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第5讲 三角形中的最值范围问题（讲）
【典例1】（2023·天津·统考高考真题）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
【解读】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【答案】
【目标】本题考查平面向量的范围问题，用基底表示向量用，定义求向量的数量积，余弦定理，解三角形基本不等式求积的最大值.
【分析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.
【典例2】（2022年高考数学全国甲卷理科第16题）已知中，点在边上，．当取得最小值时，______．
【解读】 试题重点考查考生对三角形概念、余弦定理等基础知识的掌握，以及转化与化归的思想方法．
（1）试题中呈现的三角形给出了一条边上一个三等分点到顶点的长度和一个特殊角，但这些条件是无法反过来确定原来的三角形的大小和形状的．这就要求考生理解三角形变化的过程中，哪个量是基本变量．试题设问为考生选择边的长度为基本变量提供了参考．
（2）试题需要考生在研究函数最值的时候，能够选择合理的数学知识．由于试题涉及的函数是有理函数，考生可以选择把函数的分式形式变形为满足均值不等式条件的函数类型，以简化求解过程．由于所研究函数的分子与分母均是二次函数，所以考生也可以直接对函数求导，利用导数的正负确定原函数的单调性，从而解决问题．利用均值不等式和利用导数的两种解题方法是特殊与一般的关系．构造均值不等式需要一定的技巧，而利用导数，只需要求出导函数的零点再分析原函数单调性即可．不同的解题方法为不同水平的考生提供了发挥空间．
（3）解三角形就是确定三角形的各边和各内角的大小，其数学原理是三角形全等的判定定理．根据试题给定的已知条件是无法唯一确定三角形的，但是当取得最小值时，三角形是唯一确定的．试题给考生和高中数学教学提供了很好的研究素材，如当取得最小值时，的面积是多少？当取得最小值时，的三条边长分别是多少，三个内角的正弦值或余弦值分别是多少？再如可以研究的取值范围，或者研究当时，的三条边长分别是多少？或者给定的面积，问三角形是否唯一确定？这些开放性的研究问题为考生和高中数学教学提供了丰富的研究机会，高中数学教学要从考题中挖掘数学问题．因此，试题具有较好的选拔功能，同时能够引导高中数学教学．
【答案】
【目标】 解三角形本质上是在三角形内蕴方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理以及三角形两边之和大于第三边）的基础上，把试题设定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而得到三角形的全部或者部分度量关系．试题题干和设问简洁清晰，通过在两个三角形中运用余弦定理，把问题转化为有理函数的最值问题．对于有理函数最值的分析，考生既可以利用均值不等式，也可以利用导数作为工具求解．
试题考查余弦定理、有理函数及不等式等基础知识，考查考生的运算求解能力、逻辑思维能力等关键能力，考查理性思维、数学探索等数学学科素养，符合综合性与应用性的考查要求．
【分析】解题思路
思路1 在和中，运用余弦定理可得
，，从而．
因此只需要分析在什么条件下取得最小值即可．
由均值不等式可知，，当且仅当时不等式取等号，即时，取得最小值．
故正确答案为．
思路2 由思路1得．令，则，当
时，有．当时，，当时，．
所以当时，取得最小值．
故正确答案为．
【典例3】（2022年高考数学全国I卷第18题）记的内角的对边分别为，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【解读】试题面向全体考生，以简单、基本的解三角形问题为依托，考查考生对三角函数、解三角形的理解，特别是对二倍角与正弦定理的应用的掌握．不等式的运用，是试题的创新点．三角函数与均值不等式相结合，改变了固化的命题形式，符合高考数学学科基础性、综合性的命题要求．解三角形为常规题型，可进一步稳定考生心态，有利于考生在考试中正常发挥水平；创新而简明地利用均值不等式，会让考生有很好的获得感．
【目标】试题将考生熟悉的解三角形作为命题情境．解三角形本质上是在三角形内蕴方程（三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理）的基础上，把试题设定的条件（方程）与内蕴方程建立联系，从而求得三角形的全部或者部分度量关系．试题考查正弦定理、三角函数两角和公式、二倍角公式等基础知识；同时以三角函数为载体，考查了均值不等式的应用．试题考查内容强调基础，服务“双减”．
试题考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，以及理性思维、数学探索等学科素养．试题考查的内容是解三角形的重点知识，涉及的最值求解问题也是学生常见的形式，符合基础性、综合性的考查要求．
