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第2讲 利用导数研究函数的性质（讲）
【典例1】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第6题）已知函数在区间单调递增、则a的最小值为（ ）
A． B．e C． D．
【解读】试题通过导数将单调性、不等式等知识有机整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查全面．试题重视基础，考查考生化归与转化的能力和主动探究的能力，为高校选拔人才提供了有效依据，能够很好地引导中学数学教学，有助于实现高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能．
【答案】C
【目标】试题以单调性为背景，考查导数的应用和不等式的综合运用，考查考生灵活运用知识分析函数性质的能力以及化归与转化的能力．
【分析】解题思路 由，得．因为函数在区间单调递增，所以当时，，即．
设函数，则．当时，，于是在区间单调递减．又，，从而的值域为．
又当时，，所以a的最小值为，故选C．
【典例2】（2023年高考数学（新课标Ⅰ卷）第11题）已知函数的定义域为，，则（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【解读】试题是多项选择题中相对较难的题目，大部分考生对抽象函数，尤其是函数方程的有关内容不是非常熟悉．本题需要较强的逻辑思维能力，有利于考查考生的数学素养，选拔创新性人才．
试题是一道重思维、轻计算的题目，题目中关于函数的方程的形式具有“齐次性”，即把函数换成时，方程是不变的，而D选项所陈述的性质与“齐次性”相悖．数学素养较好的考生，在判断D选项时，会注意到方程式的齐次性这一性质，快速排除错误选项，从而节省时间．多选题的题型设置为不同能力水平的考生提供了发挥的空间，试题源于教材，紧扣课程标准，对考生的能力进行了很好的区分，具有较好的选拔功能．
【答案】ABC
【目标】试题以抽象函数为背景，考查了考生逻辑推理的核心素养，以及关于抽象函数的综合分析能力．
【分析】解题思路 思路1 （1）代入可得，即，故选项A正确．
（2）代入可得，即，故选项B正确．
（3）对，代入可得，即，代入可得，因此恒成立，是偶函数，故选项C正确．
（4）由于且，我们对正实数考虑函数（这样由可推出的所有取值）．题设可转化为对任意正实数，成立，由这个式子比较容易想到的解为，对应的（），且．当参数时，是的极大值点而非极小值点．故选项D错误．
思路2 处理抽象函数类型的问题，一般思路是先代入一些特殊值，希望得到关于函数取值的信息．这要求代入的变量的特殊值能使得题目中的式子变得尽量简单，例如本题对变量依次代入特殊值，，，都满足，这时题设式子可以合并同类项，呈现出较为简单的形式．通过带入这些特殊值，得到的信息足以判断ABC三个选项均正确．
对于选项D，可以观察到当函数满足题意时，另一个函数也满足题意．因此如果D正确，则是的极小值点，也是的极小值点，这样既是的极小值点，又是极大值点，导致矛盾，因此选项D不正确．
【典例3】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第11题）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】（1）试题巧妙地将函数的极值问题、一元二次方程根的分布与韦达定理结合起来，具有一定的综合性．
（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，作为多项选择题重视考查数学思维能力，试题计算量小，要求考生多思考、少计算，对高中数学教学起到积极引导作用，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔功能．
（3）试题的选项之间有一定关联，不是简单的将四道单选题“堆砌”成一道多选题，可以由已知条件，经过分析与转化，通过一个思路来判断四个结论是否正确
【答案】BCD
【目标】试题以极值为情境，研究了导函数零点的分布问题，考查了基本初等函数的导数，一元二次方程根的分布、韦达定理等知识，通过本试题，考查了考生的逻辑思维能力，化归与转化的能力，以及综合运用函数、导数、不等式解决数学问题的能力．
【分析】解题思路 由，得
设函数，则．不妨设．
若，则，从而当时，，在区间单调递增，无极值．因此由题意知，故，选项C正确．
由，存在两个零点，设，为的两个零点，且，由韦达定理，，．
若，当时，，；当时，，．在区间单调递减，在区间单调递增，只有一个极小值点，不符合题意，因此，所以，从而，选项D正确．
若，当时，，．在区间单调递增，无极值，不符合题意，故，所以，从而，选项B正确．
由，知，选项A错误．
综上，正确答案为BCD．
【典例4】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第16题）设，若函数在单调递增，则a的取值范围是______．
【解读】试题利用参数将两个指数函数巧妙组合，要求考生利用单调性得到参数的取值范围，条件简洁，结论清晰．指数函数的单调性是考生熟悉的，但组合后的函数的单调性的研究给考生提供了展示空间．对函数求导是必然的，关键是后续研究过程对考生的思维能力提出了较高的要求，需要考生或者再次对导函数求导，或者对导函数变形，并再次利用指数函数的单调性，得到关于参数的不等式，而且后面的不等式求解也对考生的运算能力有一定的考查．
