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第3节　与圆有关的计算(6年2考,3~9分)
命题分析
　　与圆有关的计算的考查在江西学考越来越受到重视,2020年考查了弧长的计算,2021年考查了与扇形相关的不规则图形面积的计算,2023年考查了弧长的计算以及切线的证明,估计在2024年学考中继续考查.
【知识清单】
知识点1 与圆有关的计算
与圆有关的
计算
方法 公式法 直接和差法 构造和差法 等积转化法
图示 已知CD∥AB.
计算 公式 S阴影=S扇形MEN S阴影=S△ABC-S扇形CAD S阴影=S△OBC-S扇形BDO S阴影=S扇形OCD
知识点2 圆锥的有关计算
名称 公式 备注
圆锥 S侧面积=πrl S底面圆=πr2 S全面积=πrl+πr2 r为底面圆半径
C底面圆=2πr
展开图与圆锥各量间的关系 (1)圆锥的轴截面是等腰三角形,圆锥的母线l和底面圆半径r,圆锥的高h,满足r2+h2=l2; (2)圆锥的侧面展开图是扇形; (3)圆锥底面的周长等于其侧面展开图扇形的弧长; (4)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径
　　温馨提示:1.求“弓形”的面积,通常用“弓形”所在的扇形的面积减去扇形内三角形的面积.
2.在求不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变换方法将不规则图形化归为规则图形,再利用规则图形的公式求解.
【参考答案】
①2πr　②　③πr2　④
【自我诊断】
1.若一个扇形的半径是4 cm,圆心角是45°,则此扇形的弧长是 ( )
A.π cm B.2π cm C.4π cm D.8π cm
2.已知一个扇形的圆心角为60°,半径为4,则该扇形的面积为 ( )
A.π B.π　 C.π　 D.π
3.小逸同学在数学综合实践活动中,制作了一个圆锥模型(如图所示),经过小逸同学测量,得到圆锥的底面直径为10 cm,高为12 cm,则根据测量数据推算该圆锥的侧面积为 cm2.(结果保留π)
【参考答案】
1.A　2.D　3.65π
【真题精粹】
考向1 弧长的有关计算(6年2考)
1.(2020·江西)已知∠MPN的两边分别与☉O相切于点A,B,☉O的半径为r.
(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度数.
(2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,∠APB的度数应为多少 请说明理由.
(3)若PC交☉O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示).
考向2 扇形面积的有关计算(6年2考)
2.(2021·江西)如图1,四边形ABCD内接于☉O,AD为直径,过点C作CE⊥AB于点E,连接AC.
(1)求证:∠CAD=∠ECB.
(2)如图2,若CE是☉O的切线,∠CAD=30°,连接OC.
①请判断四边形ABCO的形状,并说明理由;
②当AB=2时,求AD,AC与围成阴影部分的面积.
【参考答案】
1.(1)50°
(2)当∠APB=60°时,四边形APBC是菱形.理由略
(3)+1+r
2.(1)略　(2)①四边形ABCO是菱形.理由略　②+π
【核心突破】
考点1 弧长的有关计算
例题1(2023·萍乡模拟)如图1,AB是☉O的直径,且AB=2,C是半圆AB的中点,P是上一动点,将沿直线AP折叠交AB于点D,连接PD,PB.
(1)求证:PD=PB.
(2)当点D与点O重合时,如图2,求的长.
解题指南
　　(1)如图,作点D关于AP的对称点D',连接AD',PD',OD',OP,由折叠的性质可知∠D'AP=∠PAB,PD'=PD,根据圆周角定理可知∠POD'=2∠D'AP,∠POB=2∠PAB,可得∠POD'=∠POB,继而得到PD'=PB,即PD=PB.
(2)证明△OPB是等边三角形,可知所对圆心角为60°,利用弧长公式可求的长.
变式特训1.如图,正六边形ABCDEF的中心为O,半径OA=6.
(1)求正六边形ABCDEF的边长.
(2)以A为圆心,AF为半径画弧BF,求的长.(结果保留π)
2.如图,△ABC内接于☉O,∠ACB=45°,AD是☉O的直径,过点B作AD的平行线,交AC的延长线于点P.
(1)求证:PB是☉O的切线.
(2)若AB=2,∠CAB=30°,则的长.(结果保留π)
考点2 扇形面积的有关计算
例题2 (2023·南昌模拟) 如图,
四边形ABCD是菱形,∠A=60°,AB=2,扇形EBF的半径为2,圆心角为60°,则图中阴影部分的面积是 .
解题指南
　　菱形ABCD,∠A=60° △DAB是等边三角形 △ABG≌△DBH S四边形GBHD=S△ABD.
变式特训 3.如图,在矩形ABCD中,E是AB上一点,连接CE,以CE为直径的☉O与AD边交于点F,交CD于点G,连接OF,GF,EF,若∠BEC=∠CEF=60°,AF=2.
(1)试判断☉O与AD的位置关系,并说明理由.
(2)求矩形ABCD的周长.
(3)求阴影部分的面积.
4.如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,E为BC的中点,AE⊥DE于点E.O是线段AE上的点,以点O为圆心,OE为半径的☉O与AB相切于点G,交BC于点F,连接OG.
(1)求证:△ECD∽△ABE.
(2)求证:☉O与AD相切.
(3)若BC=6,AB=3,求☉O的半径和阴影部分的面积.
方法提炼
　　与圆有关阴影部分面积的解题策略:
1.求“弓形”的面积,通常用“弓形”所在的扇形的面积减去扇形内三角形的面积.
2.在求不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变换方法,将不规则图形化归为规则图形,再利用规则图形的公式求解.
考点3 圆柱、圆锥的有关计算
例题3已知圆锥母线的长为5,侧面积为20π,则这个圆锥的底面圆的半径为 .
变式特训5.如图,要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计),若该圆锥的底面周长为8π cm,侧面积为48π cm2,则这个扇形的圆心角的度数是 .
【参考答案】
例题1　(1)
变式特训
1.(1)6　(2)4π　2.(1)略　(2)
例题2　-
变式特训
3.(1)☉O与AD相切.理由略　(2)12+8　(3)π
4.(1)略　(2)略　(3)-
例题3　4
变式特训
5.120°
2

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