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提分微专题　相似三角形的五大常考模型
类型1 平行线型(“A”型, “X”型相似)
例题1
模型分析　如图1、图2,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图1为“A”型,图2为“X”型,故称之为平行线型相似三角形.
1.如图,
在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连接DE交AC于点G,交BC于点F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对.
2.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,∠ABE=∠AED,且AB=6,AC=9,则CE的长为 .
3.如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,点E在CD上,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:△ADE∽△FCE.
(2)若AB=4,AD=6,CF=2,求DE的长.
类型2 不平行型(斜交型相似)
模型分析　如图1、图2,若∠AED=∠B,则△AED∽△ABC,称之为斜交型相似三角形.
4.如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC.
(2)若AD=BE=4,AE=3,求CD的值.
5.如图,小明画了一个锐角△ABC,并作出了它的两条高AD和BE,两高相交于点P.小明说图形中共有两对相似三角形,他说的对吗 请你判定一下,如果正确,就其中的一对进行证明.
类型3 子母型
模型分析　已知∠1=∠2,结论:△ACD ∽△ABC.
在右图中,我们不仅要熟悉模型,还要熟记模型的结论,有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系,我们要能快速判断题中的相似三角形,模型中由△ACD ∽△ABC进而可以得到AC2=AD·AB.
6.如图,在△ABC中,P为AB上一点,则在下列四个条件中:①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB;③∠CAP=∠BAC;④=.其中能确定△APC和△ACB相似的是 (只填写序号).
7.如图,在△ABC中,AB=4,BC=8,D为BC边上一点,BD=2.
(1)求证:△ABD∽△CBA.
(2)作DE∥AB交AC于点E,请再写出另一个与△ABD相似的三角形,并直接写出DE的长.
类型4 一线三等角型
模型分析　已知:如图1,2,3中,∠B=∠ACE=∠D.
结论:△ABC∽△CDE.
如图1,∵∠ACE+∠DCE=∠B+∠A,又∵∠B=∠ACE,∴∠DCE=∠A,
∴△ABC∽△CDE.图2,3同理可证△ABC∽△CDE.
在一线三等角的模型中,难点在于当已知三个相等的角的时候,容易忽略隐含的其他相等的角,此模型中的三垂直相似应用较多,当看见该模型的时候,应立刻能看出相应的相似三角形.
8.在 ABCD中,AB=6,BC=8,E为BC上一点.
(1)如图1,F为AB上一点,∠DEF=∠B=90°,=2.当BE>CE时,求证:DE=EF.
(2)如图2,F为AB上一点,∠DEF=∠B=60°.当△DEF为直角三角形时,求AF的长.
9.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P为BC的中点,小明拿着含有30°角的透明直角三角板,使30°角的顶点落在点P上,三角板绕P点旋转.
(1)如图1,当三角板的一直角边和斜边分别与AB,AC交于点E,F时,连接EF,请说明△BPE∽△CFP.
(2)操作:将三角板绕点P旋转到图2情形时,三角板的两边分别交BA的延长线,边AC于点E,F,连接EF.
①探究1:△BPE与△CFP相似吗 请说明理由.
②探究2:△BPE与△PFE相似吗 请说明理由.
类型5 旋转型
模型分析　条件:CD∥AB(△OCD∽△OAB),将△OCD 旋转至右图位置.
结论:右图中①△OCD∽△OAB;△OAC∽△OBD; ②延长 AC 交 BD 于点 E,必有∠AEB=∠AOB;③点 E 在△OAB 的外接圆上.
10.如图,△ABC和△DBE的顶点B重合,∠ABC=∠DBE=90°,∠BAC=∠BDE=30°,BC=3,BE=2.
(1)特例发现:如图1,当点D,E分别在AB,BC上时,可以得出结论:=　　　　,直线AD与直线CE的位置关系是　　　　.
(2)探究证明:如图2,将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转,使点D恰好落在线段AC上,连接EC,(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
11.已知点E在正方形ABCD的对角线AC上,正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A.
(1)如图1,当点G在AD上,点F在AB上,求的值.
(2)将正方形AFEG绕点A逆时针方向旋转α(0°<α<90°),如图2,求的值.
(3)若AB=8,AG=AD,将正方形AFEG绕点A逆时针方向旋转α(0°<α<360°),当C,G,E三点共线时,请直接写出DG的长度.
【参考答案】
1.5　2.5　3.(1)略　(2)DE=3　4.(1)略　(2)CD=
5.略　6.①②④　7.(1)略　(2)DE=3
8.(1)略　(2)AF=
9.(1)略
(2)①△BPE∽△CFP.理由略　②△BPE∽△PFE.理由略
10.(1);垂直　(2)结论成立.理由略
11.(1)=2　(2)=　(3)4-4或4+4
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