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构建5　解一元二次方程
命题分析
　　一元二次方程及其应用是初中数学的基础内容,在江西学考中,一般单独考查1道简单题,主要考查根与系数的关系,一元二次方程的定义及解法和根的判别式也偶尔出现,这类考题近6年都为选择题或填空题.一元二次方程的解法单独考查较少,通常融合在抛物线与坐标轴或直线的交点问题中.
【知识清单】
知识点1 一元二次方程的相关概念
一元二次方程 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
一般 形式 ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0),其中ax2,bx,c分别叫做二次项,一次项,常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数
解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,也叫做一元二次方程的根
知识点2 一元二次方程的解法
一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)
直接开 平方法 形如=n的方程,可直接开方求解,则x=±-m
因式 分解法 可化为a(x+m)(x+n)=0的方程,用因式分解法求解,则x1=-m,x2=-n
公式法 将一元二次方程的一般式中的系数a,b,c的值直接代入求根公式x=(b2-4ac≥0),就可以得到方程的根
配方法 若ax2+bx+c=0不易于分解因式,可考虑配方为a(x+h)2=k,再直接开方求解,配方法的关键是先将二次项系数化为1,再将方程两边加上一次项系数一半的平方
知识点3 一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程根的判别式:我们把b2-4ac叫做关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,用符号“Δ”表示.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x1,x2,那么x1+x2=-,x1·x2=.
推论1:如果方程x2+px+q=0的两个实数根分别是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.
推论2:以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
技巧提示:利用根与系数关系的前提是原方程的Δ≥0.
【自我诊断】
1.下列方程是一元二次方程的是 ( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2+3x-1=x2-4
C.x(x-1)=0 D.x+=2
2.一元二次方程3x2-2x=1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 ( )
A.3、2、1 B.3、-2、1
C.3、-2、-1 D.-3、2、-1
3.用配方法解方程x2-8x+2=0,则方程可变形为 ( )
A.(x-4)2=6 B.(x-8)2=18
C.(x-4)2=18 D.(x-4)2=14
4.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,则实数k的取值范围是 .
5.若一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根分别为a,b,则a-ab+b的值为 .
【参考答案】1.C　2.C　3.D　4.k≤1且k≠0　5.5
【真题精粹】
考向1 一元二次方程的解法
1.(过程性学习)小明在解方程x2-5x=1时出现了错误,解答过程如下:
解:∵a=1,b=-5,c=1,……第一步
∴b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,……第二步
∴x=,……第三步
∴x1=,x2=.……第四步
(1)小明的解答过程是从第　　　　步开始出错的,其错误原因是　　　　　　.
(2)写出此题正确的解答过程.
考向2 一元二次方程根的判别式(6年1考)
2.(2022·江西)关于x的方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为 .
考向3 一元二次方程根与系数的关系(6年4考)
3.(2020·江西)若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 .
4.(2021·江西)已知x1,x2分别是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根,则x1+x2-x1x2= .
5.(2019·江西)设x1,x2分别是一元二次方程x2-x-1=0的两个根,则x1+x2+x1x2= .
6.(2018·江西)一元二次方程x2-4x+2=0的两根分别为x1,x2,则-4x1+2x1x2的值为 .
热点预测
7.若关于x的一元二次方程x2-x+m=0的一个根是x=-4,则该方程的另外一个根是 .
【参考答案】1.(1)一;原方程没有化成一般形式　(2)略
2.1　3.x=-2　4.1　5.0　6.2　7.x=6
【核心突破】
考点1 解一元二次方程
一题多解
　　例题1 按下面的要求解方程x2+5x+4=0.
配方法:
公式法:
因式分解法:
解题指南
　　注意在使用公式法时,先要将一元二次方程化为一般式,即ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,其次计算根的判别式Δ:①Δ>0,方程有两个不相等的实数根;②Δ=0,方程有两个相等的实数根;③Δ≥0,方程有实数根;④Δ<0,方程没有实数根.
考点2 一元二次方程根与系数的关系
　例题2已知x1,x2分别是一元二次方程2x2-x-6=0的两个根,则x1x2= .
　　例题3设a,b分别为一元二次方程x2-x-3=0的两个实数根,则a-2a2-b= .
变式特训 已知一元二次方程x2-3x+1=0的两个实数根分别为a,b,则代数式5-a2b-ab2的值为 .
【参考答案】例题1　配方法:略　公式法:略
因式分解法:略
例题2　-3
例题3　-7
变式特训　2
2

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