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第四章 图形的性质
第十三节 三角形基础
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形中的主要线段 ☆ 本板块相关知识点在广东近些年中考的考查来看，难度以简单形式考查为主，试题基本以单知识点的形式考查，偶尔会在较为基础的解答题中体现知识运用，难度也是不大，复习的时候熟练掌握相应的知识内容，强化知识运用。作为三角形的基本知识，以往考察较一般，今年如果出现试题，比较大概率出现在选择题或者填空题中。
考点2 三角形的稳定性、特性与表示、分类 ☆☆
考点3 三角形的三边关系及推论 ☆☆
考点4 三角形的内角和定理及推论 ☆☆
考点5 三角形的外角性质 ☆☆
考点1 三角形中的主要线段
（1）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段_____相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（2）三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的_____相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的_____的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
考点2 三角形的稳定性、特性与表示、分类
1.三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的_____。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
2.三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
3.三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
4.三角形的面积
三角形的面积=×_____×_____
考点3 三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和_____第三边。
推论：三角形的两边之差_____第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
考点4 三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
考点5 三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为_____．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
考点1 三角形中的主要线段
◇例题
1．（2022 新会区校级三模）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022 台山市模拟）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22，AB比AC长3，则△ACD的周长为 　 　．
◆变式训练
1．（2023 佛山模拟）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
2．（2020 广州模拟）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是　 　cm．
考点2 三角形的稳定性、特性与表示、分类
◇例题
1．（2023 南海区校级三模）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．平行四边形 B．三角形
C．长方形 D．正方形
2．（2023 梅州一模）如图，△ABC的面积为30，BD＝2CD，E为AB的中点，则△ADE的面积等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
◆变式训练
1．（2023 南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2．（2023 南海区校级一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为25cm2，阴影部分三角形的面积为9cm2，若AA'＝1，则A'D的值为 　 　．
考点3 三角形的三边关系定理及推论
◇例题
1．（2023 蓬江区校级三模）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，3，6 D．3，4，5
2．（2022 中山市二模）若长度分别是2，3，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023 禅城区三模）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？　 　．（填“可能”或“不可能”）
◆变式训练
1．（2023 茂南区三模）从长度为1、3、5、7的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，7
2．（2022 封开县二模）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足|a﹣6|+＝0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（　　）
A．c＞8 B．8＜c＜14 C．6＜c＜8 D．2＜c＜14
3．（2023 东莞市校级三模）已知三角形的两边长分别是1、2，第三边为整数且为不等式组的解，求这个三角形的周长．
考点4 三角形的内角和定理及推论
◇例题
1．（2020 龙岗区模拟）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023 广东模拟）一副三角板按如图所示放置，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠EDC的大小为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．60°
3．（2023 越秀区校级二模）在△ABC中，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，则∠ADC＝　 　．
◆变式训练
1．（2021 南山区校级模拟）如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为（　　）
A．105° B．75° C．90° D．95°
2．（2023 越秀区校级模拟）△ABC中，∠B＝40°，若从顶点A作高线AD和角平分线AE，AD与AE的夹角为5°，则∠C＝　 　．
3．（2023 惠州一模）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E．求∠BDE的度数．
