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构建6　方程(组)与不等式的实际应用
命题分析
　　在真实的情境中,通过等量关系列方程或方程组求未知数,通过不等量关系列不等式求未知数的取值范围,会出现在各种题型中,但按照课标要求一般不会有列不等式组解决实际问题的题目,可能会与函数或统计等实际应用问题相结合,这一特点在2024年的中考仍将延续.
【真题精粹】
考向1 行程问题
1.(2019·江西)斑马线前“车让人”的交通规则,不仅体现着一座城市对生命的尊重,也直接反映着城市的文明程度.如图,这是某路口的斑马线路段A-B-C横穿双向行驶车道,其中AB=BC=6米,在绿灯亮后,小明共用11秒通过AC段,其中通过BC段速度是通过AB段速度的1.2倍,求小明通过AB段时的速度.设小明通过AB段时的速度是x米/秒,根据题意可列方程:_______________________________________________.
考向2 购买问题
2.(数学文化)(2018·江西)中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一,其中有一问题:“今有牛五、羊二,直金十两.牛二、羊五,直金八两.问牛、羊各直金几何 ”译文:今有牛5头,羊2头,共值金10两.牛2头,羊5头,共值金8两.问牛、羊每头各值金多少 设牛、羊每头各值金x两、y两,依题意,则可列出方程组:　 .
3.(2023·江西)今年植树节,某班同学共同种植一批树苗,若每人种3棵,则剩余20棵;若每人种4棵,则还缺25棵.
(1)求该班的学生人数.
(2)这批树苗只有甲、乙两种,其中甲种树苗每棵30元,乙种树苗每棵40元.购买这批树苗的总费用没有超过5400元,请问至少购买了甲种树苗多少棵
4.(2020·江西)放学后,小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买笔芯和卡通笔记本,这种笔芯每盒10支,整盒买比单支买每支可优惠0.5元.小贤要买3支笔芯,2本笔记本,需花费19元;小艺要买7支笔芯,1本笔记本,需花费26元.
(1)求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格.
(2)小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品,但如果他们各自为要买的文具付款后,只有小贤还剩2元钱.他们要怎样做才能既买到各自的文具,又都买到小工艺品 请通过计算说明.
5.(2021·江西)甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,甲用2400元购买的商品比乙用3000元购买的商品数量少10件.
(1)求这种商品的单价.
(2)甲、乙两人第二次再去采购该商品时,每件价格都降低了20元,甲购买商品的总价与上次相同,乙购买商品的数量与上次相同,则甲两次购买这种商品的平均价格是 元/件,乙两次购买这种商品的平均价格是 元/件.
(3)生活中,无论油价如何变化,有人总按相同金额加油,有人总按相同油量加油,结合(2)的计算结果,建议按相同 加油更划算.(填“金额”或“油量”)
【参考答案】1.+=11　2.
3.(1)该班的学生人数为45　(2)至少购买了甲种树苗80棵
4.(1)笔记本的单价为5元,单独购买一支笔芯的价格为3元
(2)略
5.(1)这种商品的单价为60元　(2)48;50　(3)金额
【核心突破】
考点1 根据数量关系列方程或不等式
　　例题1 在数学课上,老师展示了下列问题,请同学们分组讨论解决的方法.
中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有这样一个问题:“今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人和车各几何 ”大意:今有若干人乘车.若每3人乘一辆车,则余2辆空车;若每2人乘一辆车.则余9人需步行.问共有多少辆车 多少人
某小组选择用一元一次方程解决问题,设共有x辆车,请补全他们的分析和解答过程.
(1)由“若每3人乘一辆车,则余2辆空车”,可得人数为　　　　.(用含x的式子表示)
(2)由“若每2人乘一辆车,则余9人需步行”可得人数为　　　　.(用含x的式子表示)
(3)根据两种乘车方式的人数相等,列出方程:　　　　.
(4)写出解方程的过程.
