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第4讲 利用导数研究函数的零点问题（讲）
【典例1】（2022年高考数学全国乙卷文科第20题）已知函数．
（1）当时，求的最大值；
（2）若恰有一个零点，求的取值范围．
【解读】函数是刻画变量之间数量关系的重要概念，而导数则是函数的瞬时变化率，在高中的数学教学中，引进导数及其应用的基础知识，有利于考生更深刻地理解不断动态变化的事物本质，有利于提高考生的思维层次．导数的重要应用之一是讨论函数的单调性、极值和最值，这也是高中数学教学的重要内容之一．试题的第（1）问设问常规，立足基础，考查了考生的运算求解能力以及对数形结合思想的理解与掌握．
考生应用求导法则进行导数运算，利用导数的正负讨论函数的单调性即可以顺利作答，试题第（2）问的设问方式是考生所常见的，但问题的解决需要综合利用函数的特征和单调性．试题多角度考查了利用导数研究函数性质的方法，对考生的逻辑推理能力以及综合应用所学知识分析问题解决问题的能力提出了较高要求．
试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解娴熟程度不同的考生都得到充分展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，具有很好的区分度，试题呈现简洁，不偏不怪，注重对通性通法的考查，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题选取一次函数、反比例函数与对数函数构成所要研究的函数，全面考查了导数的基础知识及其在讨论函数单调性和零点方面的应用．试题的第（1）问是求一个没有参数的具体函数的最大值问题，重点考查导数的运算及其在讨论函数极值方面的基本应用．第（1）问着力基础性，面向大部分考生．第（2）问设置为函数仅有一个零点的情况下，确定参数a的取值范围，这种设问方式是考生所常见的，问题的解决需要利用导函数的正负来研究原函数的性质，利用分类讨论等数学思想试题对考生运用所学知识寻找合理的解题途径以及推理论证能力提出了较高要求．
试题考查函数极值点和零点、导数的运算法则、利用导数判断函数单调性等基础知识与基本方法，考查考生灵活运用导数分析问题解决问题的能力，考查考生的推理论证能力、运算求解能力以及数形结合、分类讨论等数学思想．
【分析】（1）当时，．
当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减．所以当时，取得最大值，最大值为．
（2）．
（i）若，当时，；当时，
．故在上单调递增，在上单调递减．因为，所以没有零点．
（ii）若，当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．取，则，且
又，所以恰有一个零点．
（iii）若，则在上单调递增．又，所以恰有一个零点．
（iv）若，当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．又，所以在上没有零点．取，则，且
所以恰有一个零点．
综上，的取值范围是．
【典例2】（2022年高考数学全国甲卷理科第21题）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，则．
【解读】 函数描述的是变量之间的依赖关系，而导数则是函数的瞬时变化率．在高中的数学教学中，引进导数及其应用方面的基础知识，有利于学生更深刻地理解不断动态变化的事物本质，提高思维层次．导数的重要应用之一是利用导数讨论函数的单调性、极值和最值，这也是高中数学教学的重要内容之一．试题将单调性、零点的概念、极值的概念等知识融为一体，全面考查了导数及其应用等基础知识，对考生思维的严密性、综合性都提出了较高的要求．试题的第（2）问是一道证明题，需要综合运用函数的特征、函数的单调性，以及第（1）问的结论加以解决．试题从多角度考查利用导数研究函数性质的方法，对考生的逻辑推理能力、综合应用所学知识分析解决问题的能力都提出了较高的要求．
试题分步设问，逐步推进，难度由浅入深，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题将指数函数、对数函数与多项式进行运算，构成所要研究的函数，通过对函数性质的研究，全面考查了导数及其应用等基础知识．试题的第（1）问面向大部分考生．考生能够正确运用导数公式和求导法则进行导数运算，利用导数的正负讨论函数的单调性就可以解决问题．第（2）问则从多角度考查了考生利用导数研究函数性质的方法，拓展了考生思维空间，对考生运用所学知识寻找合理的解题途径提出了较高要求．试题紧扣课程标准，考查考生的逻辑推理能力和数学运算能力，具有较好的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）的定义域为．
当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，最小值为．
由题设得，故的取值范围是．
（2）不妨设．由（1）知，，于是．由于在上单调递减，故等价于．
而，故等价于，即
，
整理得
．①
令，①式为，又在上单调递增，故①式等价于，即．
令，则，所以当时，，故在上单调递增．又，所以，即．
因此．
【典例3】（2022年高考数学全国乙卷理科第21题）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间，各恰有一个零点，求a的取值范围．