考点5 三角形的外角性质
◇例题
1．（2023 南海区模拟）如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
2．（2023 河源一模）如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是（　　）
A．75° B．105° C．115° D．100°
3．（2011 金平区模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为　 　．
◆变式训练
1．（2023 越秀区校级一模）将一副直角三角板按图放置，使含30°的三角板的短直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1度数的为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．80°
2．（2022 东莞市一模）将一副三角尺按如图的方式拼摆，则∠CED的度数为 　 　°．
3．（2020 顺德区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
1．（2022 广东）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
2．（2023 盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（　　）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
3．（2022 杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
4．（2021 毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
5．（2023 徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 　 （写出一个即可）．
6．（2022 哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　 　度．
7．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　 　．
8．（2021 河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 （填“增加”或“减少”） 　 　度．
1．（2022 禅城区一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线
D．垂线段最短
2．（2022 东莞市校级一模）小颖用长度为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为7cm和3cm，则第三根木棒的长度是（　　）
A．7cm B．8cm C．11cm D．13cm
3．（2021 阳西县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C的度数为（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
4．（2022 乳源县三模）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　）
A．17 B．23 C．25 D．28
5．（2023 高要区一模）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（　　）
A．中心 B．内心 C．外心 D．重心
6．（2021 荔湾区校级三模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）
A．85° B．75° C．65° D．60°
7．（2022 中山市一模）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（　　）
A． B．1+ C．2 D．2+
8．（2021 越秀区校级三模）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是 　 　．
9．（2020 广东模拟）三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是　 ．
10．（2020 顺德区模拟）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝130°，则∠A＝　 　 ．
11．（2023 南海区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 　　．
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第四章 图形的性质
第十三节 三角形基础
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形中的主要线段 ☆ 本板块相关知识点在广东近些年中考的考查来看，难度以简单形式考查为主，试题基本以单知识点的形式考查，偶尔会在较为基础的解答题中体现知识运用，难度也是不大，复习的时候熟练掌握相应的知识内容，强化知识运用。作为三角形的基本知识，以往考察较一般，今年如果出现试题，比较大概率出现在选择题或者填空题中。
考点2 三角形的稳定性、特性与表示、分类 ☆☆
考点3 三角形的三边关系及推论 ☆☆
考点4 三角形的内角和定理及推论 ☆☆
考点5 三角形的外角性质 ☆☆
考点1 三角形中的主要线段
（1）三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
（2）三角形中的主要线段
（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
考点2 三角形的稳定性、特性与表示、分类
1.三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。
2.三角形的特性与表示
三角形有下面三个特性：
（1）三角形有三条线段
（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形
（3）首尾顺次相接
三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
3.三角形的分类
三角形按边的关系分类如下：
不等边三角形
三角形 底和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
三角形按角的关系分类如下：
直角三角形（有一个角为直角的三角形）
三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）
斜三角形
钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）
把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
