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第1讲 数列的函数性质应用（讲）
【典例1】（2023年高考文科数学（全国甲卷）第5题）记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）
A.25 B.22 C.20 D.15
【解读】等差数列完全由其首项与公差决定．先设出首项，公差d，根据通项公式可将题设条件转换为与d的两个方程，解方程组可得，；再由前n项和公式，可得．考生也可利用等差数列性质，快速得到正确答案．
【答案】C
【目标】本题考查等差数列的概念、通项公式、前n项和公式等内容，考查考生基本的逻辑思维与推理能力，以及运算求解能力．
【分析】解题思路 思路1 设等差数列的首项为，公差为d，则通项．由题设知，即……①；由知……②．将①中的代入②，解得，从而，所以，正确选项为C．
思路2 设等差数列的首项为，公差为d，由等差数列数列的性质及题设知；再由题设得，又由知，从而，所以，正确选项为C．
【典例2】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第5题）设等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，，则（ ）
A． B． C.15 D.40
【解读】等比数列完全由其首项与公比确定．已知首项，只需根据条件求出公比q，问题即告解决．本题属于基本题，考查等比数列及其前n项和等基本概念，在讨论过程中注意是得到正确答案的关键．
【答案】C
【目标】本题考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等内容，考查考生基本的逻辑思维与推理能力，以及简单运算求解能力．
【分析】解题思路 由题设，等比数列的各项均为正数且，若设公比为q，则通项．将，代入条件：，整理得：由；由“的各项均为正数”知：，从而，故，进而．所以，正确选项为C．
【典例3】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第10题）已知等差数列的公差为，集合．若，则（ ）
A．－1 B． C.0 D．
【解读】本题是集合、数列、三角函数的综合题，对集合的概念、三角函数的周期性进行了深入的考查．本题可以通过三角函数的周期性求解，也可以用数形结合的方法求解．等差数列的项对应单位圆周上的点，由于的公差是，即与对应同一个点，这样圆周上最终有三个点，这三个点构成等边三角形，该三角形的外接圆半径为1，因此三角形中心到三边的距离都是．由题意知三角形有两个顶点的横坐标相同，即有一条边平行于y轴，这样三角形的三个顶点为，，或者，，，均有．考生也可利用特例的思想，令，，，从而发现，快速得到答案．试题重思维，轻计算，考查考生的数学素养，有利于选拔创新性人才．
【答案】B
【目标】试题考查了等差数列与三角函数的性质，侧重考查对周期性的认识与理解．同时也考查了考生的分析问题能力与推理能力．
【分析】解题思路 思路1 设等差数列的公差为，即，，
这样集合，因此，，中有两个数的余弦值相等．
满足的y只有或，两种情况对应第三个数的余弦值分别为或，因此乘积或，均有．故正确选项为B．
思路2 将等差数列的项对应为单位圆周上的点，由于公差是，即与对应同一个点，这样圆周上最终有三个点，这三个点构成等边三角形，该三角形的外接圆半径为1，因此三角形中心（即原点）到三边的距离都是．由题意知三角形有两个顶点的横坐标相同，即有一条边平行于y轴，这样三角形的三个顶点为或者，均有．
【典例4】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第8题）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A.120 B.85 C． D．
【解读】等比数列完全由其首项与公比决定．设出首项，公比q后，根据前n项和公式及题设条件，在处理问题时将视为整体，则，，，是首项为，公比为的等比数列．厘清题设条件，及与等差数列，，，中项的关系，是解决问题的关键．
【答案】C
【目标】本题考查等比数列的概念、前n项和公式等内容，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．
【分析】解题思路 设等比数列的首项为，公比为q，则．．由题设得．易见
由题设得；由知，所以，解得（舍去），．把代入得．所以，
，
故正确选项为C．
【典例5】（2023年高考文科数学（全国甲卷）第13题）记为等比数列的前n项和．若，则的公比为______
