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第2讲 复杂数列通项和求和（讲）
【典例1】（2023年高考文科数学（全国甲卷）第5题）记为等差数列的前n项和．若，，则（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【解读】等差数列完全由其首项与公差决定．先设出首项，公差d，根据通项公式可将题设条件转换为与d的两个方程，解方程组可得，；再由前n项和公式，可得．考生也可利用等差数列性质，快速得到正确答案．
【答案】C
【目标】本题考查等差数列的概念、通项公式、前n项和公式等内容，考查考生基本的逻辑思维与推理能力，以及运算求解能力．
【分析】解题思路 思路1 设等差数列的首项为，公差为d，则通项．由题设知，即……①；由知……②．将①中的代入②，解得，从而，所以，正确选项为C．
思路2 设等差数列的首项为，公差为d，由等差数列数列的性质及题设知；再由题设得，又由知，从而，所以，正确选项为C．
【典例2】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第5题）设等比数列的各项均为正数，前n项和为，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
【解读】等比数列完全由其首项与公比确定．已知首项，只需根据条件求出公比q，问题即告解决．本题属于基本题，考查等比数列及其前n项和等基本概念，在讨论过程中注意是得到正确答案的关键．
【答案】C
【目标】本题考查等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等内容，考查考生基本的逻辑思维与推理能力，以及简单运算求解能力．
【分析】解题思路 由题设，等比数列的各项均为正数且，若设公比为q，则通项．将，代入条件：，整理得：由；由“的各项均为正数”知：，从而，故，进而．所以，正确选项为C．
【典例3】（2023年高考文科数学（全国乙卷）第18题）记为等差数列的前n项和．已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【解读】试题考查等差数列的基本内容，特别是前n项和公式计算与性质判定，这些知识点属于课程标准对数列学习的基本要求．
试题考查内容的形式是考生熟悉的，试题所求结论也是考生常见的．试题的解题思路多样，但不同的方法能很好区分各个水平层次考生的逻辑思维能力．试题出现在基本题部分，可以有效缓解考生刚开始考试时的紧张情绪，有利于增强考生的考试信心，有助于考生正常发挥．
【目标】试题考查等差数列的概念、通项公式、前n项和公式等内容，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力．
【分析】解题思路 （1）根据题设条件联立方程求解等差数列的首项与公差．
设的公差为d，由题设得，．
解得，．因此．
（2）思路1 根据已知通项公式，判定的正负，从而得到数列表达式，求出．
由（1）知，．从而，
思路2 由（1）知，根据一元二次函数性质，
当时，单调减少，故．
余下部分同思路1．
【典例4】（2023年高考理科数学（全国甲卷）第17题）记为数列的前n项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【解读】等比数列、等差数列的概念，通项公式及前n项和公式是课程标准中数列部分的重要内容．本题给出等差数列的第2项，前n项和与数列通项的关系，第（1）问要求数列的通项公式；第（2）问构造新数列，考查差比数列求和的一般方法，考查考生对数列的构成和前n项和公式的理解和掌握．试题情景为考生所熟悉，易于理解．试题考查主干知识，突出基础性，着重考查理性思维素养和运算求解能力．同时，本题作为解答题的起始题，注重基础知识、基本方法的考查，符合课程标准的要求，对考生来讲是一个较易解答的题目，为考生后继的作答营造良好的心态．
【目标】本题考查数列的概念、等差数列的通项公式，考查数列的前n项和公式等基础知识，考查考生的理性思维素养、逻辑推理能力和运算求解能力．
【分析】解题思路 首先根据求出数列的首项．因为，再根据关系式，列出关系式，，…，，依次相乘，求出数列的通项．第（2）问构造的数列是一个等差数列与一个等比数列的商，通常的解法是数列的各项都乘以公比，然后错位相减，构成一个等比数列．利用等比数列的求和公式，求出原数列的前n项和．
【典例5】（2023年高考数学（新课标Ⅰ卷）第20题）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．
（1）若，，求的通项公式；
（2）若为等差数列，且，求．
