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第3讲 平面向量的范围问题（讲）
【典例1】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第12题）已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题解法多样，不同的选择体现了考生不同的思维水平．考生可以通过解析几何的方法把直线与圆的方程联立，根据韦达定理得出点D坐标，进而利用函数思想得到最大值；也可以通过平面几何的方法确定点D的轨迹为圆的一部分，再通过数形结合的方法得出最大值．当然考生还可以用两个向量的夹角作为自变量，通过向量投影得到答案．总之，试题对考生的思维有一定要求，需要考生思维的创新性，强调多想少算，数形结合．试题具有很好的选拔功能．
【答案】A
【目标】试题考查圆与直线的位置关系，以及向量的数量积等知识．试题一方面需要一定的动态分析能力，由于直线PB是动直线，需要考虑点D的所有可能位置（即轨迹）；另一方面，题目所求是一个定向量与一个动向量的数量积最大化，考生也需要正交分解的想法．
【分析】解题思路 思路1 由D为BC的中点可知OD与PD垂直，即点D在以OP为直径的圆周上（事实上点D的轨迹为该圆周在⊙O内部的部分）．取OP的中点M，有，并且，由于，有，同时，因此，当MD与PA平行时取到最大值，因此正确选项为A．
思路2 设点P为原点，⊙O的圆心为，方程为，设点，直线PB为，代入圆的方程得，由韦达定理知两根和，即，，以及中点，点D的横坐标，当时取到最大值，因此的最大值为．
【典例2】（2023·天津·统考高考真题）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，则可用表示为 ；若，则的最大值为 ．
【解读】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【答案】
【目标】本题考查平面向量的范围问题，用基底表示向量用，定义求向量的数量积，余弦定理，解三角形基本不等式求积的最大值.
【分析】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.
【典例3】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解读】建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得
【答案】D
【目标】本题考查求平面向量的范围问题，数量积的坐标表示，含\\sin x (型)函数的值域和最值，辅助角公式
【分析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
【典例4】（2022年高考数学全国Ⅱ卷第10题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点．若，则（ ）
A．直线AB的斜率为 B．
C． D．
【解读】试题考查了与抛物线和直线有关的基本概念、基本方法，同时也考查了考生用解析几何思想方法解决问题的能力．试题意在引导中学数学教学回归教材，重视基本概念、基本方法的教学，重视对学生理性思维的培养．对于如何灵活地应用解析几何的基本思想方法将问题合理转化，试题进行了很好的设计．试题对考生的逻辑推理、直观想象等数学学科素养具有一定的要求，体现了新高考的课改理念，不仅有利于高校选拔人才，而且对培养学生核心素养、发展素质教育有积极的引导作用．
【答案】ACD
【目标】试题借助抛物线的基本元素命制，以抛物线内线段的数量关系为限制条件，引导考生逐步求出抛物线的基本量．试题注重考查考生的空间想象、逻辑推理、运算求解等数学能力以及数形结合、化归与转化等数学思想，重点考查了解析几何的基本思想和方法．
【分析】解题思路 由题设可得．又，故，．
所以直线AF的斜率等于，即知AB的斜率为．
直线AB的方程为，与联立，化简可得点B坐标为．
故，．
又，，由余弦定理得．
故．同理可得，于是．综上，正确选项为ACD．
应用一 解决夹角问题
【例1】（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：根据已知条件，求出的值：
由题意可得，
将两边平方可得；
可得，可得；
第二步：再由向量夹角计算公式可求得与的夹角为：
设与的夹角为，则，
所以.
