资源简介

第1讲 内切与外接问题（讲）
【典例1】（2023年高考文科数学（全国乙卷）第16题）已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面ABC，则______．
【解读】棱锥和球是中学课程的必修内容．试题的正确运算必须基于空间想象，同时还必须依靠严密的逻辑推理，才能发现空间几何体中相关量之间的关系，进而完成对问题的求解．试题在考查立体几何基础知识、基本方法的同时，侧重考查考生的构图能力、空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．考生必须通过观察、分析、想象、判断、计算等思维过程才能解决问题，可以充分体现考生的数学学科素养．
【答案】2
【目标】试题以考生熟悉的三棱锥和球为背景，给定球的半径和的形状，进而确定球心的位置，最后化归为研究平面OSA中等腰三角形高的问题．试题考查三棱锥、球的基础知识，考查考生的空间想象、逻辑推理、运算求解等关键能力，考查考生理性思维、数学探索等学科素养，符合基础性、综合性、创新性的考查要求．
【分析】解题思路 如图，取BC中点E，连接AE．取点，使，连接．
取SA中点D，连接OS，OD，OA．由题可知平面ABC．
因为平面ABC，所以，．
因为，所以，故四边形是矩形，所以．
因为，所以，．
【典例2】（2023年高考文科数学（全国甲卷）第16题）在正方体中，，O为的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，则球O的半径的取值范围是______．
【解读】球与正方体是考生熟悉的基本图形，试题将球的对称性与正方体的对称性结合起来设置问题情境，对考生的空间想象能力有一定的要求．试题要求考生在变化的过程中能抓住问题的本质，将问题转化为棱上的点与球心O的距离的范围问题，考查了考生数形结合、化归与转化等数学思想的运用能力．试题很好地体现了多想少算的命题设计的特点，体现了用数学的眼光分析问题的重要性，引导教学改革，重视培养学生的数学核心素养有积极的导向作用．
【答案】
【目标】试题考查球与正方体的有关概念和性质，同时考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算求解能力以及分析问题和解决问题的能力．
【分析】解题思路 如图，，设球的半径为x，研究球O的表面与正方体的棱有公共点的问题，必须研究球心O与正方体棱上的点的距离的变化情况．可以得到，对称点O到棱上动点P的最小距离与最大距离分别为和．
因此时，该正方体的棱与球O的球面有公共点，即球O半径的取值范围为．
【典例3】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第15题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有______个公共点．
【解读】球和正方体是中学数学的必修内容，试题要求考生综合考察球与正方体的位置关系，正确认识图形中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，将问题转化为点到直线的距离的判断与计算问题．试题引导数学教学要重视数学抽象、直观想象等核心素养的培养，在教学中重视培养学生的想象力．试题面向广大考生，重视基础知识、基本能力，考生通过直观想象、判断推理，可以发现解决问题的思路．以图形的对称性的特点去思考问题，可以较快地得到问题的答案．体现思维的灵活性．
【答案】12
【目标】试题以正方体、球为载体，考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力．试题面向全体考生，体现了少算多想，突出了理性思维的考查理念．
【分析】解题思路 设EF的中点为O，则球O的直径为EF，由于O点也是正方体的中心，所以O点到各棱的距离均等于OE，故以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点．
【典例4】（2022年高考数学全国Ⅱ卷第7题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解读】试题的解答不要求考生把可能的情况都逐一算出，或者说这样做的考生就忽略了“直观想象”．考生要做的就是把想象到的图画出来，由此直观判断球心的大致位置．
“直观想象”是课程标准提出的数学学科素养之一．高考数学的命题就是要紧扣课程标准提出的发展学生核心素养的要求，通过设计高质量的试题，加强教考衔接，实现“服务选才、引导教学”这一高考的核心功能和根本任务，推动中学教学回归课堂，落实核心素养，助力提升学生综合素质．
