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第3讲 三角函数的最值与范围（讲）
【典例1】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第6题 2023年高考文科数学（全国乙卷）第10题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】函数是现代数学最基本的概念，而三角函数是研究周期函数的重要工具，在中学数学及数学的后续理论中都具有重要的地位．试题以正弦型函数为载体，给出函数半周期的部分信息，考查考生灵活应用知识，分析函数图像与性质的能力．解决问题的关键在于有清晰的思路和明确的计算方式，熟练的考生可以结合图像的周期和特殊点直接排除，迅速得到正确答案．试题体现了重视观察和思考、减少计算量的命题思路，围绕函数图像与性质，体现了对主干知识的考查侧重于理解和应用的要求，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及数形结合的思想．试题解法多样，不同思维层面的考生都能得到充分考查．
【答案】D
【目标】试题考查三角函数的图像、周期性，以及特殊点处的三角函数值；着重考查逻辑推理能力、运算求解能力及数形结合的思想．
【分析】解题思路 思路1 由题设可知，，且函数的半周期为，故，且可取，即得．故，正确选项为D．
思路2 由于正弦型函数的对称轴必过极值点，因此由题设可知，，且函数的半周期为，即得的周期为，所以且．
如图，由正弦型函数图像的性质可知，为的零点，
故在区间上的图像由在区间上的图像平移而得．
由于，因此．故选D．
思路3 由题设可知，，且函数的周期为，所以．由正弦型函数图像的性质可知，为的零点，又在区间单调递增，故，选项A，B不成立．由于居于区间的后半段，因此，故正确选项是D．
【典例2】将函数 的图像向左平移 个单位长度后得到曲线 ，若 关于 轴对称，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【解读】先由平移求出曲线 的解析式，再结合对称性得 ，即可求出 的最小值.
【答案】C
【目标】本题考查由正弦（型）函数的奇偶性求参数，求图象变化前（后）的解析式.
【分析】由题意知: 曲线 为 ，又 关于 轴对称，则 ，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选: C.
【典例3】（2023·天津·高考真题）在 中， ，点 为的中点，点为的中点，若设 ，则可用 表示为______；若 ， 则 的最大值为______.
【解读】空1：根据向量的线性运算，结合 为 \$C D\$ 的中点进行求解；空 2 : 用 表示出 ，结合上一空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【答案】
【目标】本题考查余弦定理解三角形，用基底表示向量，用定义求向量的数量积，基本不等式求积的最大值.
【分析】空1: 因为 为 \$C D\$ 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2: 因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理: ，
于是 .
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为: .
【典例4】（2022·全国·高考真题）记 的内角的对边分别为，已知 .
（1） 若，求 ；
（2）求的最小值.
【解读】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 化成 ，再结合 ，即可求出；
（2）由 （1） 知， ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 化成 ，然后利用基本不等式即可解出.
【目标】本题考查正弦定理边角互化的应用，基本不等式求和的最小值.
【分析】 （1） 因为 ，即 而 ， 所以 ；
（2） 由 （1） 知， ，所以 ，
而 ，
所以 ，即有 ，所以
所以
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 .
应用一 最大值和最小值问题
【例1】（2024·天津·校考模拟预测）已知为偶函数，，则下列结论错误的个数为（ ）
①；
②若的最小正周期为，则；
③若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为；
④若，则的最小值为2．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【引导与详解】
第一步：结合已知条件求的值：
对于①：若，为偶函数，
则，即，又，所以，故①正确；
第二步：结合的最小正周期，求的值：
对于②：若的最小正周期为且，则，所以，故②正确；
第三步：利用在区间上有且仅有3个最值点，得出的范围：
对于③：由，，得，
若在区间上有且仅有个最值点，
则，解得，故③正确；
第四步：求出的范围，进而根据题目条件得出的最小值：
对于④：因为，若，
则或，，
解得或，
又，所以的最小值为，故④错误.
故选：A.
应用二 求参数范围
【例2】（2024·陕西榆林·统考一模）已知函数.若存在，使不等式成立，则的取值范围是______.
