资源简介

构建2　特殊的四边形
命题分析
　　特殊的四边形是初中阶段重要的几何内容,包括平行四边形、矩形、菱形、正方形,它们既有性质又有判定,既可以和三角形全等、三角形相似结合,又可以与圆的有关知识相结合,内容多,考查面?,难度中等或偏难,是江西中考必考内容.
【知识清单】
知识点1 特殊四边形的定义及性质
特殊四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
图形
性质 边 对边① 对边相等且平行 四条边② ,对边③ 四条边相等,对边平行
角 两组对角分别相等 四个角④ (都是直角) 两组对角分别相等 四个角相等(都是直角)
对角线 互相平分 互相平分且相等 互相⑤ 平分⑥ 互相平分且垂直,相等,平分一组对角
对称性 中心对称图形 既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴 既是中心对称图形,也是轴对称图形,有2条对称轴 既是中心对称图形,也是轴对称图形,有4条对称轴
对称中心 对角线的交点
周长 C=2(a+b) C=2(a+b) C=4a C=4a
面积 S=ah S=ab S=ah=mn S=a2=m2
知识点2 特殊四边形之间的关系
知识点3 中点四边形
温馨提示:(1)判断一个四边形的中点四边形形状的关键是判断其 ;
(2)中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和;
(3)中点四边形的面积是原四边形面积的一半.
【参考答案】①相等且平行　②相等　③平行　④相等　⑤平分且垂直
⑥一组对角　⑦平行四边形　⑧菱形　⑨矩形　⑩正方形
菱形　矩形　正方形　两条对角线的位置和数量关系
【自我诊断】
1.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是 ( )
A.AO=CO
B.AB=DC
C.∠DAB=∠BCD
D.AC=BD
2.如图,在 ABCD中,AB=BC=5,对角线BD=8,则 ABCD的面积为 ( )
A.20 B.24 C.40 D.48
3.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AB=2,∠AOB=60°,则AC的长度为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
4.下列说法:
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形;
(2)对角线相等的平行四边形是矩形;
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形;
(4)两组对角相等的四边形是平行四边形;
其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加相应的条件,则下列条件添加错误的是 ( )
A.(1)处可填∠A=90°
B.(2)处可填AD=AB
C.(3)处可填DC=CB
D.(4)处可填∠B=∠D
【参考答案】1.D　2.B　3.C　4.B　5.D
【真题精粹】
考向1 平行四边形的性质与判定(6年2考)
1.(2021·江西)如图,将 ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点E处,CE交AD于点F,若∠B=80°,∠ACE=2∠ECD,FC=a,FD=b,则 ABCD的周长为 .
考向2 矩形的性质与判定(6年3考)
2.(2018·江西)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AEFG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 .
3.(分类讨论)(2020·江西)如图,矩形纸片ABCD的长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点A落在点A'处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA',EA',不再添加其他线段.当图中存在30°角时,AE的长为　　　　　　cm.
4.(2019·江西)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OD.求证:四边形ABCD是矩形.
考向3 菱形的性质与判定(必考,常在圆的综合题中或几何探究题中出现)
5.(2022·江西)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE.
(1)求证:△ABC∽△AEB.
(2)当AB=6,AC=4时,求AE的长.
6.(2023·江西)课本再现
思考 我们知道,菱形的对角线互相垂直.反过来,对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗 可以发现并证明菱形的一个判定定理; 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
定理证明
(1)为了证明该定理,小明同学画出了图形(如图1),并写出了“已知”和“求证”,请你完成证明过程.
已知:在 ABCD中,对角线BD⊥AC,垂足为O.
求证: ABCD是菱形.
知识应用
(2)如图2,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,AD=5,AC=8,BD=6.
①求证: ABCD是菱形.
②延长BC至点E,连接OE交CD于点F,若∠E=∠ACD,求的值.
考向4 正方形的性质与判定(6年3考)　
7.(数学文化)(2019·江西)我国古代数学名著《孙子算经》有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.见方求斜,七之,五而一.”译文:如果正方形的边长为五,则它的对角线长为七.已知正方形的边长,求对角线长,则先将边长乘以七再除以五.若正方形的边长为1,由勾股定理得对角线长为,依据《孙子算经》的方法,则它的对角线的长是 .
8.(分类讨论)(2018·江西)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为 .
考向5 中点四边形
9.(拓展)如图,在任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是 ( )
A.当E,F,G,H是各边中点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形
B.当E,F,G,H是各边中点,且AC⊥BD时,四边形EFGH为矩形
C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形
D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形
【参考答案】1.4a+2b　2.3　3.或4或(8-4)　4.略
5.(1)略　(2)AE=9　6.(1)略　(2)①略　②=
7.1.4　8.2或2或-　9.D
