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提分微专题　函数图象与系数的关系
类型1 一次函数图象与系数的关系
　　模型分析　一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与系数的关系
代数意义:当k>0时,图象经过第一、三象限,当k<0时,图象经过第二、四象限;
当b>0时,与y轴交于正半轴,当b<0时,与y轴交于负半轴.
几何意义:平面直角坐标系中有3条直线,解析式为y1=k1x+b1;y2=k2x+b2;y3=k3x+b3.①当k1=k2时,两直线平行;反之两直线平行,k1=k2.②当k1·k3=-1时,两直线垂直;反之两直线垂直,k1·k3=-1.
一题多设问
　　例题1 已知一次函数y=(a+8)x+(6-n).
(1)当a、n为何值时,y随x的增大而增大
(2)当a、n为何值时,函数的图象经过第一、二、四象限
(3)当a、n为何值时,函数的图象经过原点
(4)当a、n为何值时,一次函数y=(a+8)x+(6-n)与y=-2x-5平行
(5)当a、n为何值时,一次函数y=(a+8)x+(6-n)与y=-2x-5垂直
(6)若a=n时,无论a为何值,是否存在一次函数y=(a+8)x+(6-n)的图象始终经过某一定点 若存在,求出该定点坐标;若不存在,说明理由.
变式特训 1.若一次函数y=(2m+1)x-m+3的图象不经过第四象限,则m的取值范围是 ( )
A.m>- B.m<3
C.-2.已知直线y=kx+b经过第一、二、四象限,则直线y=bx-k的图象只能是 ( )
A　　　　B
C　　　　D
3.如图,这是光从空气进入水中入水前与入水后的光路图,若按下图建立坐标系,并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1=k1x,y2=k2x,则关于k1与k2的关系,
下列正确的是 ( )
A.k1>0,k2<0
B.k1>0,k2<0
C.<
D.>
类型2 反比例函数图象与系数k的关系
　　模型分析　反比例函数y=的k除了决定图象的位置外,还有它的几何意义要关注,如图,
过双曲线上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN,所得的矩形PMON的面积S=×=k,因为y=,所以xy=k,所以S=.注意反比例函数图象上的点(x,y)具有两坐标之积为常数这一特点,在解题时要注意它的演变图形(三角形).连接OP,所得△POM的面积等于,也是一个定值,即矩形PMON面积的一半.
　　例题2 关于反比例函数y=.
(1)若k=-3时.
①下列说法错误的是 ( )
A.函数的图象在第二、四象限
B.函数的图象与坐标轴没有交点
C.y的值随x值的增大而减小
D.函数的图象关于原点对称
②已知点A(-1,y1),B(-3,y2),C(3,y3)在函数y=-的图象上,比较y1,y2,y3的大小: .(用“<”连接)
③若反比例函数y=-的图象与直线y=ax(a≠0)相交于A(3,n),B两点,则点B的坐标为 .
(2)如图,点A、C为反比例函数y=(x<0)图象上的点,过点A、C分别作AB⊥x轴,CD⊥x轴,垂足分别为B、D,连接OA、AC、OC,线段OC交AB于点E,E恰好为OC的中点,下列说法不正确的是 ( )
A.S△ABO=S△DOC=
B.S四边形CDBE=S△AEO
C.点C的坐标为m,,则点Em,
D.当△AEC的面积为6时,k的值为-8
方法提炼
　　反比例函数的函数值的大小比较方法:一是代入计算法,即将自变量的值代入分别求解相应函数值,进而判断大小;二是图象法,根据反比例函数的增减性来判断,但要注意所比较的点是否在同一象限内;三是描点画图法,即根据相关点的坐标在函数图象上描出相应点,进而根据所描点位置的高低进而判断大小.
　　利用反比例函数中k的几何意义求解反比例函数的解析式,即反比例函数图象上的点(x,y)两坐标之积为常数(xy=k),即过双曲线上任一点,向两坐标轴作垂线,两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积为常数=k,同时要注意它的演变图形(三角形),解题时要注意点的坐标与线段长之间的转化.