【解读】函数描述了变量之间的依赖关系，而导数则是函数的瞬时变化率．在高中的数学教学中，引进导数及其应用的基础知识，有利于学生更深刻地理解不断动态变化的事物本质，提高思维层次．导数的重要应用之一是利用导数讨论函数的单调性、极值和最值，这也是高中数学教学的重要知识点之一．试题全面考查了导数及其应用等基础知识，将单调性、零点的概念、存在性、唯一性等知识融为一体，对考生思维的严密性、对知识掌握的综合性都提出了较高要求．试题的第（2）问需要综合利用函数的特征和函数的单调性，从多角度考查了考生对利用导数研究函数性质的方法的掌握，对考生的逻辑推理能力，综合应用所学知识分析问题解决问题的能力都提出了较高的要求．
试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题选取指数函数、对数函数与多项式，通过对其进行线性运算，构成所要研究的函数．试题通过对函数性质的研究，全面考查了导数及其应用等基础知识．试题的第（1）问面向大部分考生，要求考生能够正确应用导数公式和求导法则进行导数运算，利用函数值与导数值写出切线方程．第（2）问则从多角度考查了利用导数研究函数性质的方法，为考生的发挥提供了广阔的空间，对考生运用所学知识寻找合理的解题途径以及推理论证能力提出了较高要求．试题紧扣课程标准，考查考生的逻辑推理能力、数学运算能力、分类讨论的能力，具有较高的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）当时，，，所以，，故曲线在点处的切线方程为．
（2），，设．
（i）若，则当时，，所以在上没有零点．
（ii）若，由于在上单调递增，所以当时，，故，所以在上单调递增，从而当时，，在上没有零点．
（iii）若，由于在上单调递增，而，，所以在上存在唯一零点，从而可得，当时，；当时，．故在上单调递减，在上单调递增．因为，所以在上没有零点，且．取，则
，
故在上存在唯一零点．
由于，故当时，是增函数，且，，故在上存在唯一零点，且当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，又，所以在上存在唯一零点，且当时，，故；当时，，故，从而在上单调递增，在上单调递减．因为，所以在上没有零点，且．取，则，
，
故在存在唯一零点．
综上，a的取值范围是．
【典例4】（2021·全国·统考高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
【解读】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
【目标】本题考查利用导数研究函数的零点，含参分类讨论求函数的单调区间.
【分析】(1)由函数的解析式可得：，
当时，若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，若，则单调递增，
若，则单调递减，
若，则单调递增；
(2)若选择条件①：
由于，故，则，
而，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
若选择条件②：
由于，故，则，
当时，，，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
当时，构造函数，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
注意到，故恒成立，从而有：，此时：
，
当时，，
取，则，
即：，
而函数在区间上单调递增，故函数在区间上有一个零点.
，
由于，，故，
结合函数的单调性可知函数在区间上没有零点.
综上可得，题中的结论成立.
应用一 求函数的极（最）值
【例1】（2024·陕西宝鸡·校考一模）已知函数，是自然对数的底数.
(1)当，时，求整数的值，使得函数在区间上存在零点；
(2)若，且，求的最小值和最大值.
【引导与详解】
【答案】(1)
(2)，.
（1）第一步：求导得函数的单调性：
当，时，，
∴，∴
当时，，∴，故是上的增函数，
同理是上的减函数，
第二步：结合零点存在性定理即可求解：
，，，
故当时，，当时，，
故当时，函数的零点在内，∴满足条件.
同理，当时，函数的零点在内，∴满足条件，
综上.
（2）第一步：由导数可得函数的单调性，进而可得最小值：
由已知
①当时，由，可知，∴；
②当时，由，可知，∴；
③当时，，∴在上递减，上递增，
∴当时，，
而，
第二步：构造函数，利用导数求解单调性：
设，
∵（仅当时取等号），
∴在上单调递增，而，
第三步：求最大值：
∴当时，，即时，，∴
即.
应用二 研究函数的零点个数
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)讨论函数的零点个数.
【引导与详解】
（1）第一步：根据导数的几何意义进行求解即可：
【答案】(1)
由题意可得，
则.
因为，
所以所求切线方程为，
即；
（2）第一步：根据导函数的性质判断原函数的单调性：
由题意可得.
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减.
第二步：结合函数的零点定义分类讨论进行求解即可.
当时，，当时，，且，.
当，即时，有且仅有1个零点；
当，即时，有2个零点；
当时，即时，有3个零点；
当，即时，有2个零点；
当，即时，有且仅有1个零点.
综上，当或时，有且仅有1个零点；
当或时，有2个零点；
当时，有3个零点.
