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第1讲 向量合成定理与三角形四心（讲）
【典例1】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第11题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则面积为（ ）
A． B． C． D．
【解读】棱锥是立体几何中常见的几何体．试题设计中给出了，，以及底面ABCD为边长为4的正方形等条件，要求考生基于空间想象，依靠逻辑推理，发现平面平面，以及A，B两点关于平面PEO对称，求得，从而求出面积．试题重视对考生图形的构造能力，余弦定理、三角形面积等知识的综合运用能力，以及化归与转化等能力的考查，较好地发挥了试题服务选才、引导教学的功能．
【答案】C
【目标】试题以考生熟悉的四棱锥为背景，考查考生对基本知识的掌握情况，对空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力作了基础性考查．
【分析】解题思路 如图，设O，E分别为正方形ABCD的边CD，AB的中点，连接PO，OE，PE，则．由可得，所以平面PEO，平面平面ABCD．因为，所以平面PEO，从而，可得．
中，．
所以，，．
面积．
故答案为C．
【典例2】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第4题）已知向量，，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题给出模为定值的三个向量，以及这三个向量之间的关系，要求求出向量，夹角的余弦值．根据向量加法运算的平行四边形法则，可以列举出满足关系的三个向量的坐标，通过向量坐标的运算，求出向量夹角的余弦值，也可以直接进行向量的数量积的计算求解．不同思维能力层次的考生都可以通过自己熟悉的方法来解决问题．
向量是代数与几何的桥梁之一，也是数学和其他一些学科研究的重要和有力工具，通过向量可以将几何问题和代数问题有机结合，既可以通过代数运算得到几何不变量和几何量之间的关系，也可以给代数内容赋予几何直观．
【答案】D
【目标】试题考查向量概念、向量的线性运算及其几何意义、向量的数量积以及向量夹角等相关知识；考查考生的平面向量的运算能力，数形结合的能力等．
【分析】解题思路 思路1 利用题目的条件，直接进行向量的数量积运算．由题设得
，①
，②
．③
①+②③得，即．所以，．
．
思路2 利用向量之间的关系、向量的几何意义和向量夹角的定义进行计算．根据条件，，可以想象，，满足等腰直角三角形三边之间的关系．根据，可知向量与的模长相等，方向相反．综合这些条件，根据平行四边形法则，可以设，，．所以，．
．
【典例3】（2022年高考数学全国I卷第3题）在中，点在边上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】（1）试题考查考生对平面向量基础知识的理解与掌握，试题解法多样，既可以利用平面向量的线性运算按部就班地推演得到答案，也可以利用三角形的几何性质直观地看出问题的答案．
（2）试题虽较为简单，但设计精巧，为不同思维水平的考生提供了发挥的空间．
（3）试题给定了两个基向量，由此可以唯一确定其他向量的代数表示．在高中数学教学中，教师可以引导学生研究此类问题．这种代数表示的系数实际上是仿射坐标系中的坐标，如试题中表示了相对于坐标原点为．在基向量为和的坐标系中，的坐标分别是和3．教师在指导学生研究此题时，还可以引导学生考虑其他基向量下的坐标表示或者其他向量的坐标表示，以此提高学生对平面向量基本定理深刻且全面的理解．试题在考查三角形和平面向量必备知识的同时，意在引导高中数学教学对平面向量基本定理的深刻理解与把握，引导学生要对向量几何有深刻的理解和把握．
【答案】B
【目标】试题考查平面向量的概念、基本定理及其简单运算，考查考生运用平面向量的方法分析平面几何问题的能力，考查了考生的几何直观、运算求解等关键能力，以及理性思维、数学探索等数学学科素养．
【分析】解题思路 思路1 如图所示，根据平面向量加法的三角形法则，有，而，所以．故正确选项为B．
思路2 根据平面向量加法的平行四边形法则，有，而，所以．故正确选项为B．
思路3 根据平面向量加法的平行四边形法则，有，而，所以．故正确选项为．
思路4 构造平行四边形，如图所示．根据题设的几何条件，容易得到，由平面向量加法法则可得．故正确选项为．
应用一 证明线段垂直
【例1】（2023·湖北·校联考模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，点在直线上，且，则的坐标为；
B．若是的外接圆圆心，则
C．若，且，则
D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.
