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提分微专题　中点的妙用
类型1 三角形的中位线
例题1
模型分析　在三角形中,如果有中点,可构造三角形的中位线,利用三角形中位线的性质定理:DE∥BC,且DE=BC来解题.中位线定理中既有线段之间的位置关系又有数量关系,该模型可以解决角问题,线段之间的倍半、相等及平行问题.
1.如图,在△ABC中,AB=AC,延长AB到点D,使BD=AB,取AB的中点E,连接CD和CE.求证:CD=2CE.
2.如图,在△ABC中,AC>AB,点D在AC上,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGF的形状并证明.
类型2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
模型分析　在直角三角形中,当遇见斜边中点时,经常会作斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即CD=AB,来证明线段间的数量关系,而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD.该模型经常会与中位线定理一起综合应用.
3.如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,M为BC的中点,AB=10,则DM的长度是 .
类型3 等腰三角形中的“三线合一”
模型分析　如图,在等腰三角形ABC中,D为BC的中点.等腰三角形中有底边中点时,常作底边的中线,利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等,为解题创造更多的条件,当看见等腰三角形的时候,就应想到 “等边对等角、等角对等边、三线合一”.
4.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,且∠ABC=2∠C.求证:CD=AB+BD.
类型4 线段的垂直平分线
模型分析　在△ABC中,DE垂直平分BC,连接BE,由垂直平分线的性质即可得到BE=CE.
出现线段垂直平分线时,往往在线段垂直平分线上利用已知点(或构造点)与线段两端连线,得到相等线段构成等腰三角形.
5.如图,在△ABC中,∠B=45°,D是边BC的中点,DE⊥BC于点D,交AB于点E,连接CE.
(1)求∠AEC的度数.
(2)请你判断AE,BE,AC三条线段之间的数量关系,并证明你的结论.
类型5 倍长中线法构造全等三角形
模型分析　1.如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使DE=AD,易证:△ADC≌△EDB(SAS).
2.如图2,D是BC的中点,延长FD至点E,使DE=FD,易证:△FDB≌△EDC(SAS).
当遇见中线或者中点的时候,可以尝试倍长中线或类中线,构造全等三角形,目的是对已知条件中的线段进行转移.
6.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,M为BC的中点,求证:DE=2AM.
【参考答案】
1.略　2.△AGF是等边三角形.证明略　3.5　4.略
5.(1)∠AEC=90°　(2)AE2+EB2=AC2.证明略
6.略
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