4.三角形的面积
三角形的面积=×底×高
考点3 三角形的三边关系定理及推论
（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
（2）三角形三边关系定理及推论的作用：
①判断三条已知线段能否组成三角形
②当已知两边时，可确定第三边的范围。
③证明线段不等关系。
考点4 三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
考点5 三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
考点1 三角形中的主要线段
◇例题
1．（2022 新会区校级三模）如图所示在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用高线的概念得出答案．
【解答】解：在△ABC中，AB边上的高线画法正确的是B，
故选：B．
2．（2022 台山市模拟）如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为22，AB比AC长3，则△ACD的周长为 　 　．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵AB比AC长3，
∴AB＝AC+3，
∵△ABD的周长为22，
∴AB+AD+BD＝22，
∴AC+3+AD+DC＝22，
∴AC+AD+DC＝19，
∴△ACD的周长＝AC+AD+DC＝19，
故答案为：19．
◆变式训练
1．（2023 佛山模拟）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
【分析】根据三角形的高的特点对选项进行一一分析，即可得出答案．
【解答】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；
C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确；
D、能确定C正确，故错误．
故选：C．
2．（2020 广州模拟）如图，点D在线段BC上，AC⊥BC，AB＝8cm，AD＝6cm，AC＝4cm，则在△ABD中，BD边上的高是　 　cm．
【分析】首先根据三角形的高线的定义确定BD边上的高为线段AC，此题得解．
【解答】解：如图，∵AC⊥BC，
∴BD边上的高为线段AC．
又∵AC＝4cm，
∴BD边上的高是4cm．
故答案为：4．
考点2 三角形的稳定性、特性与表示、分类
◇例题
1．（2023 南海区校级三模）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．平行四边形 B．三角形
C．长方形 D．正方形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：B．
2．（2023 梅州一模）如图，△ABC的面积为30，BD＝2CD，E为AB的中点，则△ADE的面积等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．9
【分析】根据三角形面积公式，两三角形同高，则它们的面积比等于对应底边比，进而求得答案．
【解答】解：∵在△ABD和△ACD中，边BD与CD上的高相同，BD＝2CD，
∴根据三角形的面积公式，S△ABD＝S△ABC＝×30＝20．
同理，∵在△ADE和△BDE中，边AE与BE上的高相同，E为AB的中点，
∴AE＝BE，根据三角形的面积公式，S△ADE＝S△ABD＝×20＝10．
故选：C．
◆变式训练
1．（2023 南海区校级模拟）要使下面的木架不变形，至少需要再钉上几根木条？（　　）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【分析】根据三角形具有稳定性，六边形转化成三角形即可得出答案．
【解答】解：根据三角形的稳定性可知，要使六边形木架不变形，至少要再钉上3根木条．
故答案选：C．
2．（2023 南海区校级一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为25cm2，阴影部分三角形的面积为9cm2，若AA'＝1，则A'D的值为 　 　．
【分析】设阴影部分三角形A'EF，先证明△DA′E∽△DAB，再利用相似三角形的性质求得A'D便可．
【解答】解：如图，
∵S△ABC＝25、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝4.5，S△ABD＝S△ABC＝12.5，
∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
则，即（）2＝，
解得A′D＝1.5或A′D＝﹣（舍），
故答案为：1.5．
考点3 三角形的三边关系定理及推论
◇例题
1．（2023 蓬江区校级三模）在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．2，3，6 C．3，3，6 D．3，4，5
【分析】根据三角形的三边关系进行判断，两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选不项符合题意；
C、3+3＝6，不能组成三角形，故此选不项符合题意；
D、4+3＞5，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
2．（2022 中山市二模）若长度分别是2，3，a的三条线段能组成一个三角形，则a的取值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形三边关系定理得出3﹣2＜a＜3+2，求出即可．
【解答】解：由三角形三边关系定理得：3﹣2＜a＜3+2，
即1＜a＜5，
即符合的整数a的值可以是2，3，4，不可能是1．
故选：A．
3．（2023 禅城区三模）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程x2﹣17x+66＝0的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？　 　．（填“可能”或“不可能”）
【分析】先解出一元二次方程，再根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：解一元二次方程x2﹣17x+66＝0，得x1＝11，x2＝6，
则11﹣6＜第三边＜11+6，即5＜第三边＜17，
∴这个三角形的第三边的长不可能是20，
故答案为：不可能．
◆变式训练
1．（2023 茂南区三模）从长度为1、3、5、7的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是（　　）
A．1，3，5 B．1，3，7 C．1，5，7 D．3，5，7
【分析】运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【解答】解：A、1+3＜5，三条线段不能围成三角形，故A不符合题意；
B、1+3＜7，三条线段不能围成三角形，故B不符合题意；