故选：C
应用二 解决几何最值问题
【例2】（2024上·辽宁大连·高一统考期末）平面向量两两不共线，满足，且．若，则的最大值为 ．
【引导与详解】
第一步：根据重心的性质可得,：
不妨设由,
由可得是的重心，
由可得,
由重心的性质可得,,
第二步：根据余弦定理可求解长度：
不妨设,则，
故由余弦定理可得，
,
所以
第三步：根据三角函数的性质即可求解最大值：
记，平方可得,
由于，所以，此时取最大值4，故的最大值为2，
因此的最大值为，
故答案为：
应用三 解决与三角函数有关问题
【例3】（2024·河南郑州·统考一模）已知中，内角所对的边分别为．
（1）求角A的值；
（2）若点满足，且，求的值．
【引导与详解】
（1）第一步：由已知条件和三角形内角关系，利用两角和的正弦公式化简可得：
（1）由以及可得
，
即，
可得，又，
所以，即，
第二步：再由辅助角公式以及角的范围可得：
可得，又,
解得.
（2）第一步：根据向量定比分点以及：
∵，
∴，
如下图所示：
第二步：在中由正弦定理可得，化简计算即可求得tanB.
由可得，，，；
在中，由正弦定理可得，即，
由可得，
化简可得，整理可得，
所以.
应用四 解决与三角形有关问题
【例4】（2024上·云南昆明·高二统考期末）已知，点是平面内一点，记，，则（ ）
A．当，时，则在方向上的投影向量为
B．当，时，为锐角的充要条件是
C．当时，点、、三点共线
D．当，时，动点经过的重心
【引导与详解】
第一步：利用投影向量的定义可判断A选项：
对于A选项，当，时，
则在方向上的投影向量为，A对；
第二步：分析可知且、不共线，求出的取值范围，可判断B选项：
对于B选项，当，时，
角为锐角且、不共线，即，解得且，
所以，为锐角的充要条件是，B错；
第三步：利用共线向量的基本定理可判断C选项：
对于C选项，因为，即，
所以，，即，
又因为、有公共点，故点、、三点共线，C对；
第四步：利用平面向量的加法可判断D选项：
对于D选项，设线段的中点为，
则，
因为，则，
此时，动点经过的重心，D对.
故选：ACD.
应用五 解决与解析几何综合应用有关问题
【例5】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（ ）
A．
B．点的轨迹方程为
C．的最小值为6
D．的最大值为
【引导与详解】
第一步：垂径定理得到，从而得到，进而求出角度∠ACB：
A选项，由题意得，半径为，
由垂径定理得⊥，则，解得，
由于，则，故，A错误；
第二步：由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，得到轨迹方程：
B选项，由A选项可得，，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
故点的轨迹方程为，B正确；
第三步：由极化恒等式得到，结合点的轨迹方程，得到的最小值：
C选项，由题意得，，
两式分别平方后相减得，，
其中，又点的轨迹方程为，
所以的最小值为，故的最小值为，C正确；
第四步：转化为点到直线的距离问题，可看作点到直线的距离，结合点的轨迹方程，求出最大值，得到答案：
D选项，可看作点到直线的距离，
同理，可看作点到直线的距离，
故可看作点到直线的距离，
点的轨迹方程为，
故点到直线的距离最大值为圆心到的距离加上半径，
即，故，
所以，故最大值为，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：向量恒等式，及是常用等式，要学会合理利用这两个式子解题．
应用六 解决与概率有关问题
【例6】（2024·广东茂名·统考一模）从标有1，2，3，…，10的10张卡片中，有放回地抽取两张，依次得到数字，，记点，，，则（ ）
A．是锐角的概率为 B．是锐角的概率为
C．是锐角三角形的概率为 D．的面积不大于5的概率为
【引导与详解】
第一步：根据向量数量积为正结合古典概型公式判断A，B选项：
易知，不共线，若是锐角，，易知共有100种情况，其中共有10种，与有相同种情况，即45种，所以是锐角的概率为，A正确；
若是锐角，恒成立，所以是锐角的概率为1，B错误；
第二步：根据数量积为正得出锐角判断C选项：
若是锐角三角形，则，
即
所以，共有9种情况，所以是锐角三角形的概率为，C正确；
第三步：结合面积公式判断D选项：
若，，
该不等式共有组正整数解，所以的面积不大于5的概率为，D正确.
故选：ACD.
