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第2讲 三角函数的图象与性质（讲）
【典例1】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第10题 2023年高考文科数学（全国甲卷）第12题）函数的图像由函数的图像向左平移个单位长度得到，则的图像与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解读】创新是素质教育的关键特征之一，体现的是培养具有创新思维和品质的创新型人才的要求．创新性考查要求是通过命题创新，创设新颖的试题情境、新颖的题目条件、新颖的设问方式，考查考生的创新品质．高考通过创新性考查，引导基础教育培养学生的创新思维能力，使他们勇于面对新问题，通过对知识、思想方法的迁移，灵活组合运用，有效地解决问题．
【答案】C
【目标】试题设问新颖，具有一定的综合性，将三角函数的图像与直线的方程结合起来，考查考生的逻辑推理能力、数形结合的能力、运算与转化的能力，以及考生解决创新性问题的能力．
【分析】解题思路 由题意，，如图，在平面直角坐标系中画出的图像，以及直线．
直线过点和点，所以当时，的图像与直线没有公共点．由图像可知，的图像与直线共有3个交点，故选C．
【典例2】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第10题 2023年高考文科数学（全国甲卷）第12题）函数的图像由函数的图像向左平移个单位长度得到，则的图像与直线的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解读】创新是素质教育的关键特征之一，体现的是培养具有创新思维和品质的创新型人才的要求．创新性考查要求是通过命题创新，创设新颖的试题情境、新颖的题目条件、新颖的设问方式，考查考生的创新品质．高考通过创新性考查，引导基础教育培养学生的创新思维能力，使他们勇于面对新问题，通过对知识、思想方法的迁移，灵活组合运用，有效地解决问题．
【答案】C
【目标】试题设问新颖，具有一定的综合性，将三角函数的图像与直线的方程结合起来，考查考生的逻辑推理能力、数形结合的能力、运算与转化的能力，以及考生解决创新性问题的能力．
【分析】解题思路 由题意，，如图，在平面直角坐标系中画出的图像，以及直线．
直线过点和点，所以当时，的图像与直线没有公共点．由图像可知，的图像与直线共有3个交点，故选C．
【典例3】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第6题 2023年高考文科数学（全国乙卷）第10题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】函数是现代数学最基本的概念，而三角函数是研究周期函数的重要工具，在中学数学及数学的后续理论中都具有重要的地位．试题以正弦型函数为载体，给出函数半周期的部分信息，考查考生灵活应用知识，分析函数图像与性质的能力．解决问题的关键在于有清晰的思路和明确的计算方式，熟练的考生可以结合图像的周期和特殊点直接排除，迅速得到正确答案．试题体现了重视观察和思考、减少计算量的命题思路，围绕函数图像与性质，体现了对主干知识的考查侧重于理解和应用的要求，考查了考生逻辑推理能力、运算求解能力以及数形结合的思想．试题解法多样，不同思维层面的考生都能得到充分考查．
【答案】D
【目标】试题考查三角函数的图像、周期性，以及特殊点处的三角函数值；着重考查逻辑推理能力、运算求解能力及数形结合的思想．
【分析】解题思路 思路1 由题设可知，，且函数的半周期为，故，且可取，即得．故，正确选项为D．
思路2 由于正弦型函数的对称轴必过极值点，因此由题设可知，，且函数的半周期为，即得的周期为，所以且．
如图，由正弦型函数图像的性质可知，为的零点，
故在区间上的图像由在区间上的图像平移而得．
由于，因此．故选D．
思路3 由题设可知，，且函数的周期为，所以．由正弦型函数图像的性质可知，为的零点，又在区间单调递增，故，选项A，B不成立．由于居于区间的后半段，因此，故正确选项是D．
【典例4】（2023年高考数学（新课标Ⅰ卷）第15题）已知函数（）在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是______．
【解读】试题以研究一个三角函数在某一区间的零点个数为载体，考查考生灵活运用知识，分析函数图像与性质的能力．试题题干简洁清晰，考查内容是高中数学的主干知识，呈现方式是考生熟悉的三角函数的零点问题．试题的求解无需烦琐计算，解决问题的关键在于有清晰的思路和明确的计算方式，体现出多理性思考，少烦琐计算的特点．