【解读】试题的主干部分是考生熟悉的等比数列，要解决的是关于数列公比的问题，已知的信息则由前n项和给出．解题思路是自然的，考生只要掌握等比数列前n项和公式，就能将转化为关于公比q的一元六次方程，后者又可看作关于的一元二次方程，从而得到解答；从另一个角度来看，考生也可以避免代入公式，而是通过观察，由得到相同的结论．不同思路的选择使得考生个体理性思维的广度和深度得到了展示，试题较好地考查了考生进一步学习的潜能．
试题注重考查基础知识，贴近教材，没有烦琐的计算，能科学引导学生提高在校学习效率，避免机械刷题，助力“双减”政策落地．注意题目所给条件只能确定等比数列的公比，但不足以确定其首项．因此，本题体现了一定程度的开放性，也对考生思维灵活性与逻辑严密性提出了一定程度的要求．试题的解答过程突出素养和能力的考查，很好地考查了考生的理性思维素养以及逻辑推理、运算求解等关键能力．
【答案】
【目标】试题考查等比数列的概念及其前n项和公式，作为基本的数列类型，等比数列的两个基本量是首项与公比，如何对其进行求解，需要考生将题设所给条件正确转化为关于它们的方程．试题考查考生的理性思维素养以及逻辑推理、运算求解等能力．
【分析】记等比数列的公比为q．
解题思路 思路1 若，则为常值数列，，此时，，由题设，有，故，与为等比数列矛盾，因此．
由等比数列的前n项和公式及题设，可得，因为，所以，整理得．分解因式得，再由知，所以．
思路2 首先注意到，等比数列的前3项和不为0．事实上，，因为，且方程无实数根，所以．
．
由此可得，因为，得到，所以．
【典例6】（2023年高考理科数学（全国乙卷）第15题）已知为等比数列，，，则______．
【解读】试题从考生熟悉的等比数列入手，通过给定等比数列的某些项满足的关系式，可以得到首项与公比q的两个方程，确定所求等比数列，从而得到所求结论．
试题考查考生对等比数列的概念和性质等基础知识的掌握程度，也考查了考生分析问题、归纳问题以及递推运算等基本能力．在试题求解结论的过程中，并不需要求得和q的具体取值，能够考查考生的灵活性．试题难度适中，面向全体考生，有利于考生正常发挥．
【答案】-2
【目标】试题考查等比数列的概念与性质，考查考生分析递推、归纳求解的能力．
【分析】解题思路 由题设条件建立关于等比数列首项与公比q的两个方程，利用求解结果表示，得到所求结论．
设等比数列的公比为q．由等比数列性质和题设可知，故，即．从而．因此．
还可以利用等比数列的性质直接求解．
应用一 求已知函数的极值点
【例1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列中的，是函数的极值点，则（ ）
A． B． C.3 D．
【引导与详解】第一步：利用导数求出函数的两个极值点：
由求导得：，
有，即有两个不等实根，
显然是的变号零点，即函数的两个极值点，
第二步：利用等差数列性质求出即可计算得解：
依题意，，在等差数列中，，
所以．
故选：A
应用二 判断数列的增减性
【例2】
【引导与详解】
应用三 与圆锥曲线有关问题
【例3】（2024·全国·校联考模拟预测）已知，函数．若依次成等比数列，则平面上的点的轨迹是（ ）
A．直线和焦点在轴的椭圆 B．直线和焦点在轴的椭圆
C．直线和焦点在轴的双曲线 D．直线和焦点在轴的双曲线
【引导与详解】
第一步：根据等比数列列方程：
由题意可知，，
即，
第二步：化简方程：
对其整理变形：，
，
，
，
因为，所以或，
即或．
第三步：利用方程得出轨迹：
所以点的轨迹为直线和焦点在轴的双曲线．
故选：D
应用四 与三角函数有关问题
【例4】（2023·全国·统考模拟预测）已知为锐角，则下列说法错误的是（ ）
A．满足的值有且仅有一个
B．满足，，成等比数列的值有且仅有一个
C．，，三者可以以任意顺序构成等差数列
D．存在使得，，成等比数列
【引导与详解】
第一步：A项，化简，作出和的图象，即可得出结论：
A项，因为，在同一坐标系内作和的图象：
可知在上，方程只有一解，故A选项内容正确；
第二步：B项，利用等比数列求出，，的关系，作出和的图象，即可得出结论：
B项，由，，成等比数列，可得，，得，
在同一坐标系内作和的图象：
可知方程，有且只有一解，所以B选项内容正确；
第三步：C项，利用，，三者的关系，求出三者的值，即可得出结论：
C项，若，，三者可以以任意顺序构成等差数列，则必有：，且为锐角，
所以，而，
所以，，三者不可能以任意顺序构成等差数列，，
所以C选项内容错误，
第四步：D项，假设，，是等比数列，而利用，，三者关系得出，即可得出结论：
