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第4节　等腰三角形与直角三角形(必考,3分左右,
常在几何综合中考查)
命题分析
　　特殊三角形是江西学考的重点考查内容,主要考点:给出等腰三角形的两条不相等的边长,求等腰三角形的周长或面积;给出等腰三角形一个角的度数,求其他内角的度数;将等腰三角形作为条件在填空题最后一题中出现,突出分类讨论的思想,利用勾股定理求直角三角形的边.2022年有一道与反比例函数图象相关的等腰三角形的分类讨论填空题;2021年有一道与等腰三角形相关的简单解答题,但近几年单独考查等腰三角形、直角三角形的试题比较少,多是将它们和其他知识融合在一起综合考查,难度较大.对于特殊的三角形除了要掌握其特殊的性质外,还应加强读图能力,要能在复杂的图形中发现基本图形和性质.
【知识清单】
知识点1 等腰三角形的性质与判定
　　等腰三角形
知识点2 等边三角形的性质与判定
等边三角形
知识点3 直角三角形的性质与判定
直角三角形
【参考答案】
①顶角的平分线、底边上的高线、底边的中线　②60°　③60°　④90°　⑤斜边的一半　⑥斜边的一半　⑦a2+b2=c2　⑧a2+b2=c2
【自我诊断】
1.如图,已知△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底边BC上的高,下面结论不一定成立的是 ( )
A.BD=CD 　　B.BD=AD
C.AD平分∠BAC 　　D.∠B=∠C
2.图中共有等腰三角形 ( )
A.4个 B.5个 C.3个 D.2个
3.已知等边△ABC的边长AB=8,则△ABC的面积为 ( )
A.16 B.24
C.32 D.64
4.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=4,D为AB的中点,则CD为 .
【参考答案】
1.B　2.B　3.A　4.4
【真题精粹】
考向1 等腰三角形的性质与判定(6年5考)
1.(拓展)一把园林剪刀如图1所示,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°,则∠A= 度.
2.(2021·江西)如图,在△ABC中,∠A=40°,∠ABC=80°,BE平分∠ABC交AC于点E,ED⊥AB于点D,求证:AD=BD.
考向2 直角三角形的性质与判定(必考)
3.(2023·江西)如图,在 ABCD中,∠B=60°,BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<α<360°)得到AP,连接PC,PD.当△PCD为直角三角形时,旋转角α的度数为 .
4.(拓展)如图,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 .
【参考答案】
1.75　2.略　3.90°或180°或270°　4.2或2或2
【核心突破】
考点1 等腰三角形的性质与判定
例题1 在△ABC中,AB=AC.
(1)若∠B=40°,则∠C= .
(2)若△ABC的两边长分别为3和6,则△ABC的周长为 .
(3)如图,过点A作AD⊥BC于点D,若BC=6,∠C=30°.
①CD= ,AD= ,AC= ,S△ABC= .
②点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度在射线BC上运动,设运动时间为t,若△ACP是等腰三角形,则t= 秒.
解题指南
　　1.在等腰三角形中,等边对等角(等角对等边).
2.已知等腰三角形的两条边长,求周长,需要分类讨论,但前提条件必须要满足三角形的三边关系.
3.等腰三角形的分类讨论
变式特训1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC边上,E是BC边上一点,若AB=6,AE=3,∠AED=∠B,则AD的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.5.5
2.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),点B(0,2),若在y轴上找一点C,使△ABC是等腰三角形,则点C的坐标为 .
3.性质探究
如图1,在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为　　　　.
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2,则它的面积为　　　　.
(2)如图2,在四边形EFGH中,EF=EG=EH.在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=20,求线段MN的长.
类比拓展
(3)顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　　　.(用含α的式子表示)
方法提炼
　　等腰三角形的性质与判定:
1.等腰三角形的性质为我们探究线段相等或角相等提供了重要的依据,它是沟通题中边角关系的重要桥梁.把边的关系转化成角的关系(如等边对等角,等腰三角形“三线合一”)是等腰三角形性质的本质所在,需要添加辅助线时,一般添加顶角的平分线或底边上的高或底边上的中线.
2.证明等腰三角形的方法:①通过等角对等边可证;②通过三角形全等可证;③利用线段的垂直平分线的性质可证.
考点2 直角三角形的性质与判定
例题2 (2023·赣州模拟)在△ABC中,AB=3,AC=6,∠B=45°,则BC= .
　　例题3在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,如图1,若∠C=90°,则有a2+b2=c2.当△ABC为锐角三角形时,小明猜想:a2+b2>c2.理由如下:如图2,过点A作AD⊥CB于点D,设CD=x.在Rt△ADC中,AD2=b2-x2,在Rt△ADB中,AD2=c2-(a-x)2,∴a2+b2=c2+2ax.∵a>0,x>0,∴2ax>0,∴a2+b2>c2,∴当△ABC为锐角三角形时,a2+b2>c2.小明的猜想是正确的.
(1)请你猜想,当△ABC为钝角三角形时,a2+b2与c2的大小关系.(温馨提示:在图3中,作BC边上的高)
(2)证明你猜想的结论是否正确.
变式特训4.根据图形(如图1,图2)的面积关系,下列说法正确的是 ( )
A.图1能说明勾股定理,图2能说明完全平方公式
B.图1能说明平方差公式,图2能说明勾股定理
C.图1能说明完全平方公式,图2能说明平方差公式
D.图1能说明完全平方公式,图2能说明勾股定理
5.如图,在四边形ABDC中,AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥BD于点D.若BD=2,CD=4,则线段AB的长为 .
6.如图1,△EBD和△ABC都是等腰直角三角形,△BDE的斜边BD落在△ABC的斜边BC上,直角边BE落在边AB上.
(1)当BE=1时,求BD的长.
(2)如图2,将△EBD绕点B逆时针旋转,使BD恰好平分∠ABC,DE交AB于点F,延长ED交BC于点M.
①当BE=1时,求EM的长.
②写出FM与BE的数量关系,并说明理由.
方法提炼
　　直角三角形性质的“四运用”:
1.勾股定理是揭示直角三角形三边关系的定理.若已知直角三角形中的两边长,则可求出第三边长;若已知直角三角形三边的关系,则可设未知边长,根据勾股定理列方程求解.
2.在直角三角形中求边长,首先要考虑的是用勾股定理求解.当直角三角形中出现30°角时应联想到30°角所对直角边是斜边的一半,当出现斜边上的中线时要想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半,这些线段间的数量关系是直角三角形中求线段长的关键.
3.若图形中含折叠,考虑用折叠的性质,然后在直角三角形中,设未知量,列方程求解.
4.若所求为线段和(或可转化为线段和的形式),考虑用证全等转化到直角三角形中求解.
【参考答案】
例题1　(1)40°　(2)15
(3)①3　　2　3　②(6-2)或4或(6+2)
变式特训
1.A　2.(0,0),(0,2+),(0,1)
3.性质探究　∶1(或)
理解运用　(1)　(2)MN=10
类比拓展　(3)2sin α∶1(或2sin α)
例题2　3+3或3-3
例题3　(1)a2+b2变式特训
4.B　5.2
6.(1)BD=　(2)①EM=1+　②FM=2BE,理由略
2

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