【解读】试题注重对基本概念、基本方法的考查，同时突出思维考查．试题第（1）问形式简单，采用考生熟悉的考查方式，通过给定条件即可得到所求等差数列的通项公式；同时能帮助考生理解题设条件，以顺利进人第（2）问情景．在试题第（2）问中，所给题设条件“为等差数列”要求考生能够灵活转化为求解数列中公差与首项的关系，能够有效区分考生分析问题和解决问题的能力水平．试题第（2）问，同样可以采用通性通法来解答，因此试题面向全体考生，为考生搭建展示数学能力的平台．
试题强调“多思考，少运算”的理念，体现了对数学基础知识与数学核心素养的考查，能够有效助力创新人才的选拔．
【目标】试题以等差数列为载体，考查考生对等差数列的概念、性质，以及前项和等基础内容的理解和掌握，考查考生分析问题、归纳问题的能力以及逻辑思维能力、运算求解能力．
【分析】解题思路 （1）根据等差数列定义求解．
由题设，可知，解得首项与公差的关系．
再由题设得，解得（舍去）或．
因此，的通项公式为．
（2）思路1 由题设，数列，均为等差数列，故，解得或．
（ⅰ）当时，，，又，故，与题设不符．
（ⅱ）当时，，，从而，
解得（舍去）或．因此．
思路2 由题设可得．
又为等差数列，令，则对任意正自然数均有
．
故，，且．
由题设及，解得，故．
由，解得或．
余下部分同思路1．
【典例6】（2023年高考数学（新课标Ⅱ卷）第18题）已知为等差数列，记，分别为数列，的前n项和，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：当时，．
【解读】试题的主干部分包括两个数列，一个是考生熟悉的等差数列，要解决的是关于数列通项公式的问题；另一个是在此基础上构造的新数列，要解决的问题是挖掘新数列蕴含的信息，并与老数列进行对比．考生需要注意到，在求解等差数列首项与公差的过程中，仅仅使用老数列的前4项和是不够的，还要利用新数列前3项和．具体来说，本试题包含如下诸多亮点．
（1）试题注重考查基础知识，贴近教材，设计巧妙．解题过程中，为求解等差数列首项与公差这两个未知参数，需要建立两个方程，其中第一个方程是明确的，即等差数列的前4项和，而如何建立第二个方程，就需要考生利用好题设条件，正确挖掘新数列的信息．这一过程突出素养和能力考查，很好地考查了考生的理性思维素养以及逻辑思维、运算求解等关键能力．
（2）本试题借助考生熟悉的等差数列，构造了另外一个新数列，进而在第（2）问对新老数列进行比较．这事实上展示了一种科学研究的初步过程，即我们总是从熟悉的内容出发，以此为基础，一步步建立和构造新的知识体系．试题从认识论的角度对考生加以训练，致力于服务人才培养质量提升和现代化建设人才选拔．
（3）由数列的定义方式可知，对其前n项和的处理，同样需要根据奇偶项进行分类讨论，这在第（2）问的处理过程中得到了充分的体现．同时注意到，这一小问的解答不必给出的显式表达式，而只需要正确分析前n项和与前n项和之差．这一过程甄别思维品质，展现逻辑严谨性，给考生搭建了展示的舞台和发挥的空间，有利于高校选拔人才，也有利于中学数学教学的改革．
（4）作为解答题的第二题，试题从考生十分熟悉的等差数列切入，让考生很容易入手并得到相应分数，有利于稳定考生心态，消除紧张情绪，激发考生的自信心，并使得绝大多数考生有分数的获得感与成就感，为进一步攻克后续试题提供心态保障．
【目标】试题首先考查数列及其通项与前n项和的概念；其次，作为最基本的数列类型，等差数列的两个基本量是首项与公差，要进行求解，需要考生将题设所给条件正确转化为关于它们的方程；最后，本题在考生熟知的等差数列的基础上，构造了另外一个数列，同样需要考生得到的相关信息，并与原数列进行比较．试题考查考生的理性思维素养，逻辑思维、运算求解能力以及分类讨论与整合的能力，通过用原始数列构造新数列的形式，考查学生熟练运用已有知识，学习、研究新问题的能力．
【分析】解题思路 （1）设的通项公式为，由题设得
，．
由，解得，．
所以．
（2）
．
．
当时，，故；
当时，，故．
综上，当时，．
应用一 累加法求通项
【例1】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）已知数列满足，，，则数列的第2024项为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：由题中条件可得到偶数项得关系：
所以
第二步：进行累加即得：
累加得
故选：C.
应用二 累乘法求通项
【例2】（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023 B．2024 C．4045 D．4047
【引导与详解】
第一步：根据递推关系化简：
，
，
即，
可得，
第二步：由累乘法直接求：
.
故选：C.