【引导与详解】
第一步：根据的范围求出范围：
当时，，则，
第二步：求出的值域，可得答案：
所以，因此在上的值域为，
若存在，使不等式成立，
则，所以的取值范围是.
故答案为：.
应用三 探索三角函数性质
【例3】（2024·江苏苏州·南京航空航天大学苏州附属中学校考模拟预测）已知，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称
C．函数在区间上单调递减
D．若，则
【引导与详解】
第一步：运用辅助角公式化简，得到函数的表达式：
由，得，
第二步：再结合正弦型图象与性质，三角函数图象的平移变换逐项判断即可：
对于：最小正周期为，所以正确；
对于：将函数的图象上所有点向右平移，
所得图象的函数解析式为，
而为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以错误；
对于：令，，化简得，
当时，，又因为，
所以函数在单调递减，所以正确；
对于选项：因为，所以，
所以，所以，
即得，也就是，
所以正确.
故选：．
应用四 与三角形结合
【例4】（2024·四川自贡·统考一模）如图，在平面四边形中，角.设.
（1）用表示四边形对角线的长；
（2）是否存在使四边形对角线最长，若存在求出及四边形对角线最长的值，若不存在请说明理由.
【引导与详解】
（1）第一步：根据余弦定理求得关于的表达式：
设，在三角形中，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
在中，，所以，
在三角形中，
由余弦定理得
.
（2）第一步：根据三角函数的最值等知识求得正确答案.
存在，理由如下：
由（1）得，
所以当时，取得最大值为，
此时.
应用五 与向量结合
【例5】（2024·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象．
（1）设，，当时，求的值域；
（2）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知，，，求内切圆半径r的值．
【引导与详解】
（1）第一步：首先利用图象变换规律求函数的解析式：
由题意知，
所以，，所以，
第二步：求，代入得到函数：
因为，，
所以，
所以．
第三步：通过换元，设，转化为关于的函数：
又，令，
则．
第四步：变形后利用函数的单调性，即可求函数的值域；
当时，是减函数，是增函数，所以是减函数，且
则在是增函数，
当趋向0，趋向1，当趋向1，趋向正无穷，
所以函数的值域是；
（2）第一步：首先求角的值：
因为．且，则，所以．
第二步：利用正弦定理化简面积，并结合三角形的面积公式，即可求解三角形：
因为
由正弦定理，，得．
又，所以，即．所以，，．
所以．
第三步：用三角形的内切圆半径表示三角形的面积，即可求解：
由，得，解得．
所以内切圆半径的值为.
方法一： 配方法
第一步：确定变量：首先确定题目中的自变量，通常为角度或三角函数值.
第二步：建立函数：根据题目要求，建立目标函数，通常为关于角度或三角函数值的二次函数.
第三步：配方：将目标函数进行配方，将其转化为完全平方的形式.配方的目的是为了更容易地找到函数的对称轴和顶点.
第四步：分析性质：根据配方后的函数，分析其开口方向、对称轴和顶点.这些信息对于确定函数的最大值或最小值以及对应的自变量值非常重要.
第五步：求解最值：根据分析的性质，确定函数的最大值或最小值，并求出对应的自变量值.
第六步：检验：最后，需要检验求解得到的最大值或最小值是否符合题目的要求，如不符合则需要进行调整.
通过以上步骤，我们可以使用配方法解决三角函数的最值与范围问题.
方法二： 换元法
第一步：理解问题：首先，你需要明确问题的要求，即求三角函数的最值或范围.
第二步：观察和设定：观察给定的三角函数表达式，尝试将其转化为更容易处理的形式.通常，这涉及到将一个复杂的表达式简化，或者将其转化为一个更简单的函数.
第三步：引入换元：换元是解决问题的关键步骤.选择一个变量（通常称为新变量或换元），用它来代替原函数中的某些部分.这个新变量应该是简单的，易于处理的，并且能够简化问题.
第四步：简化问题：使用新变量替换原函数中的部分后，问题可能会变得更简单.此时，你可以更容易地找到函数的定义域、值域或最值.
第五步：求解最值或范围：一旦问题简化，你就可以使用基础的数学工具（如导数、不等式等）来找到函数的最值或范围.