应用三 确定函数的交点问题
【例3】（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：当时，曲线与曲线至多存在一个交点．
【引导与详解】
（1）第一步：根据导数的几何意义确定切线斜率：
因为，所以．
所以，．
第二步：根据切点坐标，从而得切线方程：
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）第一步：构造函数，将两条曲线交点问题转化为函数的零点问题：
令，其定义域为．
第二步：对函数求导，确定函数的单调性及取值情况：
，．
令，，
所以在上单调递增．
因为，，所以，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
当时，，即，取得极小值．
，
因为，所以，，所以．
第三步：判断其零点个数，即可证得结论：
因此，当时，，所以，，
即，，曲线与曲线无交点；
当时，，所以存在且仅存在一个，使得，
对且，都有，即．
所以当时，曲线与曲线有且仅有一个交点；
故当时，曲线与曲线至多存在一个交点．
应用四 解决不等式问题
【例4】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）函数，其一条切线的方程为.
(1)求的值；
(2)令，若有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.
【引导与详解】
（1）第一步：求导，设切点为，从而得到方程组：
，设函数在切点处的切线的方程为，
第二步：求参数值：
则，，
解得，；
（2）第一步：求导，得到为的两根：
由（1）可知，，
，即为的两根，
第二步：由得到，得到两根之和，两根之积：
故，解得或（舍去），
且，
第三步：计算出，由计算出不等式解集：
，
由可得，即，
第四步：得到实数的取值范围：
因为，所以，
解得或（舍去），
综上：
应用五 求解参数问题
【例5】（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
【引导与详解】
（1）第一步：利用导数求得的单调区间：
当时，，所以，
令，则，
0
单调递减 极小值 单调递增
第二步：求得函数在上的值域；
所以，又，
所以在上的值域为.
（2）第一步：由，构造函数：
函数在上仅有两个零点，
令，
第二步：利用导数，结合对进行分类讨论来求得的取值范围：
则问题等价于在上仅有两个零点，
易求，因为，所以.
①当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，所以在上没有零点，不符合题意；
②当时，令，得，
所以在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
因为在上有两个零点，
所以，所以.
因为，
令，
所以在上，在上，，所以在上单调递减，在上单调递增；
所以，所以，
所以当时，在和内各有一个零点，即当时，在上仅有两个零点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
应用六 证明问题
【例6】（2023·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知函数和函数，且有最大值为．
(1)求实数a的值；
(2)直线y＝m与两曲线和恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为，，，且，证明：．
【引导与详解】
（1）第一步：根据的单调性得到最大值：
的定义域为R，且，，
当时，，递增；当时，，递减；
所以，
第二步：列方程求解：
所以，解得，又，所以a＝1.
（2）第一步：根据交点情况得到：
由（1）可知：在递增，在递减，
又，所以在递增，在递减，
和的图象如图所示：
设和的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，
直线y＝m与两条曲线和共有三个不同的交点，
则，且，，，
因为，所以，即，
因为，，且在递增，所以，
所以，
因为，所以，即，
第二步：结合的单调性即可得到，进而证明：
因为，，且在递减，
所以，所以，
所以，即．
【点睛】函数零点问题：
（1）转化为方程的根；
（2）转化为函数与轴交点的横坐标；
（3）转化为两个函数图象交点的横坐标.
方法一： 直接求导法
第一步：将函数进行求导，并分析其单调性.
第二步：根据函数的单调性得出函数为0的点.
第三步：通过函数为0的点，即可得出函数零点.
方法二： 分离参数法
第一步：令函数为0，并分离参数.
第二步：对不含参数的部分进行求导.
第三步：令导数为零，进而讨论其单调性.
第四步：求函数的零点，进而求解.
方法三： 化成两个函数交点问题
第一步：将函数零点转化为两个函数交点问题.
第二步：构造两个函数.
第三步：对两个函数分别求导以分别分析两个函数的单调性.
第四步：求出函数交点，即可得出零点.
微点：求函数零点个数
【表现形式】①求函数零点个数；②证明函数零点的个数有X个③零点个数求参数范围.
【步骤】
第一步：先通过导函数分析函数的单调性．
第二步：根据函数零点存在定理确定函数在每个单调区间上的零点个数为0还是1．
第三步：最终得到函数零点个数．
【例1】已知函数，．
（1）若，求的取值范围；
（2）当时，方程（）在上恰有两个不等的实数根，求的取值范围．
（1）；（2）.
解析 （1）因为，所以．构建函数，所以，所以当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，函数取最大值，所以的取值范围为．
（2）先将方程实数根问题转化为函数零点问题，再通过函数的单调性与零点存在定理求得的取值范围．下面进入完整解题步骤：
因为当时，方程（）在上恰有两个不等的实数根，所以方程（）在上恰有两个不等的实数根．构建函数，，则函数恰有两个零点．
因为，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以当时，函数取最小值，又函数恰有两个零点，所以所以的取值范围为．
【例2】（2023·河北邯郸·统考模拟预测）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论函数的零点个数．
(1)；(2)答案见解析
解析：（1）当时，则，
，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）函数定义域为，
，
当，即时恒成立，所以在上单调递增，
又当趋向于0时，，所以函数有一个零点；
当，即时令，解得，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当趋向于0时，当趋向于正无穷时，又，
令，
则，所以在上单调递增，且，
若，即时函数有两个零点；
若，即时函数有一个零点；
若，即时函数没有零点；
综上，当时函数没有零点，当或时函数有一个零点，当时函数有两个零点.