解题指南
　　“盈不足”问题通常列一元一次方程解答,一般把所求的两个量中较小的设为未知数,使方程中出现乘法关系,而非除法关系,便于解答.
【等量关系】
每车人数×车数=乘车人数
【等量关系变形】
每车人数×车数+步行人数=总人数
方案一的总人数=方案二的总人数
变式特训 1.(核心素养)“一粒米千滴汗,粒粒粮食汗珠换”.为抵制餐饮浪费行为,某送餐公司推出了“半份餐”服务,餐量是整份餐的一半,价格也是整份餐的一半,整份餐的单价为10元,希望中学每天中午从该送餐公司订200份午餐,其中半份餐订x(0A.y=-5x+2000
B.y=5x+1000
C.y=-5x+1000
D.y=5x+2000
2.受第24届北京冬季奥林匹克运动会的影响,小勇爱上了雪上运动.一天,小勇在滑雪场训练滑雪,第一次他从滑雪道A端以平均(x+2)米/秒的速度滑到B端,用了24秒;第二次从滑雪道A端以平均(x+3)米/秒的速度滑到B端,用了20秒.
(1)求x的值.
(2)设小勇从滑雪道A端滑到B端的平均速度为v米/秒,所用时间为t秒,请用含t的代数式表示v(不要求写出t的取值范围).
考点2 行程问题
　　例题2电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发,相向而行,磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时,半小时后两车相遇.问两车的速度各是多少
试题分析:①设电气机车的速度为x千米/时,则磁悬浮列车的速度为　　　　千米/时.
②根据题意列方程,得　　　　.
③完成后续的解题步骤.
变式特训 3.(真情境)坐火车从玉山县到南昌市可以选择普快列车,也可以选择“和谐号”动车,两条铁路线途经各站点的距离都相同.春运期间加开了一列普快列车和一列“和谐号”动车,火车时刻表如图所示,两车都准点抵达,准点驶离沿途各站.已知玉山县到南昌市的铁路线全长288 km,从玉山县到南昌市,普快列车比动车慢128 min,各站点之间两车行驶的平均速度不变.
(1)动车的平均速度是多少
(2)动车几点抵达南昌市
4.如图1,A1B1和A2B2是水面上相邻的两条赛道(可看成两条互相平行的线段).甲是一名游泳健将,乙是一名游泳爱好者,甲在赛道A1B1上从A1处出发,到达B1后,以同样的速度回到A1处,然后重复上述过程;乙在赛道A2B2上以1.5 m/s的速度从B2处出发,到达A2后,以相同的速度回到B2处,然后重复上述过程(不考虑每次折返时的减速和转向时间).若甲、乙两人同时出发,设到池边B1B2的距离为y(m),运动时间为t(s),甲游动时,y(m)与t(s)的函数图象如图2所示.
(1)赛道的长度是　　　m,甲的速度是　　　m/s;当t=　　　s时,甲、乙两人第一次相遇,当t=　　　s时,甲、乙两人第二次相遇.
(2)求第三次相遇时,两人到池边B1B2的距离.
考点3 购买问题
　　例题3 (文化自信)为了弘扬我国书法艺术,培养学生良好的书写能力,某校举办了书法比赛,学校准备为获奖同学颁奖.在购买奖品时发现,A种奖品的单价比B种奖品的单价多10元,用300元购买A种奖品的数量与用240元购买B种奖品的数量相同.设B种奖品的单价是x元,则可列分式方程:　 .
变式特训 5.永远跟党走,奋进新征程.某班国庆期间决定去井冈山革命老区研学旅行,研学基地有甲、乙两种快餐可供选择,买1份甲种快餐和2份乙种快餐共需70元,买2份甲种快餐和3份乙种快餐共需120元.