应用三 利用与关系求通项
【例3】（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知等比数列满足，其前项和．则（ ）
A．数列的公比为 B．数列为递减数列
C． D．当取最小值时，
【引导与详解】
第一步：利用退一相减法可得数列的递推公式：
由已知，当时，，则，即，
当时，，所以，由等比数列知：公比为，
所以，即，所以，A、C选项错误；
第二步：进而可得公比为，，进而可判断数列的单调性：
又，，则公比，所以数列为递增数列，B选项错误；
第三步：再根据基本不等式可得当且仅当时，取最小值，进而可得公比与通项公式：
，当且仅当，即时取等号，此时公比为，所以数列的通项公式为，D选项正确；
故选：D.
应用四 构造法求通项
【例4】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）数列中，，若，都有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：由已知条件可得：
解：因为，
所以，
第二步：由，都有恒成立，可得对，都有恒成立：
所以数列是等差数列，首项为，公差为，
所以，
，
又因为，都有恒成立，
所以，都有恒成立，
第三步：令，求出数列的最大项即可得答案：
令，
则，
所以=，
所以当时，，；
当时，，；
所以在数列中，第8项最大，且，
所以，
故的最小值为.
故选：C.
应用五 观察法求通项
【例5】（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，构成数列，其前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
【引导与详解】
第一步：根据数列的前4项，归纳出数列的通项：
则，
第二步：用裂项相消法求其前n项和为，即可得的值：
所以其前n项和为：
，
则.
故选：B.
应用六 倒序相加法求和
【例6】（2024·广东广州·华南师大附中校考二模）已知数列是公比为q（）的正项等比数列，且，若，则（ ）
A．4069 B．2023
C．2024 D．4046
【引导与详解】
第一步：由等比数列的性质可得：
由数列是公比为q（）的正项等比数列，故，
，故，
即有，
第二步：由，可得，故有：
由，则当时，
有，
故，
第三步：即可计算：
，
故.
故选：D.
应用七 错位相减法求和
【例7】（2023·江苏徐州·校考模拟预测）函数满足、，都有，且，则（ ）
A． B．数列单调递减
C． D．
【引导与详解】
第一步：令，推导出，令可判断A选项：
对于A选项，函数满足、，都有，
令，则，即，则，
所以，，A错；
第二步：分析可知数列为等比数列，求出该数列的通项公式，结合数列单调性的定义可判断B选项：
对于B选项，令，，可得，
所以，，且，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，，
所以，，即，
故数列单调递减，B对；
第三步：利用基本不等式可判断C选项：
对于C选项，对任意的，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，C对；
第四步：利用错位相减法可判断D选项.：
对于D选项，令，①
则，②
①②可得，
因此，，D对.
故选：BCD.
应用八 裂项相消法求和
【例8】（2023·湖南株洲·株洲二中校考一模）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【引导与详解】
第一步：通过等差数列的定义求出的通项公式：
因为，整理得，且，
可知是以首项为3，公差为1的等差数列，
所以，可得，
第二步：利用裂项相消法求出：
当时，可得，
且符合上式，所以，
第三步：进而确定n的最大值：
则，
解得，即的最大值为8．
故选：B．
应用九 分组（并项）法求和
【例9】（2024·广东深圳·统考一模）已知数列满足，，若为数列的前项和，则（ ）
A．624 B．625 C．626 D．650
【引导与详解】
第一步：根据给定的递推公式：
数列中，，，
第二步：按奇偶分类求和即得：
当时，，即数列的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，
则，
当时，，即数列的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为，
则，
所以.
故选：C
方法一： 累加法求数列通项公式
第一步：观察数列规律：首先观察数列的前几项，尝试找出相邻两项之间的关系或规律.
第二步：写出递推关系：根据观察到的规律，写出数列的递推关系式.例如，如果相邻两项之差为常数d，则递推关系式为.
第三步：使用累加法：从第一项开始，逐项累加递推关系式，直到得到第项的表达式.
第四步：得出通项公式：通过累加，最终得到数列的第项的表达式，即数列的通项公式.
第五步：验证通项公式：最后，可以通过将得到的通项公式代入数列的前几项进行验证，确保公式的正确性.
方法二： 累乘法求数列通项公式
第一步：明确递推关系：首先，我们需要知道数列的递推关系式，即.
第二步：逐步累乘：从开始，依次乘以每一项的递推关系式中的.
请注意，此处我们从乘到，因为是由乘以得到的.
第三步：简化表达式：根据具体的函数，对累乘的结果进行简化.