对于D，若存在，使得，，成等比数列，
则，
而 ，故即，
故即，所以且，
由可得，
而，故，
故，
所以不存在使得，，成等比数列
故选：CD．
应用五 与概率有关问题
【例5】
【引导与详解】
应用六 与零点有关问题
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数是定义在上的偶函数
B．函数的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．若函数在区间上有4个零点，且成等差数列，则实数
【引导与详解】
第一步：A项，根据偶函数定义进行判断：
对于A：的定义域为且关于原点对称，
又，
所以，所以为偶函数，故A正确；
第二步：B项，化简函数得到，根据的最小正周期进行判断：
对于B：，的最小正周期，故B正确；
第三步：C项，根据的值直接判断：
对于C：因为，所以在区间上不单调，故C错误；
第四步：D项，根据条件将问题转化为“在上有个实根”，采用数形结合思想，可求解出公差和，则的值可求：
对于D：因为，且不同时为，
所以，则，
所以的零点为与的图象的交点的横坐标，如图，
设函数在区间上有个零点，分别为，
由成等差数列，且，
则公差，则，所以，故D正确；
故选：ABD．
应用七 数列片段有关问题
【例7】（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）下列命题正确的是（ ）
A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
C．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
D．若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
【引导与详解】
第一步A项，令即可判断：
A：若且、公比相等，则，显然不满足等比数列，错；
第二步：B、C项，由等比数列定义，结合特殊值为偶数，判断：
B：若的公比为，而，，，
所以，，是公比为的等比数列，对；
C：同B分析，，，，
若为偶数，时，显然各项均为0，不为等比数列，错；
第三步：D项，由充分、必要性定义，结合特殊数列判断：
D：当，则且，易知为递增数列，充分性成立；
当为递增数列，则且，显然为满足，但不恒成立，必要性不成立，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，对．
故选：BD
数列的函数性质应用
处理数列的函数性质问题，主要涉及数列的周期性、单调性、对称性等．解决这类问题的一般方法如下：
1． **观察法**：通过观察数列的项，尝试找出数列的规律．例如，如果一个数列呈现出一个明显的周期模式，那么可以通过观察来确定这个周期．
2． **数学归纳法**：对于一些具有递推关系的数列，可以使用数学归纳法来证明数列的性质．例如，证明数列是单调递增或单调递减的．
3． **作差法**：通过比较相邻两项的差值，判断数列的单调性．如果差值恒定，那么数列是等差数列；如果差值正负交替，那么数列是摆动数列．
4． **作商法**：对于一些特殊的数列，如等比数列，可以通过比较相邻两项的商来判断数列的性质．如果商恒定，那么数列是等比数列．
5． **周期性分析**：如果一个数列呈现周期性，可以通过分析周期来找出规律．例如，找出周期数列中的周期、对称轴等．
6． **代数运算**：对于一些涉及代数运算的数列问题，可以通过代数运算来找出数列的规律．例如，通过解方程来找出数列中的特定项．
7． **函数性质**：有时可以将数列视为函数，利用函数的性质来分析数列．例如，利用函数的单调性来判断数列的单调性．
8． **归纳总结**：对于一些复杂的数列问题，可能需要综合运用多种方法来解决．在处理问题时，要善于归纳总结，找出最适合的方法．
以上是处理数列的函数性质问题的一些常见方法．在具体解题时，要根据问题的具体情况选择合适的方法．
方法一： 数学归纳法
第一步，验证基础步骤．即当n=1时，需要验证题目所给的数列性质是否成立．这是数学归纳法的起点．
第二步，假设步骤．假设当n=k时，数列的性质成立，即需要假设题目所给的数列性质在n=k时成立．这是数学归纳法的关键步骤．
第三步，归纳步骤．基于第二步的假设，推导出当n=k+1时，数列的该性质也成立．这一步通常需要利用函数的性质、数列的定义和其他已知条件来进行推导．
第四步，结论步骤．根据数学归纳法，由于基础步骤和归纳步骤都成立，所以可以得出结论：题目所给的性质对所有的正整数n都成立．
