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第5讲 利用导数证明不等式（讲）
【典例1】（2023年高考数学（新课标Ⅰ卷）第19题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【解读】试题将指数函数与一次函数用参数结合起来，构成所要研究的函数，通过对函数单调性、最值的研究，从多角度考查导数的基础知识及利用导数研究函数性质的方法．试题设计的函数形式简单，但对利用导数研究函数性质的通性通法考查得比较全面，既考查了分类讨论的思想、化归与转化的思想，又考查了考生构造辅助函数、应用不等式放缩技巧的能力．
试题分步设问，第（1）问讨论函数的单调性，通过在函数中设置参数，既考查利用导数研究函数性质的能力，又考查分类讨论的思想，同时所得结果又为第（2）问做了铺垫．第（2）问将函数与不等式有机结合，要求考生利用第（1）问的结论，将的证明转化为证明，并构造辅助函数得到结论．试题考查由浅人深，对计算强度、思维深度的要求逐步提高，考查层次分明，重点突出，能较好地达到考查目的．试题所考查的虽然是运用导数研究函数的单调性的基本方法，但对考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分类与整合的数学思想，以及运用所学知识寻找合理的解题路径的能力进行了全面考查．
【目标】试题考查基本求导公式及求导法则，考查利用导数判断函数单调性、最值的方法；考查灵活运用导数工具分析、解决问题的能力；综合考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及分类讨论的思想．
【分析】解题思路 （1）讨论函数单调性的一般方法是利用函数的导数的正负，即先求得，再判别其正负．由于函数的导数中含有参数，从而需要对参数进行分类讨论．
（2）思路1 当时，利用（1）的结果知，当时，取得最小值，
所以．
从而将转化为证明，即．
于是可以构造辅助函数（），通过研究的单调性得到结论．
思路2 同思路1，将第（2）问转化为证明，即，
再进一步利用不等式得到结论．
思路3同思路1，将第问转化为证明，即，
利用不等式得到，由此证明结论成立．
【典例2】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第22题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【解读】（1）三角函数的导数是中学教学的重点与难点．试题巧妙地将三角函数与对数函数相结合，讨论函数的极值问题，具有一定的综合性．
（2）试题设计新颖，紧扣课程标准，全面考查了利用导数证明不等式、讨论函数的单调性与极值等导数的相关问题，试题计算量小，要求考生多思考、少计算，符合基础性、综合性、应用性、创新性的考查要求，具有较好的选拔功能．
（3）试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，使理性思维深度、知识掌握程度、运算求解能力不同的考生都能得到充分的展示，有效考查了考生的学习潜能，对中学数学教学具有积极的引导作用．
【目标】试题以三角函数、对数函数为背景，全面考查了导数及其应用．试题的第（1）问面向全体考生，体现试题的基础性，通过构造函数并借助导数得到单调性，进而证明不等式，考查了考生运用函数模型解决问题的能力、化归与转化的能力，体现了函数与方程的数学思想在中学教学中的应用．试题的第（2）问面向有能力的考生，体现了试题的选拔性，通过第（1）问铺设好的不等式，利用导数讨论函数的单调性，进而得到极值，考查了考生分类讨论的思想以及逻辑思维能力、运算求解能力，具有较好的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）要证明：当时，，应考虑将导数作为工具，结合函数的单调性证明不等式．
构造函数，，利用导数容易证明在单调递增，在单调递减，结合，就可以证明当时，．
（2）若是的极大值点，则存在，使得当时，．为了找到满足题意的，要通过的导函数的符号讨论的单调性．
因为是偶函数，不妨设，又因为，不妨设．
，
分母，只需讨论分子的符号．令．
第（1）问中的不等式为第（2）问做好了准备工作．
当时，，于是．
当时，，于是．
如果找到，使得当时，，则，故在单调递增，从而，那么就不是的极大值点．要使，只需，又，所以只需考虑的符号，于是找到了分类讨论的标准．
当时，．当时，，，故单调递增，从而，因此不是的极大值点．
当时，，为了找到，使得当时，，
只需，即．此不等式不容易解，继续进行不等式放缩：
，
只需，解得，即．
于是当时，，
从而，故在单调递减．
又因为是偶函数，故是的极大值点．
综上，a的取值范围是．
【典例3】（2022年高考数学全国Ⅱ卷第22题）已知函数．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：．
【解读】函数描述的是变量之间的依赖关系，而导数则是函数的瞬时变化率．在高中的数学教学中，引进导数及其应用的基础知识，有利于学生更加深刻地理解不断动态变化的事物本质，提高思维层次．导数的重要应用之一是利用导数讨论函数的单调性、极值和最值，这也是高中数学教学的重要内容之一．试题全面考查了导数及其应用等基础知识．函数模型简洁大方，参数的位置新颖，这成为试题一个亮点．试题将参数放在指数位置上，这是以前试题中从未有过的．试题结论深刻，实际上是对常见不等式更精细地估计，即．