第四步：得出通项公式：简化后，我们就得到了数列的通项公式.
方法三： 利用与关系求通项
第一步：建立与的关系：我们需要明确数列的前n项和与通项之间的关系.由定义知，是数列前n项的和，即.
第二步：利用的表达式求：通常，我们会先得到一个关于的表达式或递推关系.然后，利用这个表达式，我们可以通过（当时）来求解.
第三步：验证并化简的表达式：在得到的表达式后，我们需要验证它是否满足题目给出的条件或数列的定义.此外，可能还需要对表达式进行化简，使其更简洁明了.
方法四： 构造法求数列通项
第一步：观察数列特点：首先，观察数列的前几项，尝试找出数列可能具有的规律或特点.
第二步：构造新数列：基于观察到的规律或特点，尝试构造一个新的数列.这个新数列应该更容易处理，例如，可能是等差数列或等比数列.
第三步：建立关系：建立原数列和新数列之间的关系.这通常是通过将原数列的项表示为新数列的项的函数来实现的.
第四步：求解新数列：使用已知的方法求解新数列的通项公式.
第五步：转换回原数列：使用步骤3中建立的关系，将新数列的通项公式转换回原数列的通项公式.
方法五： 观察法求数列通项
第一步：观察数列前几项：首先，观察数列的前几项，尝试找出它们之间的关系或规律.
第二步：分析数列特征：分析数列的增减性、奇偶性、是否含有分数或根号等特征.
第三步：尝试构造通项公式：根据观察和分析的结果，尝试构造一个可能的通项公式.这个公式应该能够涵盖数列的所有项，并且符合数列的特征.
第四步：验证通项公式：将数列的前几项代入构造的通项公式中，验证公式是否正确.如果公式能够正确表示数列的所有项，那么就可以确定这个公式是数列的通项公式.
第五步：证明通项公式：如果可能的话，尝试证明构造的通项公式是正确的.这可能需要使用数学归纳法或其他证明方法.
方法六： 倒序相加法求和
第一步：观察数列：首先，观察数列的特点，确定是否适合使用倒序相加法.一般来说，如果数列的首项和末项有某种特殊关系（如对称、互补等），那么可以考虑使用倒序相加法.
第二步：倒序写出数列：将数列倒序写出，即原数列的第n项变为第1项，第n-1项变为第2项，以此类推.
第三步：对应项相加：将原数列和倒序数列的对应项相加.由于数列的首项和末项、次首项和次末项等具有某种特殊关系，这些和通常会变得很简单.
第四步：求和：将上一步得到的所有和相加，得到的结果就是原数列的和.
方法七： 错位相减法求和
第一步：确定数列的通项公式：首先，我们需要明确数列的每一项的公式.假设数列的第n项表示为，其中是一个等差数列，而是一个等比数列.
第二步：计算数列的前n项和：数列的前n项和可以表示为，即.
第三步：对数列进行错位相减：为了简化求和过程，我们将乘以等比数列的公比，得到.
第四步：错位相减得到新的等式：将从中减去，得到.
第五步：化简并求解：由于是等差数列，是等比数列，我们可以利用这些性质来化简上述等式，从而得到的表达式.
第六步：验证结果：我们需要验证求得的是否满足原数列的定义，以确保我们的计算是正确的.
方法八： 裂项相消法求和
第一步：观察数列结构：首先观察数列的通项公式，确定是否适合使用裂项相消法.通常，如果数列的通项公式是分式形式，并且分子是常数或简单的线性函数，分母是多项式，那么可以考虑使用裂项相消法.
第二步：拆项：将数列的每一项拆分成两部分，使得相邻两项的某些部分可以相互抵消.这一步是关键，需要根据数列的具体形式来选择合适的拆分方式.
第三步：求和：将拆分后的数列进行求和.由于相邻两项的某些部分相互抵消，求和过程会大大简化.
第四步：验证结果：最后，验证求和结果是否正确.可以通过将求和结果与原数列的前几项进行比较，或者利用其他数学方法（如数学归纳法）进行验证.
方法九： 分组（并项）法求和
第一步：观察数列特点：观察数列的特点，看是否有可以合并的项，或者是否有规律性的分组方式.
第二步：合理分组：根据数列的特点，将数列分成若干个小组，每个小组内的项可以合并或简化.
第三步：分别求和：对每个小组内的项进行求和，可使用等差数列、等比数列的求和公式，或者通过其他方法求和.
