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第8节　二次函数的综合应用(必考,9或12分)
命题分析
　　二次函数的综合应用是函数极其重要的内容,在江西学考中一定有1道解答题,二次函数综合题的考查是热点且为必考内容.背景材料往往是以新定义、运动规律和二次函数的图象和性质的综合. 这类考题近3年主要为第22题,入手易,得满分难.二次函数的实际应用是2024年各地中考命题热点.
【真题精粹】
考向1 二次函数的实际应用(6年2考)
1.(拓展)某开发商计划对某商业街一面8米×8米的正方形墙面ABCD进行如图所示的设计装修,四周是由八个全等的矩形拼接而成的,用甲类材料装修,每平方米550元;中心区是正方形MNPQ,用乙类材料装修,每平方米500元.设小矩形的较短边AE的长为x米,装修材料的总费用为y元.
(1)写出总费用y关于x的函数解析式.
(2)开发商打算花费34400元全部用来购买甲、乙两类材料,求甲类材料中矩形的长和宽.
(3)现将中心区MNPQ设计为广告区域,其边长不小于2米,请利用函数的性质来说明(2)中开发商的费用是否足够.请说明理由.
考向2 二次函数中的图形规律探究(6年1考)
2.(拓展)设抛物线的解析式为y=ax2,过点B1(1,0)作x轴的垂线,交抛物线于点A1(1,2);过点B2作x轴的垂线,交抛物线于点A2;…;过点Bnn-1,0(n为正整数 )作x轴的垂线,交抛物线于点An.连接AnBn+1,得直角三角形AnBnBn+1.
(1)求a的值.
(2)直接写出线段AnBn,BnBn+1的长(用含n的式子表示).
(3)在系列Rt△AnBnBn+1中,探究下列问题:
①当n为何值时,Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形
②设1≤k考向3 二次函数中新定义问题探究　
3.(拓展)如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与x轴平行,且与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶,点M到线段AB的距离为碟高(如图2).
(1)抛物线y=x2对应的碟宽为　　　　;抛物线y=4x2对应的碟宽为　　　　;抛物线y=ax2(a>0)对应的碟宽为　　　　;抛物线y=a(x-2)2+3(a>0)对应的碟宽为　　　　.
(2)若抛物线y=ax2-4ax-(a>0)对应的碟宽为6,且在x轴上,求a的值.
(3)将抛物线yn=anx2+bnx+cn(an>0)对应的准碟形记为Fn(n=1,2,3,…),定义F1,F2,…,Fn为相似准碟形,相应的碟宽之比即相似比.若Fn与Fn-1的相似比为,且Fn的碟顶是Fn-1碟宽的中点,现将(2)中求得的抛物线记为y1,其对应的准碟形记为F1.
①求抛物线y2的表达式;
②若F1的碟高为h1,F2的碟高为h2,…,Fn的碟高为hn,则hn=　　　　,Fn的碟宽右端点横坐标为　　　　.F1,F2,…,Fn的碟宽右端点是否在一条直线上 若是,直接写出该直线的表达式;若不是,请说明理由.
考向4 二次函数的性质探究
4.(拓展)如图,已知二次函数L1:y=x2-4x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.
(1)写出A,B两点的坐标.
(2)二次函数L2:y=kx2-4kx+3k(k≠0),顶点为P.
①直接写出二次函数L2与二次函数L1图象的两条相同的性质.
②是否存在实数k,使△ABP为等边三角形 若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.
③若直线y=8k与抛物线L2交于E,F两点,问线段EF的长度是否发生变化 如果不会,请求出EF的长度;如果会,请说明理由.
热点预测
5.(原创)综合与实践
问题提出
某兴趣小组开展综合实践活动:如图1,在△ABC中,已知∠C=90°,∠A=45°,AC=12,AB的中点为M,点D在AB边上以每秒4个单位长度的速度沿M→A匀速运动,同时点G在AB边上以每秒2个单位长度的速度沿M→B匀速运动.当点D到达终点时,点G也随之停止运动.以DG的长为长,MG的长为宽在直线AB的上方作矩形DEFG.设矩形DEFG与△ABC的重叠部分的面积为S,点D的运动时间为t(s).
初步感知
(1)如图1,当点D由点M运动到点A时.
①当t=1时,S=　　　　;
②当点E落在线段AC上时,t的值为　　　　.
(2)当点D由点M运动到点A时,经探究发现S是关于t的两个分段二次函数,并绘制成如图2所示的图象,且当2(3)试探究是否存在以点A,M,E为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
【参考答案】1.(1)y关于x的函数解析式为y=-800x2+3200x+32000
(2)甲类材料中矩形的长是6米,宽是1米
(3)略
2.(1)a=2　(2)AnBn=23-2n　BnBn+1=2-n
(3)①n=3　②存在.相似比是8∶1或64∶1
3.(1)4;;;　(2)a=
(3)①y2=x2-x+
②;2+;F1,F2,…,Fn的碟宽右端点在直线y=-x+5上
4.(1)点A,B的坐标分别为(1,0),(3,0)
(2)①图象均经过点A(1,0)与点B(3,0);图象的对称轴均为直线x=2
②存在.k=±　③不会发生变化.EF=6
5.(1)①12　②2
(2)S=　CE=6
(3)存在.t的值为或
【核心突破】
考点1 二次函数的实际应用
　　例题1 (真情境)如图1,利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌是养护草坪的一种方法,如图2,点O处有一个喷水头,距离喷水头8 m的M处有一棵高度是2.3 m的树,距离这棵树10 m的N处有一面高2.2 m的围墙,建立如图所示的平面直角坐标系,已知某次喷灌时,喷水头喷出的水柱的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0).