方法一： 直接法
第一步：根据条件构造并化简向量：通过向量将所求量进行表达，得出相应的表达式并化简；
第二步：求范围：利用二次函数开口方向&对称轴和三角函数单调性&周期性等求解函数范围.
方法二： 几何法
第一步：确定向量的起点和终点：首先需要确定题目中给定的向量起点和终点，以及它们所表示的几何意义.
第二步：构建平面几何图形：根据向量的起点和终点，在平面上构建相应的几何图形.这个图形可以是线段、三角形、平行四边形等，具体取决于题目的情况.
第三步：分析几何关系：根据向量的定义和性质，分析向量之间的关系，以及它们与图形中的线段、角度等几何元素的关系.
第四步：求解范围问题：根据分析的几何关系，利用平面几何的知识，求解向量的范围问题.这可能涉及到线段的长度、角度的大小、平行或垂直的条件等.
第六步：得出结论：根据求解的结果，得出向量的范围，并给出相应的解释或证明.
方法三： 三角换元法
在解决平面向量问题时，三角换元法是一种非常有效的技巧。通过设定向量的坐标并利用三角函数进行转换，可以将复杂的问题简化为易于解决的数学形式.
第一步：根据题目要求设定向量的坐标.
第二步：利用向量的模长公式确定横坐标和纵坐标的取值范围，即利用，其中r是向量的模长.
第三步：根据题目要求确定向量的夹角范围：通过设定一个角度来表示向量与坐标轴的夹角，并利用三角函数的性质将向量的坐标转换为三角函数形式，即和.
第四步：将转换后的坐标代入需要求解的表达式中进行化简，并根据三角函数的性质和不等式性质求解表达式的取值范围.通过这一过程，可以轻松解决平面向量的范围问题.
需要注意的是，在解题过程中要仔细分析题目条件和要求，并正确使用三角函数的性质和不等式性质进行化简和求解.同时，还要注意细节和运算的准确性，以免出现错误的结果.
微点：平面向量处理解析几何范围问题
【表现形式】高中数学中的平面向量与解析几何是两个相对独立的知识模块，但它们之间也存在密切的联系.在处理解析几何问题时，平面向量常常以各种形式出现，为解决问题提供新的视角和工具.以下是平面向量在解析几何中常见的几种表现形式：
1. 力的合成与分解：在解析几何中，特别是在涉及速度、加速度等物理量时，平面向量常常作为力的合成与分解的表现形式出现。通过向量加法、减法和数乘等运算，可以方便地描述和解决与方向和大小相关的问题.
2. 向量的数量积、向量积和混合积：这些运算在解析几何中常用于描述点、线、面的关系。例如，向量的数量积可以用于求两向量的夹角，进而描述直线、平面之间的夹角；向量积可以描述平面的法向量，进而研究平面几何问题；混合积则可以描述三维空间中点、线、面的关系.
3. 向量的线性表示：在解析几何中，经常需要将一个向量表示为其他向量的线性组合。通过向量的线性表示，可以研究向量的性质、几何意义以及与基底的关系.
4. 向量的模与向量的投影：向量的模描述了其大小，而向量的投影则用于研究向量在给定方向或平面上的分量。这在解析几何中常用于计算距离、角度等.
5. 向量的线性方程组：在解析几何中，经常需要解决涉及多个未知数的线性方程组。通过将方程组中的每个方程表示为向量方程，可以利用向量运算简化计算过程.
6. 向量的参数方程和极坐标表示：在解析几何中，参数方程和极坐标是描述点或向量的重要工具。通过向量的参数方程和极坐标表示，可以更方便地描述和解决与轨迹、方向和大小相关的问题.
综上所述，平面向量在解析几何中以多种形式出现，为解决几何问题提供了新的视角和方法。掌握平面向量与解析几何的联系和应用，有助于更好地理解和解决涉及几何的数学问题.
【步骤】
①理解问题：首先，要明确问题的要求，是求某点的轨迹、范围，还是其他.
②建立坐标系：根据问题的特点，选择合适的坐标系。这有助于将几何问题转化为代数问题.