试题从多角度考查了利用导数研究函数性质的方法，对考生的逻辑推理能力、综合应用所学知识分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．试题分步设问，逐步推进，考查由浅入深，层次分明，重点突出，内容丰富，很好地达到考查目的，使理性思维深度、知识掌握的牢固程度、运算求解娴熟程度不同的考生都能得到充分展示，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题将指数函数与多项式进行运算构成所要研究的函数，通过对函数性质的研究，全面考查了导数及其应用等基础知识．试题的第（1）问讨论的单调性，需要考生对进行研究，面向大部分考生．考生能够正确应用导数公式和求导法则进行导数运算，利用导数的正负讨论函数的单调性就可以解决问题．第（2）问从多角度考查了利用导数研究函数性质的方法，为考生的发挥提供了广阔的空间，对考生运用所学知识寻找合理的解题途径以及推理论证能力提出了较高要求．第（3）问进一步递进，利用第（2）问的结论，对和式进行变形得到最终的不等式，使得不同思维层次的考生都有发挥的空间．
试题紧扣课程标准，考查考生的逻辑推理、数学运算等关键能力，以及分类讨论、转化与化归等数学思想方法，实现了高考服务人才的核心功能．
【分析】解题思路
（1）当时，，．
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）．
令，则．
若，则，于是当时，，故，
因此在上单调递减，，
从而，在上单调递减，所以．
若，则，，当时，，在上单调递增，故，
所以，在上单调递增，故．
若，则．
综上，a的取值范围是．
（3）由（2）知，当时，．取，有．
故．
【典例4】（2022年高考数学全国甲卷理科第21题）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）证明：若有两个零点，则．
【解读】函数描述的是变量之间的依赖关系，而导数则是函数的瞬时变化率．在高中的数学教学中，引进导数及其应用方面的基础知识，有利于学生更深刻地理解不断动态变化的事物本质，提高思维层次．导数的重要应用之一是利用导数讨论函数的单调性、极值和最值，这也是高中数学教学的重要内容之一．试题将单调性、零点的概念、极值的概念等知识融为一体，全面考查了导数及其应用等基础知识，对考生思维的严密性、综合性都提出了较高的要求．试题的第（2）问是一道证明题，需要综合运用函数的特征、函数的单调性，以及第（1）问的结论加以解决．试题从多角度考查利用导数研究函数性质的方法，对考生的逻辑推理能力、综合应用所学知识分析解决问题的能力都提出了较高的要求．
试题分步设问，逐步推进，难度由浅入深，较好地考查了考生进一步学习的潜能，对中学数学教学具有较好的引导作用．
【目标】试题将指数函数、对数函数与多项式进行运算，构成所要研究的函数，通过对函数性质的研究，全面考查了导数及其应用等基础知识．试题的第（1）问面向大部分考生．考生能够正确运用导数公式和求导法则进行导数运算，利用导数的正负讨论函数的单调性就可以解决问题．第（2）问则从多角度考查了考生利用导数研究函数性质的方法，拓展了考生思维空间，对考生运用所学知识寻找合理的解题途径提出了较高要求．试题紧扣课程标准，考查考生的逻辑推理能力和数学运算能力，具有较好的选拔功能．
【分析】解题思路 （1）的定义域为．
当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值，最小值为．
由题设得，故的取值范围是．
（2）不妨设．由（1）知，，于是．由于在上单调递减，故等价于．
而，故等价于，即
，
整理得
．①
令，①式为，又在上单调递增，故①式等价于，即．
令，则，所以当时，，故在上单调递增．又，所以，即．
因此．
应用一 构造法证明不等式
【例1】（2024·全国·假期作业）已知函数的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：构造函数，并求函数单调性：
由题意得构造函数，则对任意的恒成立，
所以在上是减函数，
第二步：分别求解：
对A：因为，所以，即，得，故A错误；
对B、C、D：因为，所以，即，故C错误；
因为，所以，所以，即，故D错误，故B正确.
故选：B.
应用二 参变分离法证明不等式
【例2】（2022上·辽宁抚顺·高三校联考期中）已知函数．
（1）讨论在上的单调性；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围．
【引导与详解】
（1）第一步：根据函数求解导数
因为，，所以．
第二步：按照，确定导函数正负区间，得函数到单调性：
当时，由，得；由，得．
则在上单调递减，在上单调递增．
当时，由，得；由，得．
则在上单调递增，在上单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）第一步：根据不等式，参变分离得恒成立：
不等式恒成立，即不等式恒成立，即等价于恒成立．
第二步：构造函数确定函数的单调性：
设，则．
设，则．
设，则．
由，得，所以在上单调递增，
则，即，故在上单调递增．
因为，所以在上单调递增，
则，得，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
第三步：求最小值，则求得的取值范围：
则．
故，即的取值范围是．
应用三 二次求导法证明不等式
【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知函数
（1）若函数在点处的切线斜率为0，求a的值．
（2）当时．设函数，求证：与在上均单调递增；
【引导与详解】
（1）第一步：根据已知切线斜率等于求导函数在切点处的值列式求解即可：
的定义域为，
，，
依题意得，所以.