【答案】
【目标】试题考查三角函数图像、三角函数的周期性，以及函数零点的概念，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力．
【分析】解题思路 思路1 的零点满足，即（）．由于，所以的非负零点依次为0，，，，…．
由题设可得解得．
因此的取值范围是．
思路2 设．的零点满足，即（），的非负值依次为0，，，，…．
由于，故当时，．
故由题设可得解得．
因此的取值范围是．
【典例5】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第16题）已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．
【解读】三角函数的图像与性质是高中数学课程中的重要知识内容．尽管三角学起源于天文观察需要的古典几何问题研究，但随着数学科学的发展，函数观统一了三角学的几何意义、代数运算和周期运动，因此全面深刻理解和掌握三角函数的性质与图像是初等三角学的核心与关键．试题正是在这样的背景下，设计了基于正弦型函数的图像的数学问题，考查考生对三角函数的代数运算、图像的几何意义及函数性质的掌握，基于对这些必备知识的考查，实现对考生基础性、综合性的考查，实现对考生理性思维和数学探究的数学素养的考查，服务于高校人才选拔．
（1）试题巧妙地设计了直线与正弦型函数的位置关系和局部的度量关系，要求考生解决所求函数值问题，形式新颖．通过，，可以确定三角函数的最小正周期，再通过观察确定初相，就确定了正弦型三角函数的解析式．题设给出的条件实际上是正弦型函数与x轴的位置关系的变形，高中数学教师在研究本试题时，不仅要从两个函数的交点（函数的零点）出发，还要从函数图像的运动上理解试题，开拓研究视角．
（2）试题要求考生熟练掌握基本三角函数的性质，包括与的性质之间的转换关系．在本试题的求解过程中，始终基于基本初等函数的性质和运算．高中数学教师在研究此题时，要引导学生关注试题的核心，引导学生体会从基础性到综合性的演变过程，从整体上把握对三角函数性质的研究．
【答案】
【目标】试题考查对三角函数性质与图像的理解，考查对正弦型函数的周期性、对称性和单调性的掌握，考查三角函数性质的几何表示与代数表示间的相互关系，考查逻辑思维能力和运算求解能力．
【分析】解题思路 确定三角函数的周期和初相．
设，，则有，．
根据图像，可取，，则．
又，即，所以．
故．
应用一 识别三角函数图象
【例1】（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
【引导与详解】
第一步：根据三角函数的运算结合特殊值判断即可：
对于B：，当时，，与图象不符合，故B错误；
对于C：，当时，，与图象不符合，故C错误；
对于D：，当时，，与图象不符合，故D错误．
故选：A
应用二 三角函数图象的综合应用
【例2】（2023·四川南充·统考一模）如图1是函数的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换后，得到图2中的部分图象，则（ ）
A． B．的解集为，
C． D．方程有4个不相等的实数解
【引导与详解】
第一步：由两个函数的图象分析得到的解析式，可判断选项A：
由图知，的图象可看作将的图象先向右平移一个单位，再把所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变得到的，
，
对于A，，故A错误
第二步：根据的函数图象可判断选项B：
对于B，要使，则，
解得，故B正确；
第三步：根据的周期性可判断选项C：
对于C，的最小正周期为，
，故C错误；
第四步：在同一个坐标系中作出和的图象可判断选项D：
对于D，在单调递减，且的图象过点和，
函数与函数的图象有个交点，如图所示，
方程有个不相等的实数解，故D错误.
故选：B.
应用三 三角函数图象的变换
【例3】（2023·四川雅安·统考一模）函数的图象经过点，将该函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象关于原点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C．3 D．
【引导与详解】
第一步：由求：
因为函数的图象经过点，
所以，
又，所以，
第二步：根据平移变换求出平移后的解析式
将的图象向右平移个单位长度后，
所得函数图象的解析式为，
第三步：根据对称性即可求解：
因为的函数图象关于原点对称，
所以，得，
因为，所以当时，取得最小值.