③设定变量：根据问题的需求，设定变量，如点的坐标等.
④建立方程：利用平面向量的数量积、模长等性质，建立代数方程。这通常涉及到向量的线性组合、数量积等运算.
⑤求解方程：对方程进行求解，得到变量的值.
⑥分析结果：根据解得的变量值，分析其几何意义，得出点的轨迹、范围等.
⑦验证答案：最后，将得到的答案代入原问题，验证其正确性.
通过以上步骤，可以将平面向量与解析几何中的范围问题有机结合起来，从而找到解决问题的有效方法.
【例1】（2023上·江苏苏州·张家港市暨阳高级中学校考阶段练习）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案 A
解析
由已知，，.
如图，设点，则，
，
在中，有
，
易知，则，
则，
因为，所以当时，取得最大值，
又，所以，.
所以，的取值范围是.
故选：A.
【例2】（2023上·安徽·合肥市第七中学校联考阶段练习）已知椭圆的长轴长为,下顶点为，垂直于y轴的直线与椭圆C相交于A,B两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．0
答案 A
解析 由椭圆C的长轴长为，可得，即,
由下顶点为，得，
所以椭圆C的方程为．
由题意可设，则，
又，所以，
所以，
又，所以当时，有最小值，
故选：A．
【跟踪练习】
（2023上·北京·北京市第十一中学校考期中）
1．已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山西大同·高三统考阶段练习）
2．已知点是抛物线的焦点，，过斜率为1的直线交抛物线于M，N两点，且，若Q是抛物线上任意一点，且，则的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．1
（2023上·全国·期末）
3．已知O为坐标原点，，，点P满足，记点P的轨迹为曲线
(1)求曲线E的方程；
(2)过点的直线l与曲线E交于两点，求的取值范围．
（2016上·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考期末）
4．在直角坐标平面中，的两个顶点A，B的坐标分别为，，两动点M，N满足，，向量与共线．
(1)求的顶点C的轨迹方程；
(2)若过点的直线与（1）轨迹相交于E，F两点，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得的范围，再结合根与系数的关系写出数量积，由得范围求得的范围．
【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，，
此时；
当直线斜率存在时，设斜率为，设,
则直线方程为，
联立，得，
，得．
，
．
．
，，，
则，
综上，的取值范围是．
故选：D．
2．A
【分析】根据直线与抛物线联立可得韦达定理，根据数量积的坐标运算可得，进而根据向量线性运算的坐标表示，即可结合二次函数的性质求解.
【详解】由题意可得，所以直线的方程为，
联立直线与抛物线方程得，
设,所以
，，
化简得，
即,解得,
故
设,则，
因此且，
因此可得，
故，当时取到等号，故的最小值为0，
故选：A
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的定义，易判断点的轨迹是双曲线的右支，求出的值，即得；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程，推出韦达定理，依题得出参数的范围，将所求式等价转化为关于的函数式，通过整体换元即可求出其取值范围.
【详解】（1）因，，且动点P满足，由双曲线的定义知：
曲线E是以为焦点的双曲线的右支，且，，则，故曲线E的方程为
（2）
当直线l的斜率为0时，直线l与双曲线的右支只有一个交点，故不符题意.如图，不妨设直线l方程为：，
设，，联立，得，
由韦达定理得，，.
由题意：解得：
，令，因故，
而，在为减函数，
故，即的取值范围为.
4．(1)
(2)
【分析】（1）设顶点C的坐标为，由，知．由且向量与共线，知N在边的中垂线上，由此能求出的顶点C的轨迹方程．
（2）设，，过点的直线方程为，代入，得．再由根的判别式和韦达定理能求出的取值范围．
【详解】（1）设顶点C的坐标为，因为，．
又且向量与共线，
∴N在边的中垂线上，．
而，即，
化简并整理得顶点C的轨迹方程为．
（2）
设，
过点的直线方程为，代入，
得，，
得，
而是方程的两根，
，．
，
即，
故的取值范围为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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