变式特训 4.(2023·南昌模拟)点(-2,y1),(-1,y2),(1,y3),(2,y4)都在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3,y4中最小的是 ( )
A.y1 B.y2 C.y3 D.y4
5.如图,过反比例函数y=(x>0)的图象上一点A作AB⊥y轴交反比例函数y=(x<0)的图象于点B,连接OA,OB,若S△OAB=4,则k的值为 ( )
A.8 B.6 C.-8 D.-6
6.如图,满足函数y=kx-k和y=(k≠0)的大致图象是 ( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
7.如图,矩形OABC被三条直线分割成六个小矩形,D、E是CO边上的三等分点,反比例函数y=(k≠0)的图象刚好经过小矩形的顶点F、G,若图中的阴影矩形面积S1+S2=5,则反比例系数k的值为 .
8.已知直线y=x-3交反比例函数y=的图象于点A(a,2),交y轴于点B,C是线段AB上的动点,CD平行于y轴交反比例函数图象于点D,AD=AC.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求△ACD的面积.
(3)直接写出+3≤x的解集.
9.如图,反比例函数y1=(k≠0)的图象与矩形OABC的边AB,BC分别交于点E,D,点E与点G关于原点中心对称,过点D,G的直线y2=mx+n交x轴于点F,S△CDF=3.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)连接DE,AC,求证:DE∥AC.
类型3 二次函数图象与系数a,b,c的关系
　　模型分析　近几年的中考中,常在二次函数中引入字母系数,借助字母系数的变化,在动态中构建二次函数的图象,通过观察与发现二次函数图象与性质(开口方向、抛物线与坐标轴交点坐标、距离等)之间的变与不变,探究相关图形(点、线段、四边形)的位置、大小及形状.
系数 作用 字母符号 图象特征
a 决定开口方向与最值 a>0 开口向上,有最小值
a<0 开口向下,有最大值
决定开口大小 越大开口越小,越小开口越大
c 决定抛物线与y轴交点的位置,交点坐标为(0,c) c>0 交点在y轴正半轴
c=0 过原点
c<0 交点在y轴负半轴
b 决定对称轴的位置,对称轴是直线 x=- a,b同号 对称轴交于x轴的负半轴
a,b异号 对称轴交于x轴的正半轴
b=0 对称轴为y轴
　　例题3 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示,下列四个命题:①abc>0;②2a+b=0;③若A(x1,2),B(x2,3)是该抛物线上的两点,则x1A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解题指南
　　二次函数的图象特征注意分别从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x轴有无交点、与y轴交点及对称轴的位置,进而确定a,b,c及b2-4ac的符号.解题关键是从图象中获取信息,运用数形结合思想与直观想象素养来分析函数图象与各项系数之间的内在联系.
变式特训 10.已知二次函数y=x2+ax+a-2.
(1)求证:无论实数a为何值时,此函数的图象与x轴总有两个交点.
(2)设a<0,当此函数图象与x轴的两个交点的距离为时,求出此二次函数的解析式.
11.已知抛物线C1:y=ax2-4ax-5(a>0).
(1)当a=1时,求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴.
(2)①试说明无论a为何值,抛物线C1一定经过两个定点,并求出这两个定点的坐标.
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折,得到抛物线C2,直接写出C2的表达式.
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2,求a的值.
方法提炼
　　求函数图象过定点的方法一:分离字母系数法
1.对含有相同字母系数的项,提取字母系数作为一个因式.
2.让除字母系数外的其他因式为0,求解自变量x的值.
3.将自变量x的值代入函数求解y,从而得到定点(x,y).
求函数图象过定点的方法二:字母系数取两个特殊值法
1.给字母系数分别取两个特殊值.
2.将系数的特殊值代入函数关系式得到有关x,y的方程组.
3.求解有关x,y的方程组的解.
4.进而得到对应定点坐标(x,y).
【参考答案】例题1　(1)a>-8,n为任意实数　(2)a<-8且n<6
(3)a≠-8且n=6　(4)a=-10,n≠11
(5)a=-7.5　(6)存在,(1,14)
变式特训
1.D　2.B　3.C
例题2　(1)①C　② y3变式特训
4.B　5.D　6.B　7.10
8.(1)y=　(2)18　(3)x≥10或-4≤x<0
9.(1)y=　(2)略
例题3　B
变式特训
10.(1)略　(2)y=x2-x-3
11.(1)对称轴为直线x=2,抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)或(5,0)
(2)①(0,-5),(4,-5)　②y=-ax2+4ax-5
(3)或
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