第六步：验证答案：最后，你需要验证你的答案是否正确.这通常涉及到将答案代回原函数，并检查它是否满足原始条件.
方法三： 分离常数法
第一步：理解问题：首先，要明确问题的目标，即要求解三角函数的最值或范围.
第二步：观察函数形式：查看给定的三角函数表达式，尝试将其转化为更容易处理的形式.如果可以，将其转化为正弦、余弦或正切函数的形式.
第三步：分离常数：在三角函数表达式中，尝试将常数项与其他项分离.这通常涉及到对表达式进行整理或变形.
第四步：利用三角函数性质：利用三角函数的性质，如周期性、有界性等，来进一步简化问题.
第五步：求解最值或范围：根据三角函数的性质和步骤3中得到的表达式，求解最值或范围.
第六步：验证答案：最后，验证得到的答案是否符合题目的要求，确保答案的正确性.
微点：处理三角函数最值（值域）的常用方法
【表现形式】处理三角函数最值（值域）的常用方法主要有两种：一种是转化为只含有一个三角函数名的形式，如，结合三角函数图象进行处理；另一种方法是转化为二次型：如的形式，结合二次函数的图象性质求最值．
【步骤】①化简函数；②结合函数的图象，得出相关性质；③求最值或范围.
【例1】（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知函数，若且，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
答案 D
解析 ∵，
∴是的一个最大值点，即直线是图象的一条对称轴，
又，
∴，则，
∴，
又∵在时取得最大值，可得，
∴，
又∵，
∴的最小值为13.
故选：D.
【例2】（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 因为函数的零点为轴上的所有整数，所以函数的最小正周期，
所以，且，结合，可得，
所以．
作出函数与函数的图象，如下图所示，
可知函数的图象与函数的图象有个交点，
故选：D．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断
（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【跟踪练习】
（2024·辽宁沈阳·统考一模）
1．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
（2023·云南红河·统考一模）
2．已知则（ ）
A．的值域为
B．是奇函数
C．若为函数的零点，且，则
D．的单调递增区间为
（2023·全国·模拟预测）
3．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）
4．将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有且仅有两个不同实数满足，则的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）
5．已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ACD
【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项.
【详解】令得，或，，
由图可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A选项正确，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B错误.
当时，，
因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；
将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），
为偶函数得，，
所以，，则的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
2．BC
【分析】选项A：将然后判断函数值域；
选项B： 根据奇函数的定义证明；
选项C：根据函数的周期和零点计算求解；
选项D：判断函数在的单调性，然后结合函数的偶函数性质求解函数的单调递增区间；
【详解】对于A，当，，选项A错误；
对于B，
，故B正确．
对于C，显然函数满足且 关于对称，所以是以为周期的函数，
又因为，所以，故C正确．
对于D，当时，，
，所以在上单调递减，又因为是以为周期的偶函数，
所以的单调递增区间为，故D错误．
故选：BC．
3．BD
【分析】根据图像确定函数解析式，根据函数解析式和正弦函数的性质判断选项正误.
【详解】A选项：由题图可知，，则，由，得，根据图象的变化趋势与可知，，
由得，所以，解得，易知，故A错误；
B选项：设的最小正周期为，由题图可知，，得，（利用图象判断函数的最小正周期的大致范围）
即，所以，所以，故，
所以，所以，故B正确；
C选项：令，解得，取，得在上单调递增，故C错误；
D选项：令，解得，取，得，所以的图象关于点对称，故D正确．
故选：BD.
4．ABC
【分析】由图象变换得到解析式，再根据三角函数的有界性，将条件转化为在上最值的取值情况，将看作整体角，根据函数图象得到不等关系求解即可.
【详解】由题意得，
,
由，得或，
由已知在上有且仅有两个不同实数满足，
则在上只取得一次最大值和一次最小值，
，令，则，
由图象可知，，解得，
即的取值范围是，
故选：ABC．

5．BC
【分析】化简函数为，，结合大致图象判断各选项即可求解.
【详解】函数，，
大致图象如下：

由图可知，函数的最小正周期为，故A错误；
函数的图象关于对称，故B正确；
函数的最小值为，故C正确；
函数在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：BC.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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