通过以上四个步骤，我们可以使用数学归纳法来证明数列和函数的性质问题．需要注意的是，在使用数学归纳法时，必须确保每个步骤都正确，不能跳过任何一个步骤．同时，还需要根据具体的问题和已知条件来选择合适的方法和技巧进行证明．
方法二： 作差法
第一步，根据题目给出的两个数列，计算它们的差值．这一步需要我们根据数列的通项公式或者前n项和公式进行计算．
第二步，观察差值的符号变化．如果差值始终为正，说明第一个数列始终大于第二个数列，即第一个数列是递增的；如果差值始终为负，说明第一个数列始终小于第二个数列，即第一个数列是递减的；如果差值有正有负，说明第一个数列既有递增又有递减的趋势．
第三步，根据差值的符号变化，我们可以得出原数列的单调性、极值等性质．例如，如果原数列的差值在某一项之后开始小于0，说明原数列在这一项之后开始递减；如果原数列的差值在某一项之后开始大于0，说明原数列在这一项之后开始递增．
第四步，根据第三步得出的结论，我们可以进一步研究原数列的其他性质．例如，如果原数列是递增的，我们可以求出它的最小值；如果原数列是递减的，我们可以求出它的最大值．
方法三： 作商法
第一步：根据所给出的函数表达式确定数列的首项和公差．
第二步：计算数列中相邻两项的比值．这个比值能够反映出数列中项与项之间的关系．
第三步：观察比值的性质．如果比值是一个常数，那么数列可能是一个等比数列；如果比值是递增或递减的，那么数列可能是递增或递减的．
第四步：根据比值的性质，可以推导出数列的通项公式或前n项和的表达式，从而解决数列性质问题．
微点：数学归纳法
【表现形式】在证明一些数列相关问题时，如果直接证明不太好证明，可以考虑使用数学归纳法证明，这是证明数列相关问题的一种独特的方法，有以下注意事项：
1．在第二步证明当时命题也成立的过程中，需要用到假设当时命题成立得到的结论．
2．数学归纳法的本质就是通过第一步进行归纳奠基之后，再通过第二步进行归纳递推，进而证明命题．
【步骤】第一步：证明当（）时命题成立．
第二步：假设当（，）时命题成立，推出当时命题也成立．
第三步：综合前两步可得，命题对所有从开始的正整数n都成立．
【例1】（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）数列满足，则以下说法正确的个数（ ）
①
②；
③对任意正数，都存在正整数使得成立
④
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：D
解析：因为，若，则，又，
则，又，∴，①正确；
由已知，又，∴，②正确；
由及①得，则，，∴，
显然对任意的正数，在正整数，使得，此时成立，③正确；
(i)当时，显然成立，(ii)假设时，，则，又，
则，又，则，∴，
综上，可得时，，④正确．
故选：D．
【点睛】在解决不等式的证明问题中，本题用到了放缩法和数学归纳法，命题③通过放缩得到，进而得到即可判断；数学归纳法的应用主要是以下步骤，验证当时成立，假设时成立，推出时成立即可．
【例2】（2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测）已知数列满足．给出以下两个命题：命题对任意，都有；命题，使得对成立．（ ）
A．真 B．假 C．真 D．假
答案：AD
解析：对于命题，先利用数学归纳法证明，
当时，，不等式成立，
假设当时不等式成立，即，则
，
所以当时，不等式也成立，
综上，，
因为，所以，
因为，所以，所以命题为真命题，
对于命题，假设存在，使得对，
由已知可得，得，
所以，
所以，
所以，
所以，
由基本不等式推广可得，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，这与相矛盾，
所以命题为假命题，
故选：AD
【跟踪练习】
（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）
1．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．为等差数列 B．
C． D．
（2023·山东济南·统考三模）
2．若为函数的导函数，数列满足，则称为“牛顿数列”.已知函数，数列为“牛顿数列”，其中，则（ ）
A．
B．数列是单调递减数列
C．
D．关于的不等式的解有无限个
（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）
3．已知各项均为正数的数列满足为其前项和，则（ ）
A． B．
C． D．
（2023·山东日照·校联考模拟预测）
4．已知数列满足：，，且，，其中.则 ，若，则使得成立的最小正整数为 .
