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第2节　图形的对称、平移、旋转
命题分析
　　图形的对称、平移、旋转是图形的变换的重要内容,在江西学考中,图形的对称常出现在选择题或者填空题中,相对比较简单,图形的平移、旋转一般出现在无刻度直尺作图及几何综合题中,且考查的频率比较高.
【知识清单】
知识点1 图形的对称
　轴对称图形
与中心对称图形
常见的轴对称图形:等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、正五边形、正六边形、圆等.
常见的中心对称图形:平行四边形、菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.
常见的既是轴对称图形又是中心对称图形:菱形、矩形、正方形、正六边形、圆等.
　轴对称
与中心对称
知识点2 图形的折叠
图形的折叠
知识点3 平移与旋转
内容 要素 性质 作图步骤
(1)平移的方向; (2)平移的距离 (1)平移前后对应线段平行(或共线)且⑤ ,对应点所连的线段⑥ ; (2)对应角分别⑦ ,且对应角的两边分别平行(或共线),方向一致; (3)平移变换后的图形与原图形⑧ (1)确定平移方向和平移距离; (2)找原图形的关键点; (3)按平移方向和平移距离各关键点; (4)按原图形顺次连接各关键点平移后的对应点,得到平移后的图形
(1)旋转中心; (2)旋转方向; (3)旋转角度 (1)对应点到旋转中心的距离⑨ (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑩ (3)旋转前后的图形 (1)确定旋转中心、旋转方向及旋转角; (2)找原图形的关键点; (3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点; (4)按原图形顺次连接各关键点旋转后的对应点,得到旋转后的图形
知识点4 图形的位似
图形的位似
【参考答案】
①180°　②垂直平分　③全等　④相等　⑤相等　⑥平行且相等　⑦相等　⑧全等　⑨相等　⑩旋转角　全等
【自我诊断】
1.(文化自信)中国传统文化博大精深.下面四个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( )
A B
C D
2. 如图,将四边形ABCD沿BC方向平移后得到四边形PEFQ,若BF=8,CE=4,则平移的距离为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.如图,Rt△ABC向右翻滚,下列说法正确的有 ( )
(1)① ②是旋转;
(2)① ③是平移;
(3)① ④是平移;
(4)② ③是旋转.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-1,),以原点O为中心,将点A顺时针旋转90°得到点A',则点A'坐标为 ( )
A.(1,-) B.(-,1)
C.(0,2) D.(,1)
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=70°,将Rt△ABC绕点C顺时针旋转角度α(0°<α<180°)得到Rt△A1B1C,使得A1,B1,A三点共线,则α的度数为 ( )
A.110° B.120°
C.130° D.140°
【参考答案】
1.C　2.A　3.C　4.D　5.D
【真题精粹】
考向1 对称图形的判断
1.(2023·江西)下列图形中,是中心对称图形的是 ( )
A 　B
C 　D
2.(拓展)下列图形中,是轴对称图形的是 ( )
A　　　　B　　　　C　　　　D
考向2 对称图形的相关计算
3.(2019·江西)如图,在△ABC中,D是BC上的点,∠BAD=∠ABC=40°,将△ABD沿着AD翻折得到△AED,则∠CDE= .
4.(拓展)如图,正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称.已知A,D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2).
(1)求对称中心的坐标.
(2)写出顶点B,C,B1,C1的坐标.
考向3 图形的平移
5.(2018·江西)小军同学在网格纸上将某些图形进行平移操作,他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形.如图,现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作,平移后的正方形顶点也在格点上,则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有 ( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.无数个
6.(拓展)如图,把△ABC(点A,B,C均在网格格点处)的顶点A先向下平移2格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B,则线段A'B与线段AC的关系是 ( )
A.相等 B.平分
C.垂直 D.平分且垂直
考向4 图形的旋转
类型1　与旋转有关的计算
7.如图,
在△ABC中,∠BAC=33°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°,对应得到△AB'C',则∠B'AC的度数为 .
8.(拓展)如图,这是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°,180°,270°后形成的图形.若∠BAD=60°,AB=2,则图中阴影部分的面积为 .
9.(拓展)如图,正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合,将△AEF绕顶点A旋转,在旋转过程中,当BE=DF时,∠BAE的大小可以是 .
类型2　与旋转有关的创新作图(6年1考)
10.(2020·江西)如图,在正方形网格中,△ABC的顶点在格点上,请仅用无刻度直尺完成以下作图.(保留作图痕迹)
(1)在图1中,作△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
(2)在图2中,作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后,顶点仍在格点上的△AB'C'.
【参考答案】
1.B　2.C　3.20°
4.(1)(0,2.5)
(2)B(-2,4),C(-2,2),B1(2,1),C1(2,3)
5.C　6.D　7.17°　8.12-4　9.15°或165°　10.略
【核心突破】
考点1 对称图形的判断
类型1　轴对称图形
例题1 (2023·赣州模拟)如图,七巧板起源于我国先秦时期,古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术,经历代演变而成七巧板.下列由七巧板拼成的表情图中,是轴对称图形的为 ( )
A　　　　　B
C　　　　　 D
变式特训1.下列图形中,其中一个三角形能通过轴对称变换得到另一个三角形的是( )
A　　B　　C　　D
2.