试题注重基础，强调函数基本性质，导数的概念、性质，运算法则与应用，符合基础性、综合性、应用性、创新性的要求，考查内容丰富，突出了函数与导数基本性质之间的关联．解答试题时运算量不大，重在联想与推理．试题设计灵活，强调综合运用所学知识来解决问题，对考生运用所学知识寻找合理的解题策略，问题的转化能力以及推理论证能力都提出了较高要求，有一定难度，突出了选拔功能．
【答案】
【目标】本题考查利用导数研究函数单调性的方法；考查指数函数、对数的性质及指数函数的导数公式；考查不等式的求解方法；考查考生的运算求解能力，以及灵活应用导数分析、解决问题的能力．
【分析】解题思路 思路1 ．
由题设得当时，，
即．①
设，则①等价于．
由于，故在单调递增，所以等价于，
即．不等式化为，解得或．
由于，所以a的取值范围是．
思路2 ．
由题设得当时，．
由于，故单调递增，
所以当时等价于，即．
不等式化为，解得或．
由于，所以a的取值范围是．
【典例5】（2023年高考文科数学（全国乙卷）第20题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在单调递增，求a的取值范围．
【解读】试题分为两问，第（1）问给定参数值，求曲线在确定点处的切线方程，考查导数的几何意义，考点常规且基本，符合低起点的命题要求．第（2）问则将函数与不等式有机结合，考查由浅入深，对计算难度、思维深度的要求逐步提高，考查层次分明，重点突出，较好地达到考查目的．试题从多角度考查了导数的基础知识及利用导数研究函数性质的方法，而且对逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合的能力提出了较高要求，尤其对逻辑推理能力的考查，层次分明，区分度较高，使考生个体理性思维的广度和深度得到了充分展示，较好考查了考生进一步学习与探究的潜能．
【目标】试题考查函数的导数及其应用等基础知识．考查基本求导公式及求导法则，导数的几何意义，考查利用导数判断函数单调性的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力；综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力以及分类讨论的思想．
【分析】解题思路 （1）将代入得到曲线，利用导数的几何意义，计算，即可得到曲线在点处的切线方程．
（2）思路1 在单调递增等价于．
而，
故在单调递增等价于，即．
由于研究函数的性质比较困难，所以无法得到答案．
但思维层次高的考生可以利用极限即可以得到，然后验证，即，可以通过研究辅助函数的性质得到结论．
思路2 在单调递增等价于．
由于，
故在单调递增等价于．
设辅助函数，研究函数的性质．
由于，
从而通过对a进行分类讨论即可得到结论．
【典例6】（20203年高考文科数学（全国甲卷）第20题）已知函数，．
（1）当时，讨论的单调性；
【解读】（1）试题巧妙地将三角函数与多项式函数结合，讨论函数之间的不等问题，三角函数的导数是中学教学的重点与难点，具有一定的综合性．
（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，全面考查了利用导数研究函数的单调性等与导数有关的问题，试题计算量小，要求考生多思考，少计算，力图引导教学，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔能力．
（3）试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握程度、运算求解娴熟程度不同的考生都能得到充分的展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题以三角函数、多项式函数为背景，构造了所要研究的函数．通过对函数性质的研究，试题全面考查了导数及其应用，这也是中学教学的重点与难点．试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，利用导数就能得到函数的单调性，考查了考生通过导数解决问题的能力、计算与转化的能力，体现了函数与方程的数学思想在中学教学的应用．
【分析】解题思路 （1）求出的导函数，得到，所以在区间单调递减．
【典例7】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第21题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称？若存在，求a，b；若不存在，说明理由；
（3）若在存在极值点，求a的取值范围．
【解读】试题设计一个含有参数的函数，将其性质的研究分层设计，层层递进．第（1）问给定参数值，求曲线在确定点处的切线方程，考查导数的几何意义，考点常规且基本，面向大部分考生，符合低起点的命题要求．试题第（2）问通过合理设计，引进曲线，求出使得曲线关于直线对称的常数a，b，对考生的思维能力有更高的要求，需要考生利用对称曲线的性质，特别是函数定义域的特殊性．首先确定常数，再利用对称性得到常数a，该问也可以利用对称的定义直接求常数a，b，但需要考生具备较强的观察能力以及恒等变形能力．试题第（3）问给出函数存在极值点的条件，要求确定参数的取值范围，将函数与不等式有机结合，为考生解答提供了广阔的想象空间．该问需要考生打破常规思路，综合利用函数特征，利用化归与转化的思想，将证明在存在零点，转化为证明在存在零点，从多角度考查考生利用导数研究函数性质的方法，对逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合的能力提出了较高要求，尤其对逻辑推理能力的考查，层次分明，区分度较高，突出选拔功能．