【引导与详解】
第一步：设，由题意可得或，再根据平面向量的坐标表示计算即可：
设，则，
因为点在直线上，且，
所以或，
则或，
所以或，解得或，
所以或，故A错误；
第二步：设为的中点，根据数量积的定义即可得解：
如图，设为的中点，则，
则，故B正确；
第三步：当时，再根据数量积的运算律即可判断：
当时，，
满足，则与不一定相等，故C错误；
第四步：根据数量积的运算律即可判断D：
因为，
所以，所以，
同理可得，
所以是的垂心，故D正确.
故选：BD.
应用二 解决夹角问题
【例2】（2023·天津河西·统考一模）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示______．若，则余弦值的最小值为______．
【引导与详解】
第一步：使用向量线性运算求解即可：
如图，由已知，
.
∴.
第二步：与为基底，用数量积的形式表示出：
设，即与的夹角为，
，
若，则，
∴，
第三步：再由基本不等式求解即可：
又∵，，∴由基本不等式，
∴.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：，.
应用三 解决线段长度问题
【例3】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：用平面向量基底表示：
设，
则，
第二步：找到的关系求解：
由，
得，又已知，且，
则有，
故.
故选：A.
四 几何最值
【例4】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（ ）
A．6 B．3 C． D．
【引导与详解】
第一步：将中向量进行分解并化简，：
因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以，
取的中点，所以，，如图所示：
因为，
因为是的中点，所以，
，
第二步：求解最大值：
所以若最大，所以只需最大，
所以，
所以.
故选：A
应用五 判断三角形形状
【例5】（2024·贵州·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为钝角三角形
【引导与详解】
第一步：由已知确定的角平分线与BC垂直，利用几何性质得出A的角度，进而求出三角形形状：
因为，，分别为单位向量，所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为，
即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A错误；
第二步：由正弦函数值确定角的范围，判断：
要使满足条件的三角形有且只有两个，则，因为，，所以，即，所以，故选项B正确；
第三步：由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C：
因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故，可得，故为等边三角形，C正确；
第四步：利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D：
D.，
而，所以A，B，C都为锐角，D错误；
故选：BC.
方法一： 三角形法则
第一步：确定三个向量.将用选定的其中两个向量来表示需要求解的向量.
第二步：将其中一个向量与另外两个向量中的一个相加.使三个向量恰好构成三角形的三条边.
第三步：将上一步的结果与第三个向量相加.
第四步：重复上述步骤，直到得到三个向量的和，并验证结果是否与直接相加三个向量得到的结果相同.
方法二： 四边形法则
第一步：确定三个向量.将用选定的其中两个向量来表示需要求解的向量.
第二步：将其中一个向量与另外两个向量中的一个相加.使三个向量恰好构成四边形的两条边和一条对角线.
第三步：将上一步的结果与第三个向量相加.
第四步：重复上述步骤，直到得到三个向量的和，并验证结果是否与直接相加三个向量得到的结果相同.
微点：向量合成定理与三角形四心
【表现形式】
一、三角形四心定义
外心如图：①三条边垂直平分线的交点；②外接圆的圆心，外心到三个顶点距离相等．
重心如图：①三条中线的交点；②重心G为中线上的三等分点，即．
内心如图：①三条内角角平分线的交点；②内切圆的圆心，内心到三条边的距离相等．
垂心如图：三条高的交点．
二、平面向量运算之等和性质与等比性质
根据平面向量基本定理可、不共线时，平面中任意都存在唯一的实数对，使得．
等和图 等比图
等和性质 等比性质
①当在直线上时，若，根据三点共线定理可知到的距离为； ②根据相似可知的终点都在一条直线上，若，此时，到的距离为2d；③根据相似可知的终点都在一条直线上，若，此时，到的距离为kd． 由相似得； 同理； ①那么点分线段AB的比为即为、的系数比； ②的系数比不发生变化，那么所在直线与线段AB的交点分线段AB的比不变，即、系数比决定向量的方向．
与合成原理：即 ①等和性质的应用：的值确定的大小；②等比性质的应用：的值确定的方向．
【步骤】①化简已知条件，得出向量表达式；②利用得到的向量表达式，作出图形，即可得出结论.