(1)买一份甲种快餐和一份乙种快餐各需多少元
(2)已知该班购买甲、乙两种快餐共55份,所花的快餐费不超过1280元,问至少买乙种快餐多少份
考点4 销售问题　
　　例题4临近春节的前三个月,某干果店迎来了销售旺季,第一个月的销售额为8万元,第三个月的销售额为11.52万元.设销售额的月平均增长率为x,则根据题意,以下方程正确的为 ( )
A.8(1+2x)=11.52
B.2×8(1+x)=11.52
C.8(1+x)2=11.52
D.8(1+x2)=11.52
变式特训 6.某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸的产量比3月份的2倍少100吨.
(1)求4月份再生纸的产量.
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元,5月份再生纸的产量比上月增加了m%,且5月份每吨再生纸的利润比上月增加了%,则5月份再生纸项目的月利润达到66万元.求m的值.
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元,4至6月份每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸的产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目的月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润.
考点5 说理决策问题
例题5 (2023·宜春模拟)为庆祝“元旦”,光明学校统一组织合唱比赛,七、八年级共92人(其中七年级的人数多于八年级的人数,且七年级的人数不足90人)准备统一购买服装参加比赛.下表是某服装厂给出的服装的价格表:
购买服装 的套数 1套至45套 46套至90套 91套及以上 (含91套)
每套服装 的价格 60元 50元 40元
(1)如果两个年级单独购买服装一共应付5000元,问七、八年级各有多少学生参加合唱比赛
(2)如果七年级参加合唱比赛的学生中,有10名同学被调去参加绘画比赛,不能参加合唱比赛,请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装的方案.
变式特训 7.(2023·南昌模拟)已知A型车和B型车载满货物一次可运货情况如下表.某物流公司现有35吨货物,计划同时租用A型车a辆,B型车b辆,一次运完且恰好每辆车都载满货物.根据以上信息,解答下列问题.
A型车/辆 B型车/辆 共运货/吨
3 2 19
2 3 21
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨
(2)请你帮该物流公司设计租车方案.
(3)若A型车每辆需租金300元/次,B型车每辆需租金320元/次,请选出最省钱的租车方案,并求出最少的租车费.
考点6 与图形相关的应用
　　例题6 (文化自信)《千里江山图》是宋代王希孟的作品.如图,它的局部画面装裱前是一个长为2.4米,宽为1.4米的矩形,装裱后,整幅图画宽与长的比是8∶13,且四周边衬的宽度相等,则边衬的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米,根据题意,以下方程正确的为( )
A.=
B.=
C.=
D.=
变式特训 8.六张完全相同的小矩形纸片C与A,B两张矩形纸片恰好能拼成一个长为50、宽为m的大矩形,部分数据如图所示.
(1)若n=8,则矩形纸片A的水平边长为　　　　.
(2)请用含m,n的代数式表示矩形纸片A的周长:　　　　.
(3)若矩形纸片A,B的面积相等,求n的值.
【参考答案】例题1　(1)3(x-2)　(2)2x+9　(3)3(x-2)=2x+9　(4)略
变式特训
1.A
2.(1)x的值为3　(2)v=
例题2　①(5x+20)　②[x+(5x+20)]=298　③略
变式特训
3.(1)288 km/h　(2)上午11:02抵达南昌市
4.(1)50;2;;　(2) m
例题3　=
变式特训
5.(1)购买一份甲种快餐需要30元,购买一份乙种快餐需要20元
(2)至少购买乙种快餐37份
例题4　C
变式特训
6.(1)4月份再生纸的产量为500吨　(2)20　(3)1500元
例题5　(1)八年级有40人,七年级有52人参加合唱比赛
(2)最省钱的购买服装的方案是买91套演出服
变式特训
7.(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨,1辆B型车载满货物一次可运货5吨
(2)方案1:租用A型车5辆,B型车4辆
方案2:租用A型车10辆,B型车1辆
(3)最省钱的租车方案是租用A型车5辆,B型车4辆,最少的租车费为2780元
例题6　D
变式特训
8.(1)26　(2)100+2m-12n　(3)n=或n=50(舍去)
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