试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解的娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题考查导数公式、导数运算法则以及导数的几何意义；考查利用导数判断函数单调性、极值点的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力；综合考查考生的逻辑推理能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论的思想．
【分析】解题思路 （1）将代入得到曲线，利用导数的几何意义，计算，即可得到曲线在点处的切线方程．
（2）思路1 设，则可以求得的定义域为，从而利用定义域的特殊性以及对称曲线的性质可得，再利用对称性得到，从而求得．
思路2 设，由曲线关于直线对称得，
即．
将上式恒等变形为，从而可以得到，．
（3）在存在极值点，需要研究．
根据函数特征，将其整理成，
所以只需对函数进行研究．
由于，故可以利用分类讨论，研究函数的性质，进而得到结论．
【典例8】（2023年高考数学（新课标Ⅰ卷）第19题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
【解读】试题将指数函数与一次函数用参数结合起来，构成所要研究的函数，通过对函数单调性、最值的研究，从多角度考查导数的基础知识及利用导数研究函数性质的方法．试题设计的函数形式简单，但对利用导数研究函数性质的通性通法考查得比较全面，既考查了分类讨论的思想、化归与转化的思想，又考查了考生构造辅助函数、应用不等式放缩技巧的能力．
试题分步设问，第（1）问讨论函数的单调性，通过在函数中设置参数，既考查利用导数研究函数性质的能力，又考查分类讨论的思想，同时所得结果又为第（2）问做了铺垫．
【目标】试题考查基本求导公式及求导法则，考查利用导数判断函数单调性、最值的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力；综合考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及分类讨论的思想．
【分析】解题思路 （1）讨论函数单调性的一般方法是利用函数的导数的正负，即先求得，再判别其正负．由于函数的导数中含有参数，从而需要对参数进行分类讨论．
【典例9】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第22题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【解读】（1）三角函数的导数是中学教学的重点与难点．试题巧妙地将三角函数与对数函数相结合，讨论函数的极值问题，具有一定的综合性．
（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，全面考查了利用导数证明不等式、讨论函数的单调性与极值等导数的相关问题，试题计算量小，要求考生多思考、少计算，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔功能．
（3）试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握程度、运算求解能力不同的考生都能得到充分的展示，有效考查了考生的学习潜能，对中学数学教学具有积极的引导作用．
【目标】试题以三角函数、对数函数为背景，全面考查了导数及其应用．试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，通过构造函数并借助导数得到单调性，进而证明不等式，考查了考生运用函数模型解决问题的能力、化归与转化的能力，体现了函数与方程的数学思想在中学教学中的应用．试题的第（2）问面向有能力的考生，体现了试题的选拔性，通过第（1）问铺设好的不等式，利用导数讨论函数的单调性，进而得到极值，考查了考生分类讨论的思想以及逻辑思维能力、运算求解能力，具有较好的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）要证明：当时，，应考虑将导数作为工具，结合函数的单调性证明不等式．
构造函数，，利用导数容易证明在单调递增，在单调递减，结合，就可以证明当时，．
（2）若是的极大值点，则存在，使得当时，．为了找到满足题意的，要通过的导函数的符号讨论的单调性．
因为是偶函数，不妨设，又因为，不妨设．
，
分母，只需讨论分子的符号．令．
第（1）问中的不等式为第（2）问做好了准备工作．
当时，，于是．
当时，，于是．
如果找到，使得当时，，则，故在单调递增，从而，那么就不是的极大值点．要使，只需，又，所以只需考虑的符号，于是找到了分类讨论的标准．
当时，．当时，，，故单调递增，从而，因此不是的极大值点．
当时，，为了找到，使得当时，，
只需，即．此不等式不容易解，继续进行不等式放缩：
，
只需，解得，即．
于是当时，，
从而，故在单调递减．
又因为是偶函数，故是的极大值点．
综上，a的取值范围是．
应用一 用导数判断或证明已知函数的单调性
【例1】（2023·河南·统考模拟预测）设，，其中e为自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：构造函数，利用导数讨论其单调性比较b，c：
令，则，当时，，单调递增，
因此，即，
第二步：构造函数，利用导数讨论其单调性比较a，b：
令，则，当时，，单调递减，
因此，即
第三步：得出三者的大小关系：
所以.