C、1+5＜7，三条线段不能围成三角形，故C不符合题意；
D、3+5＞7，三条线段能围成三角形，故D符合题意．
故选：D．
2．（2022 封开县二模）已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足|a﹣6|+＝0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（　　）
A．c＞8 B．8＜c＜14 C．6＜c＜8 D．2＜c＜14
【分析】根据两个非负数的和是0，可以求得a，b的值．因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围．
【解答】解：根据题意得：a﹣6＝0，b﹣8＝0，
解得a＝6，b＝8，
因为c是最大边，所以8＜c＜6+8，
即8＜c＜14．
故选：B．
3．（2023 东莞市校级三模）已知三角形的两边长分别是1、2，第三边为整数且为不等式组的解，求这个三角形的周长．
【分析】分别解不等式，得出整数解，根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：，
解不等式①得x＜3，
解不等式②得x≥0，
∴0≤x＜3，
∴不等式的整数解为0、1、2，
∵2﹣1＜x＜2+1，
∴x取2，
∴三角形周长为1+2+2＝5．
考点4 三角形的内角和定理及推论
◇例题
1．（2020 龙岗区模拟）一个三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据三角形内角和等于180°计算即可．
【解答】解：设三角形的三个内角的度数之比为x、2x、3x，
则x+2x+3x＝180°，
解得，x＝30°，
则3x＝90°，
∴这个三角形一定是直角三角形，
故选：B．
2．（2023 广东模拟）一副三角板按如图所示放置，∠C＝30°，∠E＝45°，则∠EDC的大小为（　　）
A．80° B．75° C．70° D．60°
【分析】利用平行线的性质先求出∠EBD，再利用三角形的外角和内角的关系得结论．
【解答】解：由三角板摆放位置，可知BE∥AC，
∴∠EAC＝∠E＝45°，
∴∠EDC＝∠EAC+∠C
＝45°+30°
＝75°．
故选：B．
3．（2023 越秀区校级二模）在△ABC中，∠BAC＝70°，∠1＝∠2，则∠ADC＝　 　．
【分析】根据三角形内角和定理以及图形中的各角之间的关系进行计算即可．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝∠BAC＝70°，∠ADC+∠2+∠3＝180°，∠1＝∠2，
∴∠ADC+∠1+∠3＝180°，
即∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
◆变式训练
1．（2021 南山区校级模拟）如图，△EFG的三个顶点E，G和F分别在平行线AB，CD上，FH平分∠EFG，交线段EG于点H，若∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，则∠EHF的大小为（　　）
A．105° B．75° C．90° D．95°
【分析】首先根据∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，求出∠FEH的大小；然后根据AB∥CD，求出∠EFG的大小，再根据FH平分∠EFG，求出∠EFH的大小；最后根据三角形内角和定理，求出∠EHF的大小为多少即可．
【解答】解：∵∠AEF＝36°，∠BEG＝57°，
∴∠FEH＝180°﹣36°﹣57°＝87°；
∵AB∥CD，
∴∠EFG＝∠AEF＝36°，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝∠EFG＝×36°＝18°，
∴∠EHF＝180°﹣∠FEH﹣∠EFH＝180°﹣87°﹣18°＝75°．
故选：B．
2．（2023 越秀区校级模拟）△ABC中，∠B＝40°，若从顶点A作高线AD和角平分线AE，AD与AE的夹角为5°，则∠C＝　 　．
【分析】分两种情形画出图形：①当∠B＞∠C时，如图1中，②当∠B＜∠C时，如图2中，分别求解即可．
【解答】解：①当∠B＞∠C时，如图，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∵∠DAE＝5°，
∴∠BAE＝∠CAE＝55°，
∴∠BAC＝110°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣40°﹣110°＝30°；
②当∠B＜∠C时，如图，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∵∠DAE＝5°，
∴∠BAE＝∠EAC＝45°，
∴∠DAC＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝50°，
综上所述，∠C＝30°或50°．
故答案为：30°或50°．
3．（2023 惠州一模）如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E．求∠BDE的度数．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据角平分线定义求出∠ABD，根据平行线的性质得出∠BDE＝∠ABD即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝80°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝40°，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠ABD＝40°．
考点5 三角形的外角性质
◇例题
1．（2023 南海区模拟）如图，AB∥CD，将一块三角板（∠E＝30°）按如图所示方式摆放，若∠EHB＝55°，则∠FGC的度数为 （　　）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【分析】由三角形外角的性质可知∠EHB＝∠EFH+∠E，再由AB∥CD可知∠HGD＝∠EHB．
【解答】解：三角形外角的性质可知∠EFG＝90°，
∵∠EHB＝55°，∠E＝30°，
∴∠EFB＝∠EHB﹣∠E＝55°﹣30°＝25°，
∠HFG＝∠EFG﹣∠EFB＝90°﹣25°＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠FGC＝∠EFG＝65°．
故选：B．
2．（2023 河源一模）如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB的度数是（　　）
A．75° B．105° C．115° D．100°
【分析】利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答】解：∵∠BOC＝∠BDC+∠OCD，∠BDC＝60°，∠OCD＝45°，
∴∠BOC＝105°，
故选：B．
3．（2011 金平区模拟）将一副三角板按图中方式叠放，则角α的度数为　 　．