第四步：合并结果：将每个小组求和的结果合并起来，得到整个数列的和.
第五步：验证答案：最后，可以通过代入数列的前几项或者使用其他方法验证答案的正确性.
微点：构造&同构法
【表现形式】
1.根据递推关系式构造等差等比数列
①构造等差数列：形如，，型递推关系式；方程两边分别同除以“积式”结构，，，即可得到，，为等差数列．
②构造等比数列：对于（，）型一阶线性递推关系式
转化方法：①待定系数法，令，化简整理后与原来的递推式比较系数可知，于是，故数列是以为首项，以k为公比的等比数列．
②由得，两式相减，得，当时，数列是公比为k的等比数列．
2.配凑同构单位1的代换
在求一些递推数列通项公式时，若能根据其结构特点，合理地构造常数列往往会化动为静，化难为易，化繁为简，轻松突破解题的窠臼；同构常数列法囊括了求数列通项的全部初等方法：累加法，累乘法，构造等差（比）数列等等．可以说同构常数列法是求数列通项公式的更为有力的通性通法；
①加减常数项b：或，或
②乘除常数项q：
③加减一次项n：
④加减二次项：
⑤加减指数项：
【步骤】
第一步：从数列通项结构来看主要解决分式结构的数列和；
第二步：分母为相似结构相乘，可以看作是一个数列相邻两项相乘或隔项相乘；
【例1】（2023·广东中山·中山纪念中学三模）
1．已知等差数列的前项和，若，数列的前项和为，且，则正整数的值为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【例2】（2024·陕西·校联考一模）
2．记为等差数列的前n项和．若，则数列的前2024项和为（ ）
A． B． C． D．
【跟踪练习】
（2023·山东日照·校联考模拟预测）
3．已知数列中，则（ ）
A．的前10项和为
B．的前100项和为100
C．的前项和
D．的最小项为
（2023·河南·统考模拟预测）
4．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式 .则（ ）
参考公式：
A． 是数列中的项 B．
C． D．
（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）
5．已知为数列的前项和，，则 ；令，数列的前项和为，若存在，使得，则实数的取值范围为 .
（2024·全国·校联考模拟预测）
6．数列满足，若为数列的前项和，则 .
（2023·四川雅安·统考一模）
7．已知数列与正项等比数列满足，且________．
(1)求与的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】由的关系求出通项公式，再由裂项相消求出，根据方程求解即可.
【详解】当时，，
当时，，符合上式，故，
所以，
故，
由可得，化简得，得（舍去负值）．
故选：D
2．C
【分析】由已知条件求出数列的首项与公差，得到数列通项，裂项相消求数列的前2024项和.
【详解】设的公差为d，由得
解得，所以.
则
数列的前2024项和为．
故选：C
3．BC
【分析】A.由，利用错位相减法求解判断；B.由，利用幷项求和判断；C.由 ，利用裂项相消法求解判断；D. 由，利用对勾函数的性质求解判断.
【详解】A.易知，则 ，
，
，
两式相减得 ，
，
，
，则 ，故错误；
B. 易知，则其前100项和为，故正确；
C. ，故正确；
D. 易知，令，则，当且仅当，即，时，等号成立，而，当时，，当时，，所以的最小项为，故错误；
故选：BC
4．ABD
【分析】根据的通项公式，分类讨论为奇偶情况，即可逐项求解判断.
【详解】对A：当为偶数时，，解得，不符题意；
当为奇数时，，解得，符合题意，故A正确；
对B：
，故B正确；
对C：由题意知
，
所以，故C错误；
对D：
故D正确；
故选：ABD.
5．
【分析】（1）由与的关系求出，注意验证；
（2）由求出，再分n为奇数和偶数用裂项相消分别求出，根据存在，使得，求出m即可.
【详解】由得，当时，，所以；
当时，，
所以，又，
所以，
又，
所以.
所以当时，，当时，，当为偶数时，，显然，（为偶数）单调递减，
所以；
当为奇数时，若，则，若，则，
显然（为奇数）单调递增，
所以.
综上所述.
故答案为：；
6．
【分析】根据裂项相消及周期求和计算即可.
【详解】，
.
故答案为：.
7．(1)
(2)
【分析】（1）设等比数列的公比为，对于①②：根据等比数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用裂项相消法运算求解.
【详解】（1）设等比数列的公比为，
若选①：因为，则，解得，
所以；
若选②：因为，则，解得，
所以.
（2）由（1）可得：，
所以.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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