【例1】（2024·安徽·淮北一模）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（ ）
A． B．存在点，使
C．若，则点的轨迹长度为2 D．的最小值为
答案 AD
解析 设为正六边形的中心，
根据正六边形的性质可得且四边形均为菱形，
，故A正确，
假设存在存在点，使，则，其中点为以为邻边作平行四边形的顶点，
所以在直线上，这与点是内部（包括边界）的动点矛盾，故B错误，
当时，，
取，则，所以点的轨迹为线段，
其中分别为过点作与的交点，
由于为的中点，所以，故点的轨迹长度为1，C错误，
由于，
，
过作于，则，所以此时，
由于分别为上的分量，且点点是内部（包括边界）的动点，所以
当位于时，此时同时最小，故的最小值为
故选：AD
【例2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知在等边△中，，为的中点，为的中点，延长交占，则（ ）
A． B．
C． D．
答案 AB
解析 如图，
，故A正确；
设，则，
又，，三点在一条直线上，故，故，
即，，
故，故B正确；
，故，故C错误；
，
，
故，故D错误.
故选：AB.
【跟踪练习】
（2023·海南海口·校联考一模）
1．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则（ ）

A． B．
C．存在最小值 D．的最大值为
（2023·江苏苏州·模拟预测）
2．在中，记，，点在直线上，且.若，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．2
（2023·重庆·校联考三模）
3．的内角，，的对边分别为，，，则下列命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，，则有一解
C．已知的外接圆的圆心为，，，为上一点，且有，
D．若为斜三角形，则
（2023·山西临汾·统考二模）
4．如图，矩形中，，若，点分别为边的中点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）
5．在中，，点在边上，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．当，
C．当平分时，
D．存在点使得是等腰三角形
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．ABC
【分析】对于AB，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.
【详解】对于A，因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以，
则，故A正确；
对于B，，
则
，故B正确；
对于C，如图，以点为原点建立平面直角坐标系，
则，
因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，
所以点的轨迹方程为，且在轴的下半部分，
设，
则，
所以，
因为，所以，
所以当时，取得最小值，故C正确；
对于D，因为，
所以，
即，
所以，
所以，
因为，所以当时，取得最大值，故D错误.
故选：ABC.
2．BC
【分析】分点内分与外分线段讨论，再由向量的线性运算求解即可.
【详解】当点在线段上时，如图，
，
所以，
当点在线段的延长线上时，如图，
，
则，
故选：BC.
3．AD
【分析】根据正弦定理即可判断A、B选项；根据三角形外接圆性质，结合向量基本定理将B项中数量积展开计算即可判断；根据三角形内角和代入D项中计算即可.
【详解】在三角形中，当，则，即，整理可得，故A正确；
由正弦定理得，又因为，所以有两解，B错误；
因为的外接圆的圆心为，所以，
同理可得，
又因为，
所以，故C错误；
因为，得，且为斜三角形，
则
，
所以，故D正确；
故选：AD
4．AC
【分析】建立平面直角坐标系，运用平面向量加法、数量积、向量夹角的坐标公式求解即可.
【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴以A为原点，分别以AB、AD为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
∴，，，，，
对于A项，设，则，
∴，，
∴，故A项正确；
对于B项，因为，所以与不垂直，故B项不成立；
对于C项，，故C项正确；
对于D项，，故D项不成立.
故选：AC.
5．BCD
【分析】由题意，可得.
对于A，结合平面向量的基本定理即可求解；
对于B，结合A可知，结合余弦定理可得，根据平面向量的数量积定义即可求解；
对于C，由平分，可得，进而得到，，结合等腰三角形可得，再根据余弦定理即可求解；
对于D，设，则，结合余弦定理可得，进而即可求解.
【详解】由题意，.
对于A，，
所以，故A错误；
对于B，由A可知，，即，
在，由余弦定理，可得，
所以，
即，故B正确；
对于C，因为平分，所以，
即，即，
因为，
所以，，
由B可知，，又，
所以，
在中，由余弦定理可得，，
即，解得
即，故C正确；
对于D，若，则是等腰三角形，
设，则，
在中，由余弦定理可得，，
即，解得，
故存在点，且时，使得是等腰三角形，故D正确.
故选：BCD.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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