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提分微专题　隐形圆问题
类型1 四点共圆
模型分析　在图1中,∠A+∠C=180°或∠B+∠D=180°A,B,C,D四点共圆.
在图2中,∠ENF=∠EMFE,F,M,N四点共圆.
1. 综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动,得出结论:对角互补的四边形四个顶点共圆.小明继续利用上述结论进行探究.
【提出问题】
如图1,在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C,D四点在同一个圆上.
【探究展示】
如图2,作经过点A,C,D的☉O,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合),连接AE,CE,则∠AEC+∠D=180°.(依据1)
∵∠B=∠D,∴∠AEC+∠B=180°,∴A,B,C,E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆),∴点B,D在点A,C,E所确定的☉O上,(依据2)
∴点A,B,C,D四点在同一个圆上.
【反思归纳】
(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么
依据1:　　　　.
依据2:　　　　.
【拓展延伸】
(2)如图3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△ANM,旋转角为α(0<α<90°),连接CM交BN于点D,连接BM.小明发现,旋转过程中,D始终为BN的中点,为验证结论,小明连接AD,判断A,D,B,C四点共圆后得出结论.
①请你帮小明证明ND=DB;
②当△BDM为直角三角形,且BN=4时,请直接写出BC的长.
解题指南
类型2 定点、定长作圆
模型分析
如图,OA=OB=OC=2,则点A,B,C在以点O为圆心,以2为半径的圆上.
2. 阅读下列材料,并完成相应学习任务:
我们知道,圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合,而弧、弦、圆心角、圆周角的关系又是论证同圆或等圆中弧、角、线段之间关系的主要依据,因而在几何问题中,当已知条件中有共端点的几条线段相等时,可以通过构造辅助圆的方法.达到转化和联系角的目的.
如图1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD.
求证:∠1+∠2=90°.
学习任务:
(1)材料中画横线部分的“依据1”和“依据2”分别是(请填写出定理的具体内容)
依据1:　　　　.
依据2:　　　　.
(2)用材料中提供的方法,解决下面问题:如图4,在△ABC中,AB=AC,AD与AB关于直线AM对称(点B的对应点为D),CD与AM交于点N,求证:∠1=∠2.
解题指南
3.圆的定义:在同一平面内,到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形.
(1)如图1,OA=OB=OC,请利用圆规画出过A、B、C三点的圆.若∠AOB=70°,则∠ACB=　　　　.
(2)在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BCA=30°,AB=2.
①如图2,P为 AC边的中点,将AC沿BA方向平移2个单位长度,点A,P,C的对应点分别为点D,E,F,求四边形BDFC的面积.
②如图3,将AC边沿BC方向平移a个单位长度至DF,是否存在这样的a,使得直线DF上有一点Q,满足∠BQA=45°,且此时四边形BADF的面积最大 若存在,求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a;若不存在,请说明理由.
类型3 定弦对定角作圆
模型分析　若∠P 保持不变,∠P 所对的边长为 d 保持不变,则∠P 的顶点 P 的轨迹为圆弧.(简称:定边对定角)
4.如图,在正方形 ABCD 中,AD=2,E,F 分别为边 DC,CB 上的动点,且始终保持 DE=CF,连接 AE 和 DF 交于点 P,则线段 CP 的最小值为 .
解题指南
　　 △ADE≌△DCF ∠APD=90°保持不变 点P的轨迹为以AD为直径的一段弧 点到圆上的距离最短问题
5.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知B(0,14),C(2,0),E(8,0),P为x轴上方的点,连接EP,CP,我们约定:线段CE所对的∠CPE叫做线段CE的张角,把经过C,E,P三点的圆叫作线段CE的张角圆.
(1)如果CE为张角圆的直径,那么CE的张角∠CPE=　　　　 °.
(2)如果CE的张角∠CPE=45°,求线段CE的张角圆的半径.
(3)已知当点P在OB上存在最大的张角∠CPE时,求出点P的坐标.
(4)M是(3)的张角圆上的动点,A是线段BM的中点,连接OA,求AO的取值范围.
6.【教材呈现】下面是华师大版九年级下册数学教材第43页的部分内容.
圆周角定理　在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于该弧所对的圆心角的一半;相等的圆周角所对的弧相等.
由圆周角定理,可以得到以下推论:推论1　90°的圆周角所对的弦是直径.(如图1)
【推论证明】已知:△ABC的三个顶点都在☉O上,且∠ACB=90°.
求证:线段AB是☉O的直径.
请你结合图2写出推论1的证明过程.
【深入探究】如图3,点A,B,C,D均在半径为1的☉O上,若∠ACB=90°,∠ACD=60°,则线段AD的长为　　　　 .
【拓展应用】如图4,△ABC是等边三角形,以AC为底边在三角形ABC外作等腰直角三角形ACD,E是BC的中点,连结DE.若AB=2,则DE的长为　　　　 .
【参考答案】
1.(1)依据1:圆内接四边形对角互补.
依据2:过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆.
(2)①略　②
2.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半;直径或半圆所对的圆周角是直角
(2)略
3.(1)35°　(2)①6　②存在.四边形BADF的最大面积=4+2
4.-1
5.(1)90　(2)3　(3)P(0,4)
(4)-≤OA≤+
6.【推论证明】略
【深入探究】
【拓展应用】1+
2

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