【答案】A
【目标】高考命题是以高中课程标准为依据，考查的范围和比例与课程标准的内容设置保持一致，其首要作用就是要引导中学教学一直走在课程标准指引的正确道路上．中学教学有自己习惯性深挖的知识点，对个别知识点甚至过度追求技巧，但也有因各种现实原因被忽略或弱化的知识点（比如关于棱台的相关问题）．试题在命制过程中，不是迁就教学实际，而是严格按照课程标准要求，让那些违规深挖的知识无用武之地，注重考查内容的全面性，引导中学教学依标施教．
【分析】解题思路 正三棱台上、下底面所在圆的半径分别为3和4，两个圆心的距离为，如图所示，容易判断球心只能在线段AB的延长线上，所以球的半径R满足：，解得，则该球的表面积为．
应用一 求外接球表面积
【例1】（2023·陕西西安·统考一模）将平面内等边与等腰直角（其中为斜边），沿公共边折叠成直二面角，若，且点在同一球的球面上，则球的表面积为 ．
【引导与详解】
第一步：求出EA，EB，ED和CE的长：
如图所示取中点，连接，
根据题意易知，
又为等腰直角三角形，为等边三角形，
所以可知，
第二步：求出球的半径，即可得出表面积：
易知点在直线上，设，球半径为R，
所以，
故外接球的表面积为．
故答案为：
应用二 求外接球体积
【例2】（2023·全国·统考模拟预测）已知四面体，其中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为 ；四面体外接球的体积为 ．
【引导与详解】
第一步：将四面体补成长方体，根据勾股定理求出、、的长：
在四面体中，，，，
将四面体补成长方体，
则，解得，
第二步：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出直线与所成角的余弦值：
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
所以，，，
则，
所以，直线与所成角的余弦值为，
第三步：求出四面体外接球的半径，结合球体表面积公式可求得结果：
长方体的体对角线长为，
所以，四面体外接球半径为，故四面体外接球的体积为．
故答案为：；．
应用三 求内切球表面积
【例3】（2024·陕西西安·统考一模）一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 ．
【引导与详解】
第一步：求出四棱柱的几何性质：
由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点，
连接，是球与侧面的切点，可知在上，，
第二步：求出内切球半径，即可得出表面积：
设内切球半径为，则，，，，由，
，即，解得，
所以内切球表面积为．
故答案为：．
应用四 求内切球体积
【例4】（2023·全国·高三专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为 ．
【引导与详解】
第一步：根据三角形相似得出圆锥的底面半径和高的关系：
设圆锥的高为，底面半径为，
则当圆锥体积最小时，如图，
由可得：，即，进而，
第二步：根据体积公式和基本不等式即可求解出体积比：
圆锥的体积．
当且仅当，即时取等号．
该圆锥体积的最小值为．
内切球体积为．
该圆锥体积与其内切球体积比．
故答案为：2：1
应用五 与几何体有关的计算
【例5】（2024·浙江嘉兴·嘉兴一中校考一模）半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为 ．
【引导与详解】
第一步：画出图象，设出底面边长和高，求得底面正三角形的外接圆半径：
如图所示，
设正三棱柱上下底面的中心分别为．
底面边长与高分别为，则，
第二步：利用球的半径列方程，求得底面边长和高的关系式：
在中，，化为，
第三步：求得正三棱柱的侧面积的表达式，利用基本不等式求得其最大值：
因为，，
当且仅当时取等号，此时正三棱柱的侧面积的最大值为．
故答案为：．
应用六 与实际问题有关的计算
【例6】（2024·全国·模拟预测）阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示的阿基米德多面体有四个全等的正三角形面和四个全等的正六边形面，该多面体是由过正四面体各棱的三等分点的平面截去四个小正四面体得到．若该多面体的所有顶点都在球的表面上，且点到正六边形面的距离为，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：求正四面体的表面积和体积：
