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第2讲 向量的数量积与极化恒等式(练)
【典例1】（2023年高考文科数学（全国乙卷）第6题）已知正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【解读】向量是数学和其他一些学科研究的重要和有力工具，也是连结代数与几何的桥梁之一，通过向量，可以将几何问题和代数问题有机地结合，既可以通过代数运算得到几何不变量和几何量之间的关系，也可以给代数赋予几何直观．
考查的内容源于教材．考生可以利用向量的几何意义和代数运算求解，也可以建立直角坐标系通过坐标法来求解，解法灵活多样．试题面向全体考生，不同思维能力层次的考生都可以通过自己熟悉的方法来解决问题．试题能让考生增强自信心，有利于考生正常发挥．
【答案】B
【目标】试题考查了向量的概念、向量的位置关系及长度、向量的运算和向量运算的几何意义等知识点，也考查运算求解能力和逻辑推理能力．
【分析】解题思路 思路1 坐标法．
如图，建立以A为原点，为x轴，为y轴的平面直角坐标系．
由题设可知，，，故，，
则．
思路2 几何法．
设向量与的夹角为，故．
由题设和勾股定理可知，．
由余弦定理可知，．
所以，．
【典例2】（2023年高考数学（新课标Ⅰ卷）第3题）已知向量，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】向量是数学研究的重要对象和工具，在其他学科中也有重要应用．向量是连接代数与几何的桥梁之一，通过向量可以将几何问题和代数问题有机结合起来，既可以通过代数运算得到几何不变量和几何量之间的关系，也可以利用代数关系赋予几何直观严格的论证．试题考查向量的概念、向量的位置关系及长度、向量的运算和向量运算的几何意义等知识．考查的内容源于教材，面向全体考生．试题立足基本概念和方法，属于简单题目．试题设置能让考生增强自信心，有利于考生正常发挥．
【答案】D
【目标】试题考查平面向量概念、向量的线性运算及其几何意义、向量垂直及平面向量数量积等基本知识；考查运算求解能力和化归与转化的思想．
【分析】解题思路 利用向量数量积的几何意义计算．
首先，等价于数量积．其次，由题设可知，，，故，
所以正确选项是D．
【典例3】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第4题）已知向量，，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题给出模为定值的三个向量，以及这三个向量之间的关系，要求求出向量，夹角的余弦值．根据向量加法运算的平行四边形法则，可以列举出满足关系的三个向量的坐标，通过向量坐标的运算，求出向量夹角的余弦值，也可以直接进行向量的数量积的计算求解．不同思维能力层次的考生都可以通过自己熟悉的方法来解决问题．
向量是代数与几何的桥梁之一，也是数学和其他一些学科研究的重要和有力工具，通过向量可以将几何问题和代数问题有机结合，既可以通过代数运算得到几何不变量和几何量之间的关系，也可以给代数内容赋予几何直观．
【答案】D
【目标】试题考查向量概念、向量的线性运算及其几何意义、向量的数量积以及向量夹角等相关知识；考查考生的平面向量的运算能力，数形结合的能力等．
【分析】解题思路 思路1 利用题目的条件，直接进行向量的数量积运算．由题设得
，①
，②
．③
①+②③得，即．所以，．
．
思路2 利用向量之间的关系、向量的几何意义和向量夹角的定义进行计算．根据条件，，可以想象，，满足等腰直角三角形三边之间的关系．根据，可知向量与的模长相等，方向相反．综合这些条件，根据平行四边形法则，可以设，，．所以，．
．
【典例4】（2023年高考文科数学（全国甲卷）第3题）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题考查了向量的概念、向量的长度、向量的夹角等，同时考查了向量的运算．考查的内容源于教材，面向全体考生．考生可以直接利用向量的代数运算求解．试题能让考生增强自信心，有利于考生正常发挥．向量是数学和其他一些学科研究的重要和有力工具，也是连结代数与几何的桥梁之一，通过向量可以将几何问题和代数问题有机地结合，既可以通过代数运算得到几何不变量和几何量之间的关系．也可以给代数内容赋予几何直观．
【答案】B
【目标】试题考查向量的概念、向量的线性运算及其几何意义，向量的数量积以及向量夹角等相关知识．
【分析】解题思路 首先根据条件计算，，再根据向量夹角的余弦运算公式求解．
，，
则．
应用一 解决与解析几何综合应用有关问题
【例1】（2024·海南海口·统考模拟预测）已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（ ）
A．
B．点的轨迹方程为
C．的最小值为6
D．的最大值为
【引导与详解】
第一步：垂径定理得到，从而得到，进而求出角度∠ACB：
A选项，由题意得，半径为，
由垂径定理得⊥，则，解得，
由于，则，故，A错误；
第二步：由得到点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，得到轨迹方程：
B选项，由A选项可得，，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，
故点的轨迹方程为，B正确；
第三步：由极化恒等式得到，结合点的轨迹方程，得到的最小值：
C选项，由题意得，，
两式分别平方后相减得，，
其中，又点的轨迹方程为，
所以的最小值为，故的最小值为，C正确；
第四步：转化为点到直线的距离问题，可看作点到直线的距离，结合点的轨迹方程，求出最大值，得到答案：
D选项，可看作点到直线的距离，
同理，可看作点到直线的距离，
故可看作点到直线的距离，
点的轨迹方程为，
故点到直线的距离最大值为圆心到的距离加上半径，
即，故，
所以，故最大值为，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：向量恒等式，及是常用等式，要学会合理利用这两个式子解题．
应用二 利用数量积求模
【例2】（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）已知向量，线段的中点为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：用平面向量基底表示：
设，
则，
第二步：找到的关系求解即可得出模长：
由，
得，又已知，且，
则有，
故.