故选：A
应用四 整体代入法求三角函数的单调区间、对称轴和对称中心
【例4】（2024上·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到，则（ ）
A．的最小正周期为
B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称
D．的图象关于点对称
【引导与详解】
第一步：先通过条件求出：
，向左平移个单位得，
第二步：再利用三角函数的性质逐一判断选项对错：
对于A：，A正确；
对于B：当时，，函数在上不单调，则在区间上不单调，B错误；
对于C：，的图象关于直线对称，C正确；
对于D：，的图象不关于点对称，D错误.
故选：AC.
应用五 代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
【例5】（2024·吉林白山·统考一模）已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（ ）
A．
B．为其一个对称中心
C．若在单调递增，则
D．曲线与直线有7个交点
【引导与详解】
第一步：对于A，根据相邻两对称轴之间的距离求周期得出，再根据偶函数求得：
对于A，由题意，故，
又的图象向左平移个单位得到为偶函数，
所以，且，故，故A正确；
第二步：对于B，利用代入验证法进行判断：
对于B，因为，且为最值，故B错误；
第三步：对于C，根据正弦函数增区间公式进行求解：
对于C，令，，
令，故易知在单调递增，故，故C正确；
第四步：对于D，数形结合，结合对称性得出结果：
对于D，直线与曲线均过点，且该直线与曲线均关于该点中心对称，
当时，，当时，，如图，
由对称性可知曲线与直线有7个交点，故D正确．
故选：ABD．
应用六 利用三角函数单调性、奇偶性、周期性、对称性求参数值
【例6】（2024上·江苏·高三统考期末）设M，N，P为函数图象上三点，其中，，，已知M，N是函数的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若，的面积是，M点的坐标是，则（ ）
A． B．
C． D．函数在M，N间的图象上存在点Q，使得
【引导与详解】
第一步：根据三角函数的性质，结合向量的数量积运算即可得，，，进而可判断AB：
，
而，故，，，A错误、B正确；
第二步：根据在图象上可得，根据圆的性质即可求解：
，（），而，故，C正确；
显然，函数的图象有一部分位于以为直径的圆内，当位于以为直径的圆内时，，D正确，故选:BCD.
方法一： 函数法
第一步：确定函数类型：首先需要确定所给函数的类型，是正弦函数、余弦函数还是正切函数。
第二步：确定函数的定义域：根据函数的类型和所给条件，确定函数的定义域。
第三步：确定函数的值域：根据函数的类型和所给条件，确定函数的值域。
第四步：确定函数的周期性：根据函数的类型和所给条件，确定函数的周期性。
第五步：确定函数的奇偶性：根据函数的定义域和函数值的性质，确定函数的奇偶性。
第六步：确定函数的单调性：根据函数的导数和函数值的性质，确定函数的单调性。
第八步：验证答案：最后需要验证所得答案是否正确。
方法二： 图象法
第一步：理解函数的基本性质：首先，需要理解所考察的三角函数（如正弦、余弦、正切等）的基本性质，包括周期性、振幅、相位等。这些性质决定了函数图像的基本特征。
第二步：画出函数图像：根据函数的性质，尝试画出函数的图像。这一步可能需要一些猜测和尝试，因为三角函数的图像可能会有多种形式。
第三步：分析图像特征：观察和分析图像的特征，如极值点、对称性、周期性等。这些特征通常与函数的数学性质相对应。
第四步：验证结论：最后，通过代入特殊值或利用三角函数的性质，验证对图像特征的分析是否正确。
第五步：解决问题：根据题目要求的问题，结合图像和函数性质进行分析，得出结论。
需要注意的是，图象法虽然直观，但对于一些复杂的问题或需要精确计算的问题，还需要结合其他方法（如解析法、代数法等）进行求解。
微点：三角函数图象与性质
【表现形式】
一、三角函数图象本源
如图：角的终边与单位圆的交点为，由三角函数定义可知，．射线OP以x正半轴为始边逆时针旋转的过程来分析三角函数的本源，在旋转的过程中x，y随着终边位置的变化而变化，且终边与单位圆的交点唯一，即x，y唯一，故x，y与成函数关系，我们称y关于的函数为正弦函数，x关于的函数为余弦函数．
的变化范围
的变化
的变化
二、正余弦函数的图象与性质（）
函数图象与性质 函数图象与性质
值域
周期
奇偶性 奇函数 偶函数