【分析】解题思路
（1）思路1 由题设得，于是．故．
又因为，所以．故．
思路2 因为
所以由题设得，而为三角形的内角，故
又因为，所以．故．
（2）由题设得，从而，故．
可得．
由正弦定理得，所以
当且仅当时等号成立．
因此的最小值为．
【典例4】（2020·全国·统考高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【解读】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
【答案】
【目标】本题考查正弦定理，余弦定理，基本不等式，考查三角函数的运用。
【分析】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
应用一 几何问题——各边、各角或三角形的面积范围或最值
【例1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，则周长的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【引导与详解】
第一步：由条件结合余弦定理和三角函数恒等变换，得C：
由得，
又，，，所以，即，故．
第二步：利用正弦定理表示出b，c，得到周长的表达式：
由正弦定理，得，
，
故的周长，
第三步：利用锐角三角形得到A的范围，并结合函数的单调性，即可求解：
因为为锐角三角形，所以，得，
在上单调递减，
所以，
故的周长的取值范围为．
故选：B
应用二 参数范围问题
【例2】（2023·福建厦门·厦门一中校考二模）在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：先利用余弦定理求出，进而得到⊥：
由余弦定理得，
解得，
因为，由勾股定理逆定理得⊥，
第二步：求出，，从而得到m的表达式：
，
则，
因为，，所以，
，
在上的投影向量为，故，
第三步：换元后求出m的取值范围：
令，则，
令，
因为，所以，故当时，，
当时，，，
故，
故选：B
应用三 函数最值问题
【例3】（2024·浙江台州·统考一模）已知二面角的平面角为，，，，，，与平面所成角为．记的面积为，的面积为，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【引导与详解】
第一步：求出∠ABE：
过作，垂足为，连接，
依题意，，由于平面，
所以平面，由于平面，所以，
所以.
由于，所以平面，平面，
所以在平面上的射影为，所以，
第二步：列出表达式，得出最值：
根据三角形的面积公式以及正弦定理得：
，
由于，所以当时，
取得最小值为.
故选：D
应用四 与解析几何结合问题
【例4】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于，两点，且满足，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【引导与详解】
第一步：根据对称性可知，与轴正方向所夹的角：
连接，延长交抛物线于两点，不妨假设在的下方，
根据对称性可知，与轴正方向所夹的角为，
第二步：得出BF，AF的值：
因为，所以，．
第三步：根据余弦定理求AB：
由余弦定理，可得．
故选：D
应用五 与向量结合问题
【例5】（2024·江苏苏州·南京航空航天大学苏州附属中学校考模拟预测）在，角的对边分别为，若，且，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【引导与详解】
第一步：由正弦定理边化角，化简已知条件得出B：
由及正弦定理可得，
由，可得，故．
第二步：设，在和中，由余弦定理得出关系式，进而求的最小值.
法一：
设，由可得，
由余弦定理可得，又，
所以，得．
在和中，由余弦定理得，，
由可得，
故，
当时，取得最小值12，即，得，故的最小值为2．
法二：
由题意知，
两边同时平方得，
又，所以当且仅当，即时取等号，
则，故的最小值为2．
故选：B
方法一： 直接法
第一步：利用已知条件进行标注：确定三角形各边的长度和各角的大小，这是求解问题的基础.
第二步：列写未知量表达式：利用正弦定理或余弦定理，将已知的边长和角度关系转化为关于未知变量的表达式.
第三步：利用定义域求范围或最值：利用三角函数的有界性，确定未知变量的取值范围.
方法二： 基本不等式法
第一步：明确问题：首先，我们需要明确问题中涉及的变量，这些变量通常与三角形的边长或角度有关.
第二步：建立数学模型，即列写所求量表达式：根据题目条件，我们可以建立关于这些变量的不等式或等式.这通常涉及到正弦定理、余弦定理等数学知识.
第三步：求解不等式：解这个不等式或等式，找出变量的取值范围.
第四步：寻找最值：在得到的取值范围内，利用数学方法求出最值.这可能涉及到基本不等式的性质.
第五步：验证结论：最后，我们需要验证得到的结论是否符合题目的实际情况.