故选：A.
应用三 向量夹角的计算
【例3】（2023·天津河西·统考一模）在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，，用，表示 ．若，则余弦值的最小值为 ．
【引导与详解】
第一步：使用向量线性运算即可求解：
如图，由已知，
.
∴.
第二步：以与为基底，用数量积的形式表示出：
设，即与的夹角为，
，
若，则，
∴，即，
第三步：由基本不等式求解即可得出余弦值的最小值：
∴，
又∵，，∴由基本不等式，
∴.
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：，.
【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.
应用四 垂直关系的向量表示
【例4】（2023·湖北·校联考模拟预测）下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．已知，点在直线上，且，则的坐标为；
B．若是的外接圆圆心，则
C．若，且，则
D．若点是所在平面内一点，且，则是的垂心.
【引导与详解】
第一步：对于A，设，由题意可得或，再根据平面向量的坐标表示计算即可：
对于A，设，则，
因为点在直线上，且，
所以或，
则或，
所以或，解得或，
所以或，故A错误；
第二步：设为的中点，根据数量积的定义即可得解：
对于B，如图，设为的中点，则，
则，故B正确；
第三步：当时，再根据数量积的运算律即可判断：
对于C，当时，，
满足，则与不一定相等，故C错误；
第四步：根据数量积的运算律即可判断D：
对于D，因为，
所以，所以，
同理可得，
所以是的垂心，故D正确.
故选：BD.
应用五 判断三角形形状
【例5】（2024·贵州·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为钝角三角形
【引导与详解】
第一步：由已知确定的角平分线与BC垂直，进而求出，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A：
对于选项A，因为，，分别为单位向量，所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为，
即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A错误；
第二步：由正弦函数值确定角的范围：
对于选项B，要使满足条件的三角形有且只有两个，则，因为，，所以，即，所以，故选项B正确；
第三步：由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C：
对于C，因为，故，即，又，所以，故，由于，故，同理可得，结合，故，可得，故为等边三角形，C正确；
第四步：利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D：
对于D.，
而，所以A，B，C都为锐角，D错误；
故选：BC.
应用六 投影向量
【例6】（2023·福建莆田·莆田一中校考一模）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：根据给定条件，确定的形状：
因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
由，可得的角平分线与垂直，
所以为等腰三角形，且，
第二步：利用投影向量的意义求解作答：
又，得，所以，
又，所以,
所以为等边三角形，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：B.
方法一： 代数法
第一步：理解问题：首先，你需要理解问题的具体要求，分析题目所给的条件。向量问题可能涉及到向量的加法、减法、数乘、向量的模、向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积等.
第二步：建立向量表达式：利用向量工具对未知量进行表达，并化简向量表达式.
第三步：求解数量积：利用向量表达式求解数量积.
方法二： 几何法
第一步：利用题目条件，得出几何关系.根据题目给出的条件，将向量的数量积问题转化为几何问题.
第二步：观察图形，表达向量：通过观察几何图形，利用向量的表示方法，将向量的数量积表示为几何量（如长度、角度等）的函数.最后，利用三角函数的有界性，求出向量的数量积的取值范围，从而得出答案.