（2）第一步：对函数进行求导：
∵， ，
第二步：对导数的分子部分构造函数进行求导并讨论其范围，进而得出函数的单调性：
因为当时，，所以在上单调递增，
且，故，即，∴：在上单调递增；
第三步：对函数进行求导：
，，
∴，
第四步：对的分子部分构造函数并求导：
令，
而，
第五步：对的分子部分构造函数并求导，得出的取值范围：
令，
，
∴在上单调递减，且，故，
第六步：：求出函数的单调性：
∴，
∴在上单调递增，且，
故，即，∴函数在上单调递增；
应用四 解决双变量问题
【例4】（2023上·陕西·校联考阶段练习）已知函数，．
（1）若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
（2）已知，，，，求证：；
（3）证明：．
【引导与详解】
（1）第一步：由函数单调递减得恒成立，分离参数法得出范围：
对恒成立，即对恒成立．
因为，则．
（2）第一步：化简函数，转化条件：
，只需证明．
第二步：构造函数并求其单调性：
令，
，
则在单调递减，则，
第三步：化简，得出结论：
又，则，即成立，得证．
（3）第一步：逐个幅值：
由（2）知，令，
则有，
即，
，
，
…，
，
第二步：累加法得结论
累加可得，
故，从而命题得证．
应用五 比较两函数大小
【例5】（2023上·湖南衡阳·校考期末）已知函数，.
（1）若的极大值为1，求实数a的值；
（2）若，求证：.
【引导与详解】
（1）第一步：分类讨论，利用导数判断函数的单调区间：
的定义域为，.
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
第二步：根据极大值建立方程求解：
故当时，取得极大值，极大值为，解得.
经验证符合题意，故实数a的值为.
（2）第一步：把问题转化为证明：
当时，，故要证，即证.
第二步：构造函数，利用导数研究函数最值即可证明：
令，则，.
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证.
方法一： 构造法
第一步：将不等式右边的项移到不等式的左边，进而对不等式左边构造函数.同时需要确定函数的定义域，使得函数有意义.
第二步：对函数求导讨论起单调性.
第三步：利用单调性得出函数的单调区间和极最值，进而求出构造的函数的零点.
第四步：结合零点和单调区间即可证明不等式.
方法二： 参变分离法
第一步：理解题目：理解题目的要求和给定的不等式.明确要证明的不等式是什么，以及题目给出的条件是什么.
第二步：参变分离：需要将不等式中的参数和变量分开.这通常是通过移项和合并同类项来完成的.例如，如果要证明的不等式是，你可以尝试将其转化为.
第三步：构造函数：在参数和变量分离后，需要构造函数.这通常是通过将不等式转化为函数的形式来实现的.
第四步：求导数：需要求出构造的函数的导数.导数可以理解函数的增减性.
第五步：分析导数：通过分析导数的符号，判断函数在某个区间上的增减性.
第六步：得出结论：需要根据函数的增减性和已知条件得出结论.
方法三： 多次求导法
第一步，根据题目给出的函数表达式，求出函数的导数表达式.如果函数较为复杂，可能需要使用链式法则和复合函数求导法则等技巧.
第二步，根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性.如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减.
第三步，根据函数的极值定理，我们知道函数在极值点处的导数为0.因此，可以令导数等于0，求出函数的极值点.
第四步，根据函数的极值点，将函数的定义域划分为若干个小区间，并判断每个小区间内函数的单调性.
第五步，根据函数的值域定理，我们知道函数在定义域内的最大值和最小值一定出现在端点或极值点处.因此，我们可以计算出每个小区间内函数的端点和极值点的函数值，并比较大小，得出函数的最值.
第六步，根据最值与不等式的关系，如果函数的最值满足题目要求的不等式条件，则原不等式成立.