将题图中的阿基米德多面体补全，得对应的正四面体，如图所示，
设正四面体的棱长为，易知点为正四面体的中心，
且点到正六边形面的距离是正四面体的内切球的半径，
易知正四面体的体积，
正四面体的表面积，
第二步：求出内切球半径表达式，得出正六边形外接圆半径，进而求出球的半径及体积
所以正四面体的内切球半径为，
所以，解得，则正六边形的边长为，
则该正六边形的外接圆半径为2，所以球的半径，
故球的体积为，
故选：D．
方法一： 补形法处理外接球问题
第一步：观察几何图形：首先观察给定的几何图形，判断是否可以通过补形法将其转化为更易于处理的问题．
第二步：选择合适的补形：根据图形的特点，选择一个合适的几何体作为补形，使得原图形与其补形组合成一个完整的、易于处理的几何体．
第三步：计算补形的大小：计算出选择的补形的大小，包括其长、宽、高等尺寸．
第四步：计算外接球半径：利用补形的大小和原图形在补形中的位置，计算出外接球的半径．
第五步：得出结论：根据计算出的外接球半径，得出原图形的外接球半径或相关结论．
方法二： 补形法处理内切球问题
第一步：确定多面体的体积：首先需要确定给定多面体的体积．对于任意多面体，其体积可以通过其底面积和对应的高来计算．
第二步：寻找内切球心：内切球的球心是到多面体所有顶点距离相等的点．为了找到这个点，我们可以使用多面体的对称性．对于正多面体，其内切球的球心位于其中心；对于其他多面体，可以通过其对称性找到内切球的球心．
第三步：计算内切球半径：一旦找到内切球的球心，就可以计算内切球的半径．内切球的半径等于球心到多面体任意一个顶点的距离．
第四步：计算内切球体积：最后，使用球体积的公式来计算内切球的体积，其中r是内切球的半径．
微点：补形法
【表现形式】如果一个三棱锥的各个顶点都是直棱柱的一些顶点，那么就可以将这个三棱锥补形成直棱柱，并且直棱柱的外接球就是原三棱锥的外接球（空间中不共面的四个点确定一个球）．
四种常见的可以补形成长方体的三棱锥：
①一顶点引出的三条棱两两垂直的三棱锥（因为形状像墙角，又称墙角模型）：如下图所示，可以补形成长方体．若，，，则外接球半径．
②底面为直角三角形，侧棱垂直于底面，垂足为三角形的非直角顶点的三棱锥（②实际上就是①的变式，区别在于垂足是直角顶点还是非直角顶点）：如下图所示，可以补形成长方体．若，，，则外接球半径．
③对棱相等的三棱锥：如下图所示，可以把对棱作为长方体相对的两个面的面对角线，进而补形成长方体．若，，，则外接球半径．
④顶点在底面的投影恰与底面三个顶点构成长方形的三棱锥：如下图所示，也可以补形成长方体，求出长方体的外接球半径即可得三棱锥A-BCD的外接球半径．
坑神有话说
补形法使用起来非常灵活，通过尝试只要能将棱锥补形成特殊的直棱柱就都可以考虑使用．例如处理一些四棱锥外接球相关问题时，就可以往补形法上考虑．
【步骤】①补全图形，并求出几何体的各边长；②求出圆心和半径；③求体积或表面积
【例1】（2024·陕西铜川·统考一模）A，B，C，D是球的球面上四点，，球心是的中点，四面体的体积为，则球的表面积为 ．
答案
解析 由题意可知为球的直径，设到面的距离为，
易知等边的面积为，
所以，则球心到面的距离为1，
设面，易知为等边的外心，
所以，
故．
故答案为：
【例2】（2024·全国·模拟预测）在正三棱台中，，，侧棱与底面ABC所成角的正切值为．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为 ．
答案
解析 如图，取BC和的中点分别为P，Q，
上、下底面的中心分别为，，
设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，
所以，
，同理．
因为内切球与平面相切，切点在上，
所以①，
在等腰梯形中，②，
由①②得．
在梯形中，③，
由②③得，代入得，则棱台的高，
所以棱台的体积为．
故答案为：．
【跟踪练习】
（2024·全国·模拟预测）
1．在三棱锥中，侧面底面是等腰直角三角形，且斜边，，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
（2024·全国·模拟预测）
2．直三棱柱的底面是直角三角形，，，，．若平面将该直三棱柱截成两部分，将两部分几何体组成一个平行六面体，且该平行六面体内接于球，则此外接球表面积的最大值为 ．
（2024·全国·校联考模拟预测）
3．已知正四棱台的上、下底面边长分别为4、6，高为，则正四棱台的体积为 ，外接球的半径为 .