单增区间
单减区间
对称轴
对称中心
最高点
最低点
如何深刻理解与记忆三角函数的各种性质呢？现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复，周而复始的规律，这种变化规律为周期性．那么三角函数刻画各种周期性变化现象再合适不过，首先三角函数从形来看，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线．于是三角函数各种性质也呈周期性变化．
①整体到局部思想去理解：为周期为，那么三角函数的各种性质也具有周期性（）
性质 周期性 变化规律
对称轴 为对称轴，自变量增加后，仍然为对称轴
对称中心 为对称中心，自变量增加后，仍然为对称中心
单调增区间 为单调增区间，自变量增加后，仍然为单调增区间
单调减区间 为单调减区间，自变量增加后，仍然为单调减区间
最高点 为最高点，自变量增加后，仍然为最高点
最低点 为最低点，自变量增加后，仍然为最低点
②反过来，由局部到整体思想：我们也可以通过局部的图形特征得到整体的周期性
图形特征 周期性T
两条相邻对称轴之间的距离为，图象为个周期图象
两条相邻对称中心之间的距离，图象为个周期图象
两条相邻对称中心与对称轴之间的距离为，图象为个周期图象
③通过类比思想我们可以推广到其他函数
关于，对称 是以为周期的函数
关于，对称 是以为周期的函数
关于，对称 是以为周期的函数
④同理可以得出的各种性质的代数表达式，其次也可以通过图象平移去理解，因为的函数图象向左平移个单位后为的函数图象，如为的对称轴，那么为的对称轴．
三、正切函数的图象与性质（）
定义域
值域
周期
奇偶性 奇函数
单调增区间
对称中心
渐近线
四、的图像变换
图象是由的图象变换而来，的图象同理可得。
具体变换过程如下：方法1：左右平移→左右伸缩→上下伸缩→上下平移
左右平移 “左加右减”：时，图象向左平移个单位；时，图象向右平移个单位；
左右伸缩 每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变；
上下伸缩 每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍；
上下平移 “上加下减”：时，图象向上平移B个单位；时，图象向上平移-个单位．
方法2：左右伸缩→左右平移→上下伸缩→上下平移
左右伸缩 每个点的横坐标变为原来的，纵坐标不变；
左右平移 “左加右减”：时，图象向左平移个单位；时，图象向右平移个单位．
上下伸缩 每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍；
上下平移 “上加下减”：时，图象向上平移B个单位；时，图象向上平移个单位．
特别注意：两种变换最大的区别点为平移单位的不同，谨记；当向左平移个单位后，新的函数图象所对应的函数解析式为，需把x整体代换为！
五、的性质
①整体法换元求解性质：（以下）
性质
值域 令；
对称轴 求解x即可；
奇偶性 奇函数 当一条对称轴为时为偶函数；当一个中心对称点为时为奇函数；
对称中心 求解对称中心的横坐标x，纵坐标为B；
单增区间 的解集为单增区间；
单减区间 的解集为单减区间；
最高点 求解最高点的横坐标x，纵坐标为；
最低点 求解最低点的横坐标x，纵坐标为．
特别注意：
①当为负数时，通过诱导公式把x的系数先变为正数，如；
②与的图象关于x轴对称，故在同区间内单调性刚好相反，B不影响单调性；
如图：与的图象关系；
【步骤】图象法求解性质：
的图象可以根据一个最高（低）点和周期递推画出来，优点是可以不考虑所以参数的正负，画出图象结合性质变化的周期性得出整个函数的性质；具体如下：
第一步：先找一个最高点或最低点（以为例），，故最高点为；
第二步：计算周期
最高点 经过后到中心对称点 经过后到最低点 经过后到中心对称点 经过后到最高点
下面以为例分析：第一步：先找一个最高点，，故最高点为；
第二步：计算周期；
最高点 经过后到中心对称点 经过后到最低点 经过后到中心对称点 经过后到最高点
画出图象，根据图象可得各种性质
【例1】（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知函数，若且，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
答案 D
解析 ∵，
∴是的一个最大值点，即直线是图象的一条对称轴，
又，
∴，则，
∴，
又∵在时取得最大值，可得，
∴，
又∵，
∴的最小值为13.故选：D.