故选：D
应用二 利用导数求函数的单调区间(不含参)
【例2】（2023·上海青浦·统考一模）已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ．
【引导与详解】
第一步：根据题中实数、、所满足等量关系，将用c表示，并求出c范围：
由题，，
得，
得，
所以，
则，
又，
所以由韦达定理得a和b为关于x的方程的两不等根，
所以，
得，
再由，所以，
第二步：利用导数求出其单调性：
构造函数，
则，
得或，
所以在，上，单调递增，
在上，单调递减，
第三步：进而得到范围：
，，
，
所以在上范围为，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题利用，之间关系，将变为一个变量，利用二次函数的性质、韦达定理，利用导数研究函数单调性，属于中档题.
应用三 由函数的单调区间求参数
【例3】（2023·全国·模拟预测）若对任意的，，且，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第一步：根据题意知，变形：
对任意的，，且，，易知，
则，所以，
即．
第二步：构造函数，根据函数单调性的定义可得函数在上单调递减：
令，则函数在上单调递减．
因为，由，可得，
所以函数的单调递减区间为，
第三步：求出实数的取值范围：
所以，故，
即实数的取值范围为．
故选：C．
应用四 由函数在区间上的调性求参数
【例4】（2023·陕西商洛·统考一模）已知函数在上单调递增，则的最大值是（ ）
A．0 B． C． D．3
第一步：结合导数，将在上单调递增转化为恒成立：
由题意可得，
因为在上单调递增，所以恒成立，
第二步：参变分离，转化为恒成立：
即恒成立，
第三步：求出的最小值，进而求出的最大值：
设，则，
令，则，
当时，，时,,
故在为减函数，在上为增函数，
故，但，
时，，
故当0时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
故，即.
故选：A.
应用五 含参分类讨论求函数的单调区间
【例5】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）设函数.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）设有两个极值点，且，求证：.
【引导与详解】
（1）第一步：由恒成立，分离参数得恒成立：
的定义域为，
由，得，
第二步：构造函数利用导数判断单调性，求出函数的最大值即可：
令，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以，
所以，所以实数的取值范围为.
（2）第一步：由，可知有两个不等的实数根：
由题意知，
故，
令，则，
第二步：结合韦达定理化简：
当，即时，，
此时在上单调递增，不存在极值点.
当，即或时，
若，则恒成立，在上单调递增，此时不存在极值点.
若，则方程的两根为，
则或时，，
此时在上均单调递增；
时，，
此时在上单调递减，
此时函数存在两个极值点；
又，，则，
故
，
第三步：构造函数利用导数判断单调性，求出最值即可.
令，
则，
，
则当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
则，
故.
应用六 利用导数研究函数函数的极值
【例6】（2023·全国·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．曲线在点处的切线方程为
B．有两个极值点
C．，都能使方程有三个实数根
D．曲线是中心对称图形
第一步：对于A，根据曲线在某点处切线的计算，可得答案：
对于A：，，曲线在点处的切线方程为，故A错误；
第二步：对于B，根据极值点的定义，结合其导数，可得答案：
对于B：令，得或；令，得，
在和上单调递增，在上单调递减，
有两个极值点，故B正确；
第三步：对于C，根据函数与方程的关系，利用函数的单调性，求得值域，可得答案：
对于C：结合B选项，，，
且当时，；当时，，
对于，都能使方程有三个实数根，故C正确；
第四步：对于D，根据中心对称的性质，利用公式，可得答案：
对于D：解法一：，
，
.
∴曲线关于点中心对称.
解法二：，
令，则是R上的奇函数，且，
曲线关于点中心对称，故D正确.
故选：BCD.
应用七 利用导数研究函数函数的最值
【例7】（2023·新疆·校联考一模）已知函数在定义域内单调递增，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：先对函数求导：
由题意定义域为且单调递增，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
第二步：分离构造函数在定义域上恒成立，即可求解：
令，所以只需，所以，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当时，有极大值且为最大值，所以，故B正确.
故选：B.
方法一： 判断函数单调性
第一步：确定函数的定义域，确保函数在定义域内可导.
第二步：求函数的导数.
第三步：判断导数的符号：
（1）如果，则函数在对应区间内单调递增；
（2）如果，则函数在对应区间内单调递减.