(1)某次喷水浇灌时,测得x与y的几组数据如下:
x 0 2 6 10 12 14 16
y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 2.80 2.56
①根据上述数据,求这些数据满足的函数关系;
②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树,并说明理由.
(2)某次喷水浇灌时,已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04x2+bx,假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树,且不会浇到墙外,下面有四个关于b的不等式:
A.-0.04×82+8b>2.3
B.-0.04×182+18b>2.2
C.-0.04×182+18b<2.2
D.>13
其中正确的不等式是　　　　.(填上所有正确的选项)
变式特训 (真情境)根据以下素材,探索完成任务.
如何设计喷水装置的高度
素 材 1 图1为某公园的圆形喷水池,图2是其示意图,O为水池中心,喷头A,B之间的距离为20 m,喷射水柱呈抛物线形,水柱在距水池中心7 m处达到最高,高度为5 m.水池中心处有一个圆柱形蓄水池,其底面直径CD为12 m,高CF为1.8 m
问题解决
素 材 2 如图3,拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置OP(OP⊥CD),并从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱,且满足以下条件: ①水柱的最高点与点P的高度差为0.8 m; ②不能碰到图2中的水柱; ③落水点G,M的间距满足GM∶FM=2∶7
任 务 1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点,水平方向为x轴建立平面直角坐标系,并求左边这条抛物线的函数表达式
任 务 2 探究落水点位置 在建立的坐标系中,求落水点G的坐标
任 务 3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置OP的高度
考点2 二次函数中的实际问题最值的探究
　　例题2 (原创)某服装店新到一种新款服装,每件进价为100元,营销时发现:当销售单价定为150元时,每天的销售量为20件,若销售单价每上涨5元,每天的销售量就会减少1件.
(1)写出商店销售这种服装,每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式.
(2)当销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大 最大值是多少
(3)商店的营销部结合上述情况,提出了A,B两种营销方案.
方案A:为了让利顾客,该服装的销售利润不超过进价的60%.
方案B:为了满足市场需要,每天的销售量不少于17件.
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
考点3 二次函数与几何图形结合探究
　　例题3 如图1,在矩形ABCD中,动点P从点A出发,以2 m/s的速度沿AD向终点D移动,设移动时间为t(s).连接PC,以PC为一边向BC的上方作正方形PCEF,连接DE,DF.设△PCD的面积为y(cm2).y与t之间的函数关系如图2所示.若△DEF的面积为S,探究S与t的关系.
初步感知
(1)①AB= cm,AD= cm;
②当t=1时,正方形PCEF的面积为 ,△DEF的面积为 ;
③点P从点A到点D的移动过程中,点E的运动路径长是 cm.
拓展应用
(2)求△DEF的面积S关于t的函数解析式,并求出△DEF的面积S的最小值.
(3)若出现2个时刻t1,t2(t1解题指南
　　(1)识图找关键点:(0,20),(5,0)对应图形中P点在A点和D点的情况.
(2)△ABC≌△CE'E EE'=BC=10(点E的运动轨迹是线段).
(3)①PC∥EF ∵S△DEF+S△PDC=S正方形PCEF.
②借助二次函数图象的对称性,注意易错点t的范围是0≤t≤5,找到符合条件的部分.
考点4 二次函数中新定义问题探究
　例题4定义:由两条与x轴有着相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”,如图1,抛物线C1:y=x2+2x-3与抛物线C2:y=ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”,抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A(-3,0),B(点B在点A的右侧),与y轴的交点分别为点G,H(0,-1).
(1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标.
(2)如图1,M是x轴下方抛物线C1上的点,过点M作MN⊥x轴于点N,交抛物线C2于点D,求线段MN与线段DM的长度的比值.
　　(3)如图2,E是点H关于抛物线对称轴的对称点,连接EG,在x轴上是否存在点F,使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形 若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【参考答案】例题1　(1)①y=-0.02x2+0.48x
②喷水头喷出的水柱能够越过这棵树.理由略
(2)AC
变式特训　(1)y=-(x+7)2+5
(2)点G的坐标为(-4.2,1.8)　(3)OP=6
例题2　(1)y=-x+50
(2)当单价为175元时,该新款服装每天的销售利润最大,最大利润为1125元
(3)方案B的最大利润更高.理由略
例题3　(1)①4;10　②80;24　③10
(2)S△DEF=2t2-16t+38,S的最小值为6
(3)3≤t≤5;8
例题4　(1)抛物线C2的解析式为y=x2+x-1.G(0,-3)
(2)
(3)存在,点F的坐标为(-2,0)或(--2,0)
2

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