通过求导数，我们可以判断出函数的单调性.如果函数在某个区间上单调递增或单调递减，那么函数的最值就会出现在该区间的端点.
第五步：求解最值：根据函数的单调性，我们可以求出函数的最值.如果函数的最值满足不等式的条件，那么不等式在该区间上恒成立.
第六步：讨论参数：在求出函数的最值后，我们需要对参数进行讨论.根据参数的不同取值范围，我们可以得出不等式在不同情况下的解.
第七步：总结答案：最后，我们需要总结出不等式的解，并给出相应的解释和结论.
通过以上步骤，我们可以使用构造函数法解决不等式恒、能成立问题.需要注意的是，构造函数的方法并不是唯一的，需要根据具体问题进行分析和选择.同时，在解题过程中还需要注意逻辑的严密性和计算的准确性.
微点：分离参数
【表现形式】
1．参变分离后化归为最值问题
①恒成立，则需；
②恒成立，则需；
③能成立，则需；
④能成立，则需．
2．作差构造函数化归为最值问题
①恒成立，则需；
②能成立，则需．
2.双变元成立问题
①，不等式成立；
②，不等式成立；
③，不等式成立；
④，不等式成立；
⑤，不等式成立；
⑥，使等式成立值域与值域的交集不为空集即可；
⑦，使等式成立的值域是的值域的子集即可．
【步骤】
第一步：通过分离参数，将参数与变量彻底分离开来.
第二步：把一个含参问题转化为一个非含参问题.
第三步：通过导数研究分离后得到的函数的单调性，极值与最值，最终解决问题．
【例1】 已知函数，．
（1）若与在处相切，求的表达式；
（2）若在上是减函数，求实数的取值范围．
答案 （1）；（2）
解析 （1）因为，，所以，，因为与在处相切，所以所以所以．
（2）因为在上是减函数，所以当时，，所以当时，（分离参数）．
令，则，当时，，单调递增，所以，所以．综上所述，实数的取值范围为．
【例2】已知函数，当时，，求的取值范围．
答案
解析 ①当时，不等式恒成立，；②当时，，
，设，在上递增，所以即恒成立，即在单增，所在递增，在递减，即．综上所述，的取值范围．
【跟踪练习】
（2023·四川成都·统考一模）
1．若恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
（2023·全国·模拟预测）
2．已知函数满足.若对于恒成立，则实数a的取值范围是 .
（2023·上海嘉定·统考一模）
3．对于函数，若对于任意的，恒成立，求a的取值范围 .
（2023·上海杨浦·统考一模）
4．设函数，.
(1)求方程的实数解；
(2)若不等式对于一切都成立，求实数的取值范围.
（2023·河北·校联考模拟预测）
5．已知函数，其中.
(1)当时，求的极值；
(2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】先确定时的情况，在当时，参变分离可得，构造函数，求出函数的最小值即可.
【详解】当时，，不等式成立；
当时，恒成立，即，
令，则，
因为时，（后证）
所以当时，，单调递减，当时，，单调递减，
故，
所以，即实数的最大值为.
证明当时，，
令，，则，
则在上单调递增，所以，即.
故选：D.
2．
【分析】由，式中的x换成，联立求得，从而，然后将，转化为，利用在R上单调递增求解.
【详解】①，将①式中的x换成，得，
得，故.
所以由，得.
因为在R上单调递增，
所以对于恒成立.
令，则，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
解得.
故答案为：
3．
【分析】不等式恒成立等价于即，由于为增函数，由得，即恒成立，令，此题转化为求.
【详解】不等式恒成立等价于即，即，
由于为增函数，所以由，得，即恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
易得，
所以，所以的取值范围是.
故答案为：.
4．(1)
(2)
【分析】（1）转化为关于的一元二次方程求解即可；
（2）分离参数后，构造函数，利用导数求函数的最小值即可得解.
【详解】（1）由知，方程为，
即，
解得，即.
（2）不等式即，
原不等式可化为对于一切都成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
故当时，，
所以.
5．(1)极大值为，无极小值
(2)
【分析】（1）由题意首先对求导，令继续对求导可发现，从而可得的单调性，进一步可得的单调性、极值.
（2）将原问题等价转换为对任意恒成立，构造函数，故只需，利用导数求出即可.
【详解】（1），
令，
则，其中，
所以在上单调递减，且，
所以当时，，即单调递增，
当时，，即单调递减，
故当时，取得极大值，无极小值.
（2）由题得对任意恒成立，
即对任意恒成立.
令，
所以，
令，
所以，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，
又，
所以当时，
单调递增；
当时，单调递减，
所以，所以，
即的取值范围是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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