【分析】先根据直角三角板的性质求出∠1及∠2的度数，再根据三角形内角与外角的关系即可解答．
【解答】解：∵图中是一副三角板，
∴∠2＝45°，∠1＝90°﹣45°＝45°，
∴∠α＝∠1+30°＝45°+30°＝75°．
故答案为：75°．
◆变式训练
1．（2023 越秀区校级一模）将一副直角三角板按图放置，使含30°的三角板的短直角边和含45°的三角板的一条直角边重合，则∠1度数的为（　　）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【分析】根据三角板可得：∠D＝60°，∠A＝45°，然后根据三角形内角和定理可得∠DGB的度数，进而得到∠AGE的度数，再根据三角形内角与外角的关系可得结论．
【解答】解：由题意可得：∠D＝60°，∠A＝45°，
∴∠DGB＝90°﹣60°＝30°．
∵∠DGB与∠AGE是对顶角，
∴∠AGE＝30°．
∴∠1＝∠A+∠AGE＝45°+30°＝75°．
故选：C．
2．（2022 东莞市一模）将一副三角尺按如图的方式拼摆，则∠CED的度数为 　 　°．
【分析】根据三角形外角的性质可得∠CED＝∠CBD+∠BDE，进而得出答案．
【解答】解：∵一副三角尺按如图的方式拼摆，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∠DAB＝30°，∠D＝60°，
∴∠DBE＝∠ABD﹣∠CBA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CED＝∠CBD+∠BDE＝45°+60°＝105°．
故答案为：105．
3．（2020 顺德区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AD平分外角∠EAC．求证：AD∥BC．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠EAC＝∠B+∠C，再根据角平分线的定义可得∠EAC＝2∠EAD，从而得到∠B＝∠EAD，然后根据同位角相等两直线平行证明即可．
【解答】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠B+∠C，
∵∠B＝∠C，
∴∠EAC＝2∠B，
∵AD平分外角∠EAC，
∴∠EAC＝2∠EAD，
∴∠B＝∠EAD，
∴AD∥BC．
1．（2022 广东）下列图形中有稳定性的是（　　）
A．三角形 B．平行四边形
C．长方形 D．正方形
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得出答案．
【解答】解：三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
故选：A．
2．（2023 盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（　　）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
【解答】解：A、5+7＝12，不能构成三角形，故此选项不合题意；
B、7+7＜15，不能构成三角形，故此选项不合题意；
C、6+9＜16，不能构成三角形，故此选项不合题意；
D、8+6＞12，能构成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（2022 杭州）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　）
A．线段CD是△ABC的AC边上的高线
B．线段CD是△ABC的AB边上的高线
C．线段AD是△ABC的BC边上的高线
D．线段AD是△ABC的AC边上的高线
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意；
B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意；
C、线段AD不是△ABC的BC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
D、线段AD不是△ABC的AC边上高线，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
4．（2021 毕节市）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，
∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
5．（2023 徐州）若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 　 （写出一个即可）．
【分析】根据三角形两边之和大于第三边确定第三边的范围，根据题意计算即可．
【解答】解：设三角形的第三边长为x，
则5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
∵第三边的长为整数，
∴x＝3或4或5或6或7．
故答案为：3或4或5或6或7（答案不唯一）．
6．（2022 哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 　 　度．
【分析】分两种情况：△ABC为锐角三角形或钝角三角形，然后利用三角形内角和定理即可作答．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
7．（2022 陕西）如图，AD是△ABC的中线，AB＝4，AC＝3．若△ACD的周长为8，则△ABD的周长为 　 　．
【分析】由AD是△ABC的中线，得BD＝CD，又△ACD的周长为8，AC＝3，可得BD+AD＝5，而AB＝4，即得AB+BD+AD＝9．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
∵△ACD的周长为8，
∴AC+CD+AD＝8，
∵AC＝3，
∴BD+AD＝5，
∵AB＝4，
∴AB+BD+AD＝9．
故答案为：9．
8．（2021 河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 （填“增加”或“减少”） 　 　度．
【分析】延长EF，交CD于点 G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形内角和定理的推论得到∠DGF的度数；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性质可得∠D的度数，从而得出结论．
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故答案为：减少，10．
1．（2022 禅城区一模）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做蕴含的道理是（　　）
A．两点之间线段最短
B．三角形具有稳定性
C．经过两点有且只有一条直线
D．垂线段最短
