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第5节　反比例函数的图象与性质及其应用(必考,3~11分)
命题分析
　　反比例函数及其应用是函数的重要内容,在江西学考中,一般有1道解答题,难度中等.反比例函数的考查通常与一次函数或几何图形结合,主要涉及求函数解析式,结合图象讨论函数的增减性、函数值的大小比较、k的几何意义.
【知识清单】
知识点1 反比例函数的概念
反比例函数
知识点2 反比例函数的图象与性质
反比例函数 y=(k为常数,且k≠0)
k的符号 k>0 k<0
图象
性质 象限 第① 象限(x,y同号) 第② 象限(x,y异号)
增减性 在每个象限内,y随x的增大而③ 在每个象限内,y随x的增大而④
渐近趋势 图象无限接近坐标轴,但永远不会与坐标轴⑤ (x≠0,y≠0)
对称性 中心对称图形:关于原点成中心对称 轴对称图形:关于直线y=x,y=-x成轴对称
知识点3 反比例函数的解析式
反比例函数的解析式
【参考答案】①一、三　②二、四　③减小　④增大　⑤相交　⑥|k|　⑦2|k|
【自我诊断】
1.下列函数属于反比例函数的是 ( )
A.y=2x B.y=-
C.y=- D.y=-
2.如图,A为反比例函数y=(k≠0,x<0)的图象上一点,过点A作AB⊥y轴,垂足为B,若△OAB的面积为1,则k的值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
3.对于反比例函数y=-,下列说法不正确的是 ( )
A.点(-2,1)在它的图象上
B.它的图象在第二、四象限
C.图象关于原点对称
D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x14.已知点A(-4,y1),B(-2,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=(k<0)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为 ( )
A.y3B.y1C.y3D.y2【参考答案】1.B　2.D　3.D　4.C
【真题精粹】
考向1 反比例函数的图象性质(6年2考)
1.(2019·江西)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是 ( )
A.反比例函数y2的解析式是y2=-
B.两个函数图象的另一个交点坐标为(2,-4)
C.当x<-2或0D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大
2.(2018·江西)在平面直角坐标系中,分别过点A(m,0),B(m+2,0)作x轴的垂线l1和l2,探究直线l1,l2与双曲线y=的关系,下列结论错误的是 ( )
A.两直线中总有一条与双曲线相交
B.当m=1时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C.当-2D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是2
考向2 一次函数与反比例函数的综合应用
3.(2023·江西)如图,已知直线y=x+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(2,3),与y轴交于点B,过点B作x轴的平行线交反比例函数y=(x>0)的图象于点C.
(1)求直线AB和反比例函数图象的表达式.
(2)求△ABC的面积.
4.(2022·江西)如图,点A(m,4)在反比例函数y=(x>0)的图象上,点B在y轴上,OB=2,将线段AB向右下方平移,得到线段CD,此时点C落在反比例函数的图象上,点D落在x轴正半轴上,且OD=1.
(1)点B的坐标为　　 　,点D的坐标为　　　　,点C的坐标为　　　　(用含m的式子表示).
(2)求k的值和直线AC的表达式.
5.(2021·江西)如图,正比例函数y=x的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1,a),在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点C坐标为(-2,0).
(1)求k的值.
(2)求AB所在直线的解析式.
热点预测
6. (原创)如图,反比例函数y=(x<0)的图象与矩形OABC的边AB,BC分别相交于点D,E,已知C(-4,0),A(0,8),E是BC的中点,EF⊥OA于点F,直线AC交EF于点G,连接ED,DG.
(1)求m的值及直线AC的解析式.
(2)求四边形CEDG的面积.
考向3 反比例函数与几何图形的综合
7.(2020·江西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,顶点A,B都在反比例函数y=(x>0)的图象上,直线AC⊥x轴,垂足为D,连接OA,OC,并延长OC交AB于点E,当AB=2OA时,E恰为AB的中点,若∠AOD=45°,OA=2.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求∠EOD的度数.
【参考答案】1.C　2.D
3.(1)直线AB的表达式为y=x+1,反比例函数的表达式为y=
(2)△ABC的面积=6
4.(1)(0,2);(1,0);(m+1,2)
(2)k=4　直线AC的表达式为y=-2x+6
5.(1)k=1　(2)直线AB的解析式为y=-x+
6.(1)m=-16　直线AC的解析式为y=2x+8
(2)四边形CEDG的面积=8
7.(1)反比例函数的解析式为y=(x>0)
(2)∠EOD=15°
【核心突破】
考点1 反比例函数的图象和性质
一题多设问
　　例题1 已知反比例函数y=(a是常数).