微点：解三角形
【表现形式】
一、射影定理
在内，；；
二、中线长定理
定义：若、、分别为BC、AC、AB的中线，则有
，，
证明：在中，D为线段BC上一点，则有
即
三、正弦恒等式
正弦平方差公式：
四、正切恒等式
正切恒等式：
六、托勒密定理
已知在四边形ABCD中，恒有，当且仅当ABCD四点共圆的时候取等号．
文字性描述：四边形的对边乘积之和大于等于其对角线乘积，当且仅当四边形存在外接圆时取等号．
七、婆罗摩笈多公式
设四边形边长分别为a、b、c、d，α为四边形的一组对角和，
婆罗摩笈多公式：
圆内接四边形面积公式：
三角形面积公式（海伦公式）：
八、角平分线定理
在中，若AD为的角平分线，则有
证明：利用正弦定理易证．
九、张角定理
在三角形ABC中，D是AB边上任意一点，
则有
【步骤】①列写所求量的函数表达式以及定义域；②根据题目所给条件对表达式进行化简&转化；③求范围.
（2023·新疆·校联考一模）
【例1】在锐角中，的对应边分别是，且．
（1）求的取值范围；
（2）求的取值范围．
答案 （1）；(2)
解析 （1），
由，故，
由，
故，
则，
由为锐角三角形，故，即，
则有，，，
可得，故，即；
（2）由，，
则
，
由（1）知，故，
故，即.
（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）
【例2】在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.
（1）求角C；
（2）求的取值范围.
答案 （1）；(2)
解析 （1）因为，
由余弦定理，，
整理得： ，
又由正弦定理，，而A为三角形内角，故，
故，而C为锐角三角形内角，故
（2）由（1）知，
，
因为三角形为锐角三角形，故，解得：，
则，故，所以.
故的取值范围是.
【跟踪练习】
（2023·四川乐山·统考一模）
1．在平面四边形中，已知，，，.
(1)若，求；
(2)求面积的最大值.
（2023·四川乐山·统考一模）
2．已知四边形内接于圆，，，.
(1)若，求中边上的高；
(2)求四边形面积的最大值.
（2023·山东潍坊·昌邑市第一中学校考模拟预测）
3．在锐角中，角所对的边分别为，满足.
(1)求角；
(2)求的取值范围.
（2023·四川成都·统考一模）
4．已知函数.在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足.
(1)求A的值；
(2)若，求的取值范围.
2023·贵州黔东南·统考一模）
5．的内角所对的边分别为，且，
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求出，再结合正弦定理即可求解.
（2）利用余弦定理求出，然后结合基本不等式求出，从而求解.
【详解】（1）由题意得连接，如图，
在中，由余弦定理得：
.
因为，所以.
因为，所以.
因为，则，
在中，由正弦定理得：
，即.
所以.
（2）在中，，，由余弦定理得：
.
即
所以，当且仅当时取等号，
所以.
故面积的最大值为.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理、圆的几何性质、正弦定理，先求得，进而求得边上的高.
（2）根据“正弦定理和三角形的面积公式”或“余弦定理和三角形的面积公式”，结合三角函数的最值或基本不等式求得四边形面积的最大值.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
.
，.
四边形内接于圆，，.
，在中，由正弦定理得：
，即
.
边上的高.
（2）解法一：
由（1）可知：.
在中，设，，
由正弦定理得：，
.
.
当且仅当，即时面积取到最大值，
故四边形面积的最大值为.
解法二：
由（1）可知：.
在中，，，由余弦定理得：
.
即：，
，当且仅当时取“”.
.
故四边形面积的最大值为.
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理得到，再由余弦定理求得，即可求解；
（2）由（1）知，得到且，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，结合正切函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：在锐角中，因为，
由正弦定理得，可得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
（2）解：在锐角中，由（1）知，可得，且，
可得，所以，所以，
又，所以，所以，
则，
因为且，可得且，
所以且，
所以的取值范围为.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式计算可得；
（2）首先由正弦定理和（1）求出，然后用锐角三角形和（1）求出B的取值范围，最后结合正切函数公式计算出结果.
【详解】（1）.
由，即.
为锐角三角形，，
.
.
（2）由正弦定理，.
，.
，.
是锐角三角形，
，且.
，，
，
.
.
.
综上，的取值范围为.
5．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边角互化，结合同角关系即可求解，
（2）根据余弦定理，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由及正弦定理，可得.
因为，所以.
又，所以，则，
又，所以.
（2）由余弦定理得，
当，时，取得最小值，所以的最小值为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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