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提分微专题　全等三角形的四大常考模型
类型1 平移型
例题1
模型分析　把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到的△DEF与△ABC称为平移型全等三角形.图1,图2是常见的平移型全等三角形.在证明平移型全等的试题中,常常要碰到移动方向的边加(减)公共边.如图1,若BE=CF,则BE+EC=CF+CE,即BC=EF.如图2,若BE=CF,则BE-CE=CF-CE,即BC=EF.
1.如图,点A,D,B,E在一条直线上,AD=BE,AC=DF,AC∥DF.求证:BC=EF.
类型2 轴对称型
模型分析　将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称为翻折型全等三角形(如图).此类图形中要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等.
2.如图,在五边形ABCDE中,F为CD上一点,连接AF.
(1)若AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD,求证:F为CD的中点.
(2)若AB=AE,∠B=∠E,AF平分∠BAE,AF⊥CD,求证:F为CD的中点.
类型3 旋转型
模型分析　将三角形绕公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型三角形.识别旋转型三角形时,如图1,涉及对顶角相等;如图2,涉及等角加(减)等角的条件.
条件:△OAB,△OCD均为等腰三角形,∠AOB=∠COD.
结论:①△OAC≌△OBD;②AC=BD;③∠AEB=∠AOB;④OE平分∠AED(或∠AED的外角);⑤点E在△OBD的外接圆上.
3.如图,已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°.
(1)求证:AD=CE.
(2)猜想:AD和CE是否垂直 若垂直,请说明理由;若不垂直,则只要写出结论,不用写理由.
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形.
(1)将△ADE绕点A旋转到图1的位置时,连接BD,CE并延长相交于点P(点P与点A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立,请证明.
(2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间的数量关系,并加以证明.
(3)将△ADE绕点A旋转到图3的位置时,连接BD,CE相交于点P,连接PA,猜想线段PA、PB、PC之间的数量关系.直接写出结论,不需要证明.
类型4 一线三等角型
模型分析　如图1,∠D=∠BAC=∠E,AB=AC,则△ADB≌△CEA.
如图2,∠BAC=∠BDF=∠CEF,AB=AC,则△ADB≌△CEA.
特殊的三垂直情况:
如图3,AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE,AB⊥AC,则△ADB≌△CEA.
5.如图,△ABC为等边三角形,D,E,F分别为AB,BC,AC上的点,∠DEF=60°,BD=CE,求证:BE=CF.
6.如图,向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG,过点A作AH⊥BC于点H,AH的反向延长线与EG交于点P.
求证:BC=2AP.
【参考答案】
1.略　2.略　3.(1)略　(2)垂直.理由略
4.(1)略　(2)PB=PA+PC.证明略　(3)PA+PB=PC
5.略　6.略
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