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．BCD
【分析】A：根据的值进行分析判断；B：先表示出，根据表示的结果用数学归纳法证明的范围，由此判断出的正负；C：分析数列的单调性然后判断即可；D：令根据BC选项可得，进而可得结果.
【详解】对于A：由，即解得，
所以，
此时，所以不是等差数列，故A错误；
对于B： ，
因为，且，所以，
下面用数学归纳法证明：，
当时，，
设当时，，
当时，，
因为在上单调递增，
所以，
所以，所以，所以时成立，
所以成立，
所以，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C：，
且，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，
因为是递增数列，所以是递增数列，所以是递增数列，
所以是递减数列，所以是递减数列，
所以，所以，故C正确；
对于D：令，
则，
且
，
因为，，则，，
且，可得，
即，可知为递减数列，
则，
即，
整理得，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题考查数列与不等式的综合运用，其中涉及到等差数列的判断、数列单调性的分析，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于BC选项的分析，先通过数学归纳法说明的范围，从而计算出的正负完成单调性证明，接着再通过分析的结果完成的单调性的说明，同时为分析D选项作铺垫.
2．BCD
【分析】对函数求导，得出数列递推关系，构造等比数列，求出通项，根据数列的函数性质及不等式证明逐一判断各选项.
【详解】对于A，由得，所以，故A错误；
对于B，由得，，所以，数列是单调递减数列，故B正确；
对于C，，，由，得，
所以，所以，
令，则，
所以数列是公比为2的等比数列，又，，
所以，即，
所以，，即.
对于C，，
下面用数学归纳法证明：.
当时，，命题成立；
假设当时，命题成立，即；
当时，即，
，命题成立；
所以命题成立；
综上成立.
对于D，，因为，
所以，即，，所以不等式的解有无限个,故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是由和，构造等比数列，考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于偏难题目.
3．ACD
【分析】A选项，先构造函数，并研究其单调性，利用进行放缩，利用数学归纳法可证明；
B选项，构造函数，判断其单调性即可；
C 选项，利用数学归纳法和假设法可证明；
D选项，结合C选项结论对进行放缩即可证明.
【详解】设函数，则，故在上单调递增.
用数学归纳法下证.
当时，有；
假设当时，有，
由于，
所以根据在上单调递增可知，
即当时，有.
综上可知，.
对于A，令，
因为，故在上单调递增，故，
即，即.
，故A正确.
对于B，令，，
令，
令，则>0，所以，即在上单调递增，
所以，所以即 在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，即.
故，故选项B错误；
对于C，可用数学归纳法证明：.
当时，有成立；
假设当时，有，
若，
则由可知，
与假设矛盾，故.
故，故C正确.
对于D，当时，，
故，故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】与数列相关的不等式问题证明方法点睛：
（1）可以利用数学归纳法来进行证明；
（2）可以构造函数，利用导数进行证明，通过求导得到函数的单调性并结合不等式进行放缩得到结果.
4．
【分析】求导后可得，依次代入和即可求得；猜想得，由数学归纳法可证明其成立，由此可得，裂项相消可得，解不等式可求得结果.
【详解】，，
，又，，
；
可猜想：；
当时，成立；
假设当时，成立，
那么当时，，，，
；
综上所述：当时，；，
，
解得：，使得成立的最小正整数为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列、函数和导数知识的综合应用问题，解题关键是能够根据函数关系式推导得到所满足的关系式，从而确定的通项，利用裂项相消法解得结果.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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