第四步：根据导数的符号变化，确定函数的单调性变化点.
第五步：综合以上信息，得出函数在整个定义域内的单调性.
需要注意的是，导数法判断函数单调性适用于可导函数.如果函数在某点不可导，需要特别注意.此外，导数法的判断结果与函数定义域的端点有关，因此在判断函数单调性时，需要特别关注定义域的端点.
方法二： 求函数极值
第一步：确定函数的定义域.
第二步：求函数的一阶导数.
第三步：令一阶导数等于0，解出可能的驻点.
第四步：检查驻点两边的导数值，确定函数的单调性.如果函数在驻点的一侧是单调递增的，而在另一侧是单调递减的，则该点为极大值点；反之，则为极小值点.
第五步：根据函数的单调性，确定函数的极值.
以上是使用导数法求函数极值的一般步骤，需要注意的是，在具体操作时可能需要根据具体情况进行适当的调整和修改.
方法三： 求函数最值
第一步：确定函数的定义域.
第二步：求函数的一阶导数.
第三步：找出使一阶导数等于零的点，这些点称为临界点.
第四步：检查临界点两侧的一阶导数的符号，确定函数的单调性.
第五步：根据函数的单调性，确定函数的最值点.
第六步：代入最值点的x坐标，求得函数的最值.
微点：构造函数法研究函数性质
【表现形式】表达式为“和差”的模型构造
若构造： 若构造：
若构造： 若构造：
若构造： 若构造：
【步骤】第一步：观察题目表达式构造；
第二步：求导判断单调性；
第三步：分析其函数性质特点；
第四步：数形结合求解；
【例1】（2015新课标Ⅱ卷）设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
答案 A
解析 由表达式可知，是“减”的模型的第二种结构式，构造函数来判断单调性；
，所以在上单减；
又且是奇函数，所以为偶函数为奇函数），同理可得：；
当时，则；
当时，则；当时，则；当时，则；
综上：成立范围为和；故选：A．
【例2】（2023上·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知是定义在上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（　　）
A． B．
C． D．
答案 B
解析 构造函数，
因为是上的偶函数且也是上的偶函数，
所以是上的偶函数，
因为时，，所以在上单调递增，
所以在上单调递减，
又因为，所以且，
所以，所以，解得或，
故选：B.
【跟踪练习】
（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）
1．已知命题，则（ ）
A．，，且是真命题
B．，，且是假命题
C．，，且是假命题
D．，，且是真命题
（2023·全国·模拟预测）
2．若对任意，，都有，则m的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）
3．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）
4．若函数为定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川·高三校联考阶段练习）
5．若关于的不等式对任意的恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】根据命题的否定的性质得出，再验证的真假，变形等价于，构造函数帮助比较大小即可得.
【详解】由，，
则，，
由，则有，
等价于
等价于，
令，则，
则时，恒成立，
故在上单调递增，
又，
故，
即，
故原命题错误，则是真命题.
故选：D.
2．D
【分析】先将已知不等式变形得到，然后构造函数并分析其单调性，由此求解出的最小值.
【详解】因为，，
所以，
整理得,
设，则只要在上单调递减即可,
又，令，得，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，
所以的最小值为，
故选：D.
3．D
【分析】利用作差法比较大小以及函数的导数与单调性及最值的关系比较大小求解.
【详解】因为，所以；
，
设函数，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以，而，
所以，所以，
所以，
故选：D.
4．A
【分析】先构造函数，判断函数的奇偶性和单调性；再将不等式等价变形；最后利用函数的性质求解即可.
【详解】令
为定义在上的偶函数
则函数为定义在上的偶函数
，当时，
函数在上单调递减，在上单调递增.
不等式可变为，
即
故，解得或
所以不等式解集为：.
故选：A.
5．B
【分析】构造函数，求导得出.二次构造函数，求导得出在上恒成立，即可得出在上单调递增.进而由已知得出对任意的恒成立.进而推得对任意的恒成立，只需即可.构造，求导得出函数的单调性，即可得出的最大值，即可得出答案.
【详解】令，则.
令，则，
解可得，
当时，有，所以在上单调递减；
当时，有，所以在上单调递增.
所以，在处取得唯一极小值，也是最小值，
所以，在上恒成立，即在上恒成立.
所以，在上单调递增.
由已知可知，对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立.
两边同时取对数可得，对任意的恒成立，
所以，有对任意的恒成立，只需即可.
令，，则，
由，可得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
所以，在处取得唯一极大值，也是最大值.
由可得，.
故选：B.
答案第1页，共2页
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