【例2】（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数的零点为轴上的所有整数，则函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ）
A． B． C． D．
答案 D
解析 因为函数的零点为轴上的所有整数，所以函数的最小正周期，
所以，且，结合，可得，
所以．
作出函数与函数的图象，如下图所示，
可知函数的图象与函数的图象有个交点，
故选：D．
【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断
(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
【跟踪练习】
（2024·辽宁沈阳·统考一模）
1．如图，点是函数的图象与直线相邻的三个交点，且，则（ ）
A．
B．
C．函数在上单调递减
D．若将函数的图象沿轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为
（2023·云南红河·统考一模）
2．已知则（ ）
A．的值域为
B．是奇函数
C．若为函数的零点，且，则
D．的单调递增区间为
（2023·全国·模拟预测）
3．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C．在上单调递增 D．的图象关于点对称
（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）
4．将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的曲线上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有且仅有两个不同实数满足，则的取值可以是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（2023·福建福州·福州四中校考模拟预测）
5．已知函数，则下列结论正确的为（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于对称
C．的最小值为
D．在区间上单调递增
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．ACD
【分析】令求得根据求得，根据求得的解析式，再逐项验证BCD选项.
【详解】令得，或，，
由图可知：，，，
所以，，
所以，所以，故A选项正确，
所以，由得，
所以，，
所以，，
所以，
，故B错误.
当时，，
因为在为减函数，故在上单调递减，故C正确；
将函数的图象沿轴平移个单位得，（时向右平移，时向左平移），
为偶函数得，，
所以，，则的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
2．BC
【分析】选项A：将然后判断函数值域；
选项B： 根据奇函数的定义证明；
选项C：根据函数的周期和零点计算求解；
选项D：判断函数在的单调性，然后结合函数的偶函数性质求解函数的单调递增区间；
【详解】对于A，当，，选项A错误；
对于B，
，故B正确．
对于C，显然函数满足且 关于对称，所以是以为周期的函数，
又因为，所以，故C正确．
对于D，当时，，
，所以在上单调递减，又因为是以为周期的偶函数，
所以的单调递增区间为，故D错误．
故选：BC．
3．BD
【分析】根据图像确定函数解析式，根据函数解析式和正弦函数的性质判断选项正误.
【详解】A选项：由题图可知，，则，由，得，根据图象的变化趋势与可知，，
由得，所以，解得，易知，故A错误；
B选项：设的最小正周期为，由题图可知，，得，（利用图象判断函数的最小正周期的大致范围）
即，所以，所以，故，
所以，所以，故B正确；
C选项：令，解得，取，得在上单调递增，故C错误；
D选项：令，解得，取，得，所以的图象关于点对称，故D正确．
故选：BD.
4．ABC
【分析】由图象变换得到解析式，再根据三角函数的有界性，将条件转化为在上最值的取值情况，将看作整体角，根据函数图象得到不等关系求解即可.
【详解】由题意得，
,
由，得或，
由已知在上有且仅有两个不同实数满足，
则在上只取得一次最大值和一次最小值，
，令，则，
由图象可知，，解得，
即的取值范围是，
故选：ABC．

5．BC
【分析】化简函数为，，结合大致图象判断各选项即可求解.
【详解】函数，，
大致图象如下：

由图可知，函数的最小正周期为，故A错误；
函数的图象关于对称，故B正确；
函数的最小值为，故C正确；
函数在区间上单调递增，在上单调递减，故D错误.
故选：BC.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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