总之，解决向量数量积问题需要运用向量的基本知识和几何法，通过观察几何图形和利用三角函数的有界性，求出向量的数量积的取值范围，从而得出答案.
方法三： 坐标公式法
第一步：确定每个向量的坐标.建立平面直角坐标系，得出各点坐标，进而表达出各点的坐标.
第二步：应用坐标公式法进行计算：具体来说，如果向量的坐标是，向量的坐标是，那么它们的数量积可以通过以下公式得出：.
第三步：按照上述步骤，我们可以得到所需求的量.
微点：数量积&极化恒等式
【表现形式】
一、数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量，叫做与的数量积，记作，即，其中为两个向量的夹角．
为锐角时，为在方向上的投影数量为正数；
为直角时，为在方向上的投影数量为0；
为钝角时，为在方向上的投影数量为负数．
特别注意：①向量与夹角的范围为，同向时；反向时；
②是向量与夹角为锐角的必要不充分条件；
③是向量与夹角为钝角的必要不充分条件；
④两个非零向量与，是向量与夹角为直角的充要条件．
二、关于数量积的解读
向量夹角的判定
同起点原则判定夹角：如图等边三角形ABC中，与为同起点向量，故夹角为；但是与的夹角并不为，需把平移到，故与的夹角为；
的几何意义
①数量积等于的长度与在方向上的投影数量的乘积；
②数量积等于的长度与在方向上的投影数量的乘积；
投影向量
在方向上的投影向量（注意不是投影数量）与共线，即投影向量为的表示，其中，因为，所以；在方向上的投影向量为．
三、平面向量数量积的运算律
已知向量、、和实数，则：
①；
②；
③；
④，即向量的平方等于模的平方；
⑤注意：向量运算没有结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等；
⑥若a、b、c是实数，则；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足，则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
四、数量积的基本量的计算
已知非零向量，，为向量与的夹角．
基本量 几何表示 坐标表示
模
夹角
在方向上的投影数量
的充要条件
的充要条件
投影向量
五、关于数量积的其他应用
①关于柯西不等式的证明：新教材课后练习证明题
求证：
证明：构造两个向量，，故，易知当时取等号，即与共线，所以当且仅当时取等；
②极化恒等式：新教材课后练习证明题
求证：
证明：，
两式相加即得．
③求解的最值
构造两个向量，在单位圆上；当与同向共线时，；当与反向共线时，；综上当时，取最值．
【步骤】①根据题目条件建立图象并写出所求量的向量表达式；②化简所求量的向量表达式并求解.
【例1】（2023·重庆沙坪坝·重庆市第七中学校校考阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（ ）
A．32 B．-32 C．16 D．-16
【答案】D
【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可.
【详解】由题设，，，
.
故选：D
【例2】（2023下·贵州·高三校联考阶段练习）阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点.
（1）若，求的面积；
（2）若，求的值.
【答案】(1)10
(2)240
【分析】（1）利用数量积的定义求出，根据同角关系求出，代入三角形面积公式即可求解；
（2）先利用极化恒等式得，由得，代入极化恒等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
即，所以，
又，所以，
所以；
（2）因为，，
由极化恒等式得，
所以，
又，所以，
由极化恒等式得.
【跟踪练习】
（2023·江苏苏州·高三统考）
1．阅读一下一段文字：，，两式相减得 我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD＝6，BC＝4，求的值；
(2)若，，求的值．
（2023·福建龙岩·高三校联考）
2．阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
(1)若AD=BC=3，求的值；
(2)若，，求的值．
（2023·江苏常州·高三校考）
3．阅读一下一段文字：，两式相减得：，我们把这个等式称作“极化恒等式”．它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试解决以下问题：如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点．
（1）若，求的值；
（2）若， ，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据“极化恒等式”列出式子计算即可
（2）设，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于 的方程组，解出 ，再根据“极化恒等式”计算出的值
【详解】（1）
（2）设
，由（1）知 ，即 ①
,同理可得 ，即 ②
由①②解得
2．(1)
(2)7
【分析】（1）由极化恒等式知，代入即可得出答案.
（2）因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，解两个方程求出，再因为，代入即可得出答案.
【详解】（1）由极化恒等式知．
（2）设，，
因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，所以
解得m=2，n=3，
所以．
3．（1）21；（2）.
【分析】（1）利用极化恒等式，即可求解.
(2)根据条件解出m、n即可求解.
【详解】解：（1）由“极化恒等式”知：
；
（2）设，
因为由（1）知， ①
因为同理可得， ②
由①②解得，
于是有.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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