（2024·吉林白山·统考一模）
4．在四面体中，，，且满足，，．若该三棱锥的体积为，则该锥体的外接球的体积为 ．
（2024·陕西安康·校联考模拟预测）
5．在正四棱柱中，，平面与棱分别交于点，其中分别是的中点，且，则 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．
【分析】方法一：设球心为，如图①，取线段的中点，过点作直线平面，则易知球心在直线上，连接，设外接球的半径是，则，再根据侧面底面，过点作于，连接，易得，过点作（或的延长线）于，得到四边形是矩形求解；方法二：将平面作为底面，设的外心为点，过点作直线平面，取的中点，在平面内过点作的垂直平分线，交直线于点，得到点为所求外接球的球心求解.
【详解】解：方法一：设球心为，如图①，取线段的中点，
过点作直线平面，则易知球心在直线上．
连接，设外接球的半径是，则．
因为侧面底面，过点作于，
连接，则由面面垂直的性质定理知，平面，所以．
过点作（或的延长线）于，则四边形是矩形．
又由题意易知，是的中点，，而，
则，所以，
在Rt中，由，所以，
化简得，解得，所以．
方法二：如图②，调换视图角度，将平面作为底面，由题意知，平面．
设的外心为点，过点作直线平面，则．
取的中点，在平面内过点作的垂直平分线，交直线于点，
则点为所求外接球的球心，在中，利用正弦定理，得．
在等腰三角形中，，得，
所以，所以，
所以所求外接球的半径，所以．
故答案为：
2．
【分析】可能是的中垂面，的中垂面，的中垂面.截下的部分与剩余的部分组合成为长方体,用公式求出外接球直径进而求解.
【详解】平行六面体内接于球，则平行六面体为直四棱柱，如图有如下三种可能.
截下的部分与剩余的部分组合成为长方体，则
或
或，
所以．
故答案为：
3．
【分析】利用棱台的体积公式计算即可得第一空，根据棱台与球的特征结合勾股定理计算即可得第二空.
【详解】根据题意易知该棱台的上、下底面积分别为：，
所以正四棱台的体积为；
连接，交于点，连接，交于点，如图所示：
当外接球的球心在线段延长线上，
设，外接球半径为R，则，
因为，上、下底面边长分别为4、6，
则，，
所以
当外接球的球心在线段延长线上，显然不合题意；
当球心在线段之间时，则，同上可得，，不符舍去．
故答案为：；.
4．
【分析】将四面体放在长方体中，通过求长方体的外接球半径得出结果.
【详解】如图，依题意将四面体放在长方体中，设长方体的高为.
根据锥体的体积，解得，
所以长方体的长宽高分别为，和4，
所以长方体的外接球直径即为对角线，解得.
所以四面体外接球的体积为．
故答案为：.
5．3
【分析】结合空间位置关系的判断以及相关计算计算即可得.
【详解】因为平面经过棱的中点，所以四边形为菱形，
连接、，、，令，
则，又底面，平面，
故，又、平面，且，
故平面，又分别是的中点，故，
故平面，由平面，故，
又因为，、平面，，
故平面，又平面，
故，则与相似，
，，
故有，即，即.
故答案为：3.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

展开更多......

收起↑