如图,这是由三个相同的小正方形组成的图形,在图中补画一个相同的小正方形,使补画后的四个小正方形所组成的图形为轴对称图形的方法有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
类型2　中心对称图形
　　例题2(2023·景德镇模拟)2022年11月29日23时08分,“神舟十五号”载人飞船成功发射.3名航天员顺利进驻中国空间站,与“神舟十四号”航天员乘组首次实现“太空会师”.下列航天图标是中心对称图形的是 ( )
A B
C 　D
变式特训3.下列图形中,是中心对称图形的是 ( )
A　B　C　D
4.
图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成的,若要在①,②,③,④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形,使它与阴影部分组成的新图形是中心对称图形,则这个正方形应该添加在 ( )
A.区域①处 B.区域②处
C.区域③处 D.区域④处
考点2 对称与坐标变换
例题3
如图,平行四边形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),C(1.6,0.8).若将平行四边形先沿着y轴进行第一次轴对称变换,所得图形再沿着x轴进行第二次轴对称变换,轴对称变换的对称轴遵循y轴、x轴、y轴、x轴…的规律进行,则经过第2022次变换后,平行四边形OABC的顶点A的坐标为 ( )
A.(-0.4,1.2) B.(-0.4,-1.2)
C.(1.2,-0.4) D.(-1.2,-0.4)
变式特训5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4),B(4,2),C(3,5).
(1)请画出△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC关于原点成中心对称,并写出点A1,B1,C1的坐标.
(2)求出△A1B1C1的面积.
考点3 利用对称解决线段最短问题
例题4
如图,P为矩形ABCD的对角线AC上一动点,E为BC的中点,连接PE,PB,若AB=4,BC=4,则PE+PB的最小值为 .
变式特训
6.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,G是AD的中点,线段EF在边AB上左右滑动,若EF=1,则GE+CF的最小值为 .
考点4 与折叠相关的证明与计算
　　例题5　如图,四边形ABCD为正方形,E是BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为F,延长EF交线段DC于点P,若AB=6,则DP的长度为 .
方法提炼
　　折叠问题的常见处理策略
本　质 轴　对　称
(1)折痕两侧所有的对应元素都相等 对应边相等,对应角相等,折痕上的点到对应点的距离相等,与全等有关
(2)对应点的连线被折痕垂直平分 这与垂直处理、中点处理有关
(3)折叠出角平分线,结合平行线,易得等腰三角形 这与角平分线、等腰三角形及倍半角模型有关
在平面直角坐标系中,与折叠有关的问题,可以借助解析法求解.比如结合对称点坐标的通解通法 解析思想
变式特训7.
如图,E是矩形ABCD的边AB上一点,将△ADE沿着DE翻折得到△A'DE,A'E与DC交于点F,若AD=,AE=3,则EF= .
8.折纸是我国传统的民间艺术.精美的折纸背后离不
开数学原理,这吸引着无数数学教育工作者以折痕为研究对象,关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质.如图,在矩形纸片ABCD中,AB>AD.
(1)折叠矩形纸片ABCD,使点C落在线段AB上,折痕为BM.直接写出∠CBM的度数.
(2)现要折出60°角,小明同学采用下面的方法.
步骤一:对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合,得到折痕EF,再把纸片展平;
步骤二:再一次折叠纸片,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
请在横线上将步骤二补充完整,并证明所折出的角为60°.
考点5 图形的平移
例题6如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BC=6,AD=3,将△ABC沿射线BC的方向向右平移2个单位长度后得到△A'B'C',连接A'C,则△A'B'C的面积为 .
变式特训9.
如图,把Rt△ABC放在平面直角坐标系内,其中∠CAB=90°,BC=10.点A,B的坐标分别为(1,0),(7,0),将Rt△ABC沿x轴向右平移,当点C落在直线y=2x-10上时,线段BC扫过的面积为 .
考点6 图形的旋转
例题7如图,菱形ABCD与菱形AEFG全等,则菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变换得到 现有下列结论:①经过1次平移和1次旋转;②经过1次平移和1次翻折;③经过1次旋转,且平面内可以作为旋转中心的点共有3个.其中所有正确结论的序号是 ( )
A.①②　B.①③　C.②③　D.①②③
　　例题8在正方形ABCD中,E为AB的中点.请仅用无刻度的直尺按要求作图,并保留作图痕迹.
(1)在图1中,将点E绕点B顺时针旋转90°.
(2)在图2中,将△ABD绕点D逆时针旋转90°.
变式特训10.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=50°.
将△ABC绕着点B逆时针方向旋转,得△DBE,其中AC∥BD,BF,BG分别为△ABC与△DBE的中线,则∠FBG的度数为 .
11.如图,△ABC与△ACD为正三角形,O为射线CA上的动点,作射线OM与射线BC相交于点E,将射线OM绕点O逆时针旋转60°,得到射线ON,射线ON与射线CD相交于点F.
(1)如图1,当点O与点A重合时,点E,F分别在线段BC,CD上,求证:△AEC≌△AFD.
(2)如图2,当点O在CA的延长线上时,点E,F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上,请写出CE,CF,CO三条线段之间的数量关系,并说明理由.
【参考答案】
例题1　C
变式特训
1.C　2.D
例题2　B
变式特训
3.D　4.B
例题3　B
变式特训
5.(1)画图略,A1(-1,-4),B1(-4,-2),C1(-3,-5)
(2)
例题4　6
变式特训
6.3
例题5　2
变式特训
7.2
8.(1)45°
(2)使点C落在线段EF上,折痕为BM,则∠BMC=60°.证明略
例题6　6
变式特训
9.64
例题7　A
例题8　略
变式特训
10.65°　11.(1)略　(2)CE+CO=CF.理由略
2

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