【跟踪练习】
（2023·全国·模拟预测）
1．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若有两个零点，求实数的取值范围．
（2023·陕西渭南·校考模拟预测）
2．已知函数，其中e为自然对数的底数．
(1)求的单调区间：
(2)讨论函数在区间上零点的个数．
（2024·全国·模拟预测）
3．已知函数.
(1)当时，求的图象在点处的切线方程；
(2)若函数有2个零点，求的取值范围.
（2024·全国·模拟预测）
4．已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求，的值；
(2)若函数，且恰有2个不同的零点，求实数的取值范围．
（2024·全国·模拟预测）
5．已知函数．
(1)当时，求的最小值；
(2)若，判断的零点个数．
参考数据：，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义求得切点与切线的斜率，从而得解；
（2）利用参变分离，构造函数，利用导数研究其性质，从而作出图象，结合图象即可得解.
【详解】（1）当时，，则，
，所以．
故曲线在点处的切线方程为，即．
（2）由有两个零点，
得方程在上有两个不同的实数解．
当时，显然方程没有正实数解，所以．
则方程在上有两个不同的实数解．
令，则．
显然在上为减函数，又，
所以当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减，且．
当时，；当时，，
要使方程在上有两个不同的实数解，
则与的图象在上有两个不同的交点，
结合图象可知，解得，
综上，实数的取值范围为．
2．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先求出，再根据有无极值点进行分类讨论，求单调区间即可；
（2）根据第一小问中的单调情况，根据极值点相对于区间的位置关系分类讨论即可.
【详解】（1）因为，所以，
当时，恒成立，
所以的单调增区间为，无单调减区间．
当时，令，得，
令，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）知，．
①当时，在区间上单调递增且，
所以在区间上有一个零点．
②当时，在区间上单调递减且，
所以在区间上有一个零点．
③当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
而．
当，即时，在区间上有两个零点．
当，即时，在区间上有一个零点．
综上可知，当或时，在上有一个零点，
当时，在区间上有两个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数处理函数零点常用方法
（1）构造新函数 ，利用导数研究的性质，结合的图象，判断函数零点的个数.
（2）利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用导数的几何意义，即可求解切线方程；
（2）首先将函数，利用换元，并化简为，，再构造函数，利用导数判断函数的单调性和最小值，并结合函数的零点个数，可得，以及零点存在性定理，即可求解.
【详解】（1）当时，，，
，，
根据导数的几何意义可知，的图象在点处的切线方程为；
（2），
令，即，
整理为：，
设，
即，则，
化简为，，
设，
，令，得，，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，，
若函数有2个零点，即函数有2个零点，
所以，得，
，则，则在区间有1个零点，
，
设，,
，设，
，所以在上单调递增，
，则在上单调递增，
，即，则，
根据函数大单调性可知，在区间有1个零点，
所以函数有2个零点，则的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究切线，单调性，最值，零点，等问题，本题第二问的关键是由导数确定函数的性质，并结合函数的图象特征，零点个数，即可确定不等式.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用函数的导数求解切线方程，比较系数，即可求解；
（2）求出的导函数，根据恰有2个不同的零点，利用同构转化为方程恰有两个不同的解，构造新的函数，利用导数判断函数的单调性，进而得到的范围.
【详解】（1）由题知，，，
，
曲线在处的切线方程为，即，
解得；
（2）由题知，，
恰有2个不同的零点，即恰有2个不同的解，
即恰有2个不同的解.
设，
易知单调递增，
恰有2个不同的解，
（解法一）设，，则恰有2个不同的零点，
，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
要使恰有2个不同的零点，则，即，
当时，，．
设，则，令，得，
在区间上单调递增，在区间上单调递增，
当时，，
在区间和区间上各有1个零点，
实数的取值范围为．
（解法二）即恰有2个不同的解．
设，，
则，
当时，，当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，
．
又当时，，当时，，
若恰有2个不同的解，则，得，
实数的取值范围为．
5．(1)1
(2)零点个数为2
【分析】（1）先求导数，判断函数的单调性，结合单调性可得最小值；
（2）利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理可得零点个数.
【详解】（1）当时，，则，
易知单调递增，且，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，所以．
（2）由题，，又，所以单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使，
且当时，单调递减，
当时，单调递增．
又，
所以在内有1个零点．
令，则，
令，则．
所以单调递增，，
所以单调递增，，
即，故在内有1个零点．
综上，当时，的零点个数为2．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个，一是利用所给值判断区间端点值的符号，二是结合零点存在定理判断零点个数.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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