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，
故选：B．
2．（2022 东莞市校级一模）小颖用长度为奇数的三根木棒搭一个三角形，其中两根木棒的长度分别为7cm和3cm，则第三根木棒的长度是（　　）
A．7cm B．8cm C．11cm D．13cm
【分析】首先根据三角形的三边关系求得第三根木棒的取值范围，再进一步根据奇数这一条件分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
7﹣3＜第三根木棒＜7+3，即4＜第三根木棒＜10．
又∵第三根木棒的长选取奇数，
∴第三根木棒的长度可以为5cm，7cm，9cm．
故选：A．
3．（2021 阳西县模拟）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C的度数为（　　）
A．100° B．80° C．60° D．40°
【分析】由三角形的内角和定理可直接求解．
【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝40°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
故选：B．
4．（2022 乳源县三模）如图，在△ABC中，BD为AC边上的中线，已知BC＝8，AB＝5，△BCD的周长为20，则△ABD的周长为（　　）
A．17 B．23 C．25 D．28
【分析】根据三角形中线的定义可得AD＝CD，由△BCD的周长为20，BC＝8，求出CD+BD＝12，进而得出△ABD的周长．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
∵△BCD的周长为20，BC＝8，
∴CD+BD＝BC+BD+CD﹣BC＝20﹣8＝12，
∴CD+BD＝AD+BD＝12，
∵AB＝5，
∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝5+12＝17．
故选：A．
5．（2023 高要区一模）已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC．小明的作法如图2所示，则他作出的两条线的交点O是△ABC的（　　）
A．中心 B．内心 C．外心 D．重心
【分析】根据等腰三角形的“三线合一”定理可得，AD是垂直平分线，由另一痕迹是AB边的垂直平分线得点O为外心．
【解答】解：按如图作图痕迹可知，AD为∠BAC的角平分线，
∵AB＝AC，
∴AD也是BC边的中线、高线，即BC边的垂直平分线，
∵另一痕迹是AB边的垂直平分线，
∴点O为边的垂直平分线的交点，
∴点O为外心，
故选：C．
6．（2021 荔湾区校级三模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）
A．85° B．75° C．65° D．60°
【分析】利用三角形外角的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，
∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：B．
7．（2022 中山市一模）如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则△ABC的面积是（　　）
A． B．1+ C．2 D．2+
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明△ADC是等腰直角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根据三角形的面积公式可解答．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，
∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴AE＝CD＝，
∴△ABC的面积＝ BC AE＝××（2+2）＝2+．
故选：D．
8．（2021 越秀区校级三模）△ABC中，已知∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C的外角的度数是 　 　．
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝80°，
∴∠C的外角的度数是∠A+∠B＝50°+80°＝130°．
故答案为：130°．
9．（2020 广东模拟）三角形三边长分别为3，2a﹣1，4．则a的取值范围是　 ．
【分析】根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为3，2a﹣1，4，
∴可得，
解得1＜a＜4．
故答案为：1＜a＜4．
10．（2020 顺德区模拟）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝130°，则∠A＝　 　 ．
【分析】据三角形的内角和等于180°，求出∠PBC+∠PCB的度数，再根据角平分线的定义，求得∠ABC+∠ACB．在△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出∠BAC的度数．
【解答】解：在△PBC中，∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣130°＝50°．
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×50°＝100°，
在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80°．
11．（2023 南海区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为 　　．
【分析】利用三角形相似的性质和根据三角形同底不同高的性质，求出面积之比，再进行计算即可求出其面积的值．
【解答】解：如图，
△AOB∽△DOC，AB＝2，CD＝4，
∴S△AOB：S△DOC＝AB2：CD2＝1：4，
设S△AOB＝x，则S△DOC＝4x，
∵△CDB与△ABD同底，
∴S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
令S△OBD＝a，则有，
S△ABD＝S△AOB+S△OBD＝x+a，
S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a，
∵S△CDB：S△ABD＝CD：AB＝2：1，
∴（4x+a）：（x+a）＝2：1，解得a＝2x，
∴S△CDB＝S△DOC+S△OBD＝4x+a＝4x+2x＝6x，
∵S△CDB＝CD BD＝×4×4＝8，
∴6x＝8，解得x＝，
∵S△DOC＝4x，
∴S△DOC＝4x＝4×＝，
∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
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