微点：超越函数
【表现形式】函数是探索研究事物运动变化规律的工具，而不等式和方程都是对应函数运动变化的局部性态！不等式证明的常见方法有：比较法、反证法、数学归纳法、分析法、综合法等，当利用上述方法证明不等式比较困难时，我们不妨站在函数的观点看问题，利用函数的相关性质去研究不等式，以导数为工具，将不等式的证明化归为利用导数来研究函数性质，通过导数证明不等式实现化难为易，化繁为简．
一、常见的超越函数图象
如何预判分离合适的函数：当时，如下有： 极小值极大值理解可以有效快速去判断一个具有极值或最值的函数．
二、常见的不等式放缩
指数不等式
①（时取等） ②（时取等） ③（时取等）
④（时取等） ⑤（）时取等）
（6）（时取等） （7）（时取等）
（8）（和时取等） （9）（时取等）
对数不等式
①（时取等） ②（时取等）
③；（时取等）
④；（时取等）
⑤（时取等）
（6）（时取等）
（7）（时取等）
三角函数不等式
①（时取等） ②（时取等）
③（时取等） ④
【步骤】①构造函数；②直接求导，判断函数的单调性；③求最值，得出结论；难点在于如何化归为简单不等式，然后作差构造函数，以下为主要方法：
①凹凸反转法：分拆成两个函数，研究两个函数的最值；
②放缩法：把超越函数通过放缩化归为证明类幂不等式；
③消元法：多变量不等式利用多变量之间的等量关系消元化归为单变量不等式；
④分段讨论法：主要针对含三角函数复杂不等式，利用三角函数的有界性与单调性分段证明；
⑤分析法：通过对函数的变形，等价化归为证明简单不等式；
⑥拆分法：主要针对数列不等式的证明，把拆分为多项之和或多项之积；
【例1】（2023·新高考Ⅰ卷改编）已知函数．证明：当时，．
答案 证明见解析
解析 作差：把当作主元，令满足即可求导：又所以在单增，在单减．
即还得接着证明它大于0）因此再次构造．设，，，在单增，在单减，即得证．
【例2】（2023上·湖南岳阳·高三湖南省平江县第一中学校考阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 令，其中，则，
所以，函数在上为增函数，故当时，，
所以，，即，
所以，，
因为正弦函数在上为增函数，且，
所以，，因此，.
故选：D.
【跟踪练习】
（2023上·全国·高三期末）
1．已知函数在R上可导，且的图象过点，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．是函数的极小值点
C．函数一定没有零点 D．
（2023上·江苏南京·高三期末）
2．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．的极大值点是
B．函数有且只有个零点
C．存在实数，使得成立
D．对任意两个正实数，，且，若，则
（2023上·湖北·高三期末）
3．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当，时，证明：
（2023上·广东广州·高三铁一中学校考阶段练习）
4．已知定义在上的函数.
(1)若为单调递增函数，求实数的取值范围；
(2)当时，证明：.
（2024上·浙江温州·高三统考）
5．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)求证：当时，．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BD
【分析】构造函数，利用导数结合的条件即可得答案.
【详解】对于A,B,因为,所以.
因为，
所以当时，则，单调递减；
当时，则，单调递增，
所以是函数的极小值点，所以A错误，B正确，
对于C，因为
所以当时，函数有零点,故C错误，
对于D，因为在上单调递增，
所以，即，所以，故D正确.
故选：BD.
2．BD
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，可得极值点，判断A；利用导数判断的单调性，结合零点存在定理，即可判断B；判断的取值情况，可判断C；由可得，要证，只要证，利用构造函数，结合函数的单调性即可判断D.
【详解】因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值，所以A错误；
B选项中，函数，则
由于，
即在上恒成立，所以函数在上单调递减，
又当时，，当时，，
所以函数在上有唯一零点，
即函数有且只有个零点，B正确；
C选项中，由，
可得当且趋于无穷大时，无限接近于0，也无限趋于0，
故不存在实数，使得成立，
即不存在实数，使得成立，C错误；
D选项中，由得，
要证，只要证，
即证，由于，故令，
则，
故在上单调递增，则，即成立，
故成立，所以D正确.
故选：BD.
3．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论的取值，即可根据导函数的正负确定函数的单调性，
（2）根据函数的单调性求解端点值以及极值即可求证.
【详解】（1），
当时，，，单调递增；，，单调递减．
当时，当或，，单调递增；
当，，单调递减，
当时，，所以在R上单调递增．
当时，当或，，单调递增；
，，单调递减．
（2），
由可得，或，，单调递增；
，，单调递减．
又因为，，
所以恒成立．
4．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）为单调递增函数，则恒成立，参变分离后构造函数求最值即可得；
（2）原不等式变形后即证在上恒成立，作差后构造函数借助导数研究单调性即可得.
【详解】（1），
为单调递增函数，
当时，恒成立，即恒成立，
令，则，
在上单调递减，
，
，即实数的取值范围为；
（2）只需证明：当时，恒成立，
即证当时，恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，
为单调递增函数，
当时，，
即当时，，
为单调递增函数，
当时，，
即当时，，
当时，，
当时，，
即当时，.
5．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；
（2）由（1）可得当时，，要证，只需要证明即可，即，令，利用导数求出的最小值即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，令，则，令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）可得当时，，
要证，只需要证明即可，
即，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，
所以当时，.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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