【核心突破】
考点1 平行四边形的性质与判定
例题1 如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BD=2AB,AE∥BD,OE∥AB,AO=4,S四边形ABOE=4,则BD的长为 .
变式特训 1.如图,在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,DE=BF=3,EF⊥AD,若EF=8,AE=9,则AB的长为 ( )
A.6 B. C.9 D.10
2.如图,在 ABCD中,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,且∠ABE=∠CDF.
(1)探究四边形BEDF的形状,并说明理由.
(2)连接AC,分别交BE,DF于点G,H,连接BD交AC于点O.若=,AE=4,求BC的长.
考点2 矩形的性质与判定
例题2 如图,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BC,AD平分∠FAC,CD⊥AD于点D.求证:四边形AECD是矩形.
变式特训 3.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,AD=8 cm,AB=6 cm,将△ABO向右平移得到△DCE,则△ABO向右平移的过程中扫过的面积是( )
A.12 cm2 B.24 cm2
C.48 cm2 D.60 cm2
4.如图1,已知AD∥BC,AB∥DC,∠B=∠C.
(1)求证:四边形ABCD为矩形.
(2)如图2,M为AD的中点,N为AB的中点,连接CN,CM,MN,BN=2.若∠BNC=2∠DCM,求BC的长.
考点3 菱形的性质与判定
　　例题3 如图,在矩形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE∥BD,BE∥AC.
(1)求证:四边形AEBO是菱形.
(2)若AB=OB=2,求四边形AEBO的面积.
变式特训 5.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥AD,垂足为E,AC=8,BD=6,则OE的长为 .
6.如图,在菱形ABCD中,EF是AB的垂直平分线,∠FBA=50°,则∠ACB的度数为 .
7.如图,在等腰三角形ABC中,AD平分顶角∠BAC,交底边BC于点H,点E在AD上,BE=BD.求证:四边形BDCE是菱形.
考点4 正方形的性质与判定
　　例题4如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且满足△AEF是等边三角形,连接AC交EF于点G.
(1)求证:CE=CF.
(2)若等边△AEF的边长为2,求AC的长.
变式特训 8.如图,在正方形ABCD中,AB=4 cm,延长AB至点E,使BE=8 cm,F是DE的中点,求线段BF的长度.
9.(过程性学习)问题解决:一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数.
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
类比探究:如图2,若P是正方形ABCD外一点,PA=5,PB=2,∠APB=45°,求PC的长.
方法提炼
　　矩形、菱形、正方形的解题策略:
1.判断一个四边形是矩形、菱形和正方形时,要注意题中给出的前提条件是平行四边形还是任意四边形.
2.已知矩形、菱形和正方形,根据它们的性质,可以得到线段或角的数量关系和位置关系.
3.在解决矩形、菱形和正方形的问题时,注意对全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定的使用.
4.注意根据矩形、菱形和正方形的对称性来解决问题.
考点5 中点四边形
　　例题5如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,顺次连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形).
(1)四边形EFGH的形状是　　　　.
(2)当四边形ABCD的对角线满足　　　　的条件时,四边形EFGH是矩形.
(3)当四边形ABCD的对角线满足　　　　的条件时,四边形EFGH是菱形.
(4)当四边形ABCD的对角线满足　　　　的条件时,四边形EFGH是正方形,证明你的结论.
变式特训 10.(2023·山西)阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
　　我们知道,如图1,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,顺次连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形.
我查阅了许多资料,得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnon,Pierre 1654-1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:
证明:如图2,连接AC,分别交EH,FG于点P,Q,过点D作DM⊥AC于点M,交HG于点N.
∵H,G分别为AD,CD的中点,∴HG∥AC,HG=AC, (依据1)
∴=.∵DG=GC,∴DN=NM=DM.
∵四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,∴HE∥GF,即HP∥GQ.
∵HG∥AC,即HG∥PQ,
∴四边形HPQG是平行四边形, (依据2)
∴S HPQG=HG·MN=HG·DM.
∵S△ADC=AC·DM=HG·DM,∴=S△ADC,同理,…
任务:
(1)材料中的依据1是指: 　 .
依据2是指: 　 .
(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,并使得四边形EFGH为矩形.(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中,分别连接AC,BD得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC,BD的长度的关系,并证明你的结论.
【参考答案】例题1　2
变式特训
1.D
2.(1)四边形BEDF为平行四边形.理由略
(2)BC=16
例题2　略
变式特训
3.D
4.(1)略　(2)BC=4
例题3　(1)略　(2)四边形AEBO的面积=2
变式特训
5.　6.25°　7.略
例题4　(1)略　(2)AC=+1
变式特训
8.线段BF的长度为2 cm
9.问题解决:略
类比探究:PC=
例题5　(1)平行四边形　(2)互相垂直　(3)相等　(4)垂直且相等
变式特训
10.(1)三角形中位线定理;两组对边分别平行的四边形是平行四边形
(2)略
(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC+BD.理由略
2

展开更多......

收起↑