(1)若反比例函数经过点A(1,4)和B(m,-2),则a= ,m= .
(2)若反比例函数的图象在第一、三象限,则
①a的取值范围是 ,在每个象限内,y随x的增大而 .
②若此时点C(-2,y1),D(-1,y2),E(1,y3)都在反比例函数上,则y1,y2,y3的大小关系是 (用“<”连接).
③当-2≤x≤-1时,此时函数y的最大值和最小值的差为2,则a的值为 .
(3)如图,这是反比例函数y=的图象,则y=ax+2的图象不经过第 象限.
考点2 一次函数与反比例函数的综合
　　例题2 如图,直线y1=x+b交x轴于点B,交y轴于点A(0,2),与反比例函数y2=的图象交于点C(1,m),D(n,-1),连接OC,OD.
(1)求k的值.
(2)求△COD的面积.
(3)根据图象直接写出y1(4)在x轴上找一点P,使S△POC=S△COD,请求出点P的坐标.
(5)将直线y=-x+3沿y轴平移m个单位长度后得到直线l,当l与反比例函数的图象有且只有一个交点时,求m的值.
方法提炼
　　(1)确定函数解析式:一般先通过一个函数解析式求交点坐标,再代入另一个函数表达式求解.
(2)比较函数值的大小:①找界点(交点);②找符合范围;③看自变量x的范围.
(3)交点个数:函数图象的交点即函数值y相等,转化为方程,交点个数即方程的解的个数(或直接分析图象).
(4)已知坐标求面积可用“割补法”或“铅垂法”S=×铅垂高×水平宽,已知面积求坐标可先设点的坐标,注意表示长度时可借助绝对值保证非负性.
变式特训 1.(2023·抚州模拟)如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(m,2).
(1)求反比例函数的解析式.
(2)点D(2,n)也在反比例函数的图象上,求△DOB的面积.
考点3 反比例函数中“k”的几何意义
　　例题3如图,P是反比例函数y=的图象上一点.
(1)若下面四个图中的阴影部分的面积为4,则对应的k的值分别为 , , , .
(2)如图,过点P作x轴的平行线,交双曲线y=于点C.
①如图5,若△OPC的面积为4,则k的值为 ;
②如图6,若P(1,4),Q是x轴上任意一点,则△PCQ的面积为 ;
③如图7,点A,B在x轴上,若四边形ABCP是矩形,它的面积为4,则k的值为 .
解题指南
　　点P(x,y)在反比例函数的图象上,则|k|=|xy|,即点P与坐标轴围成的矩形面积等于|k|.
考点4 反比例函数与几何图形的综合
　　例题4如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,AB的垂直平分线PD交双曲线于点P.
(1)若点A的坐标为(1,8),则点P的坐标为　　　　.
(2)若AP⊥BP,点A的横坐标为m.
①求k与m之间的关系式;
②连接OA,OP,若△AOP的面积为6,求k的值.
变式特训 2.如图,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,E为AB的中点,反比例函数y=(k>0)的图象经过点E,且与BC交于点D,连接OD,OE,DE.若△ODE的面积为3,则k的值为 .
考点5 反比例函数的实际应用
　　例题5 (学科融合)小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现:阻力×阻力臂=动力×动力臂.现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400 N和1 m,则动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数图象大致是 ( )
　　A　　B
C　　D
变式特训 3.小明学习了物理中的欧姆定律发现:电阻两端的电压=电流强度×电流通过的电阻.已知某滑动变阻器两端电压恒定,当变阻器的电阻调节为10 Ω时,测得通过该变阻器的电流为24 A,则通过该滑动变阻器的电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)之间的函数关系图象大致是 ( )
A　 　B
C　　D
【参考答案】例题1　(1)-1　-2
(2)①a<3　减小　②y2(3)四
例题2　(1)k=3　(2)S△COD=4　(3)x<-3或0(4)点P的坐标为,0或-,0
(5)m=-3+2或m=-3-2
变式特训
1.(1)反比例函数的解析式为y=　(2)S△BOD=
例题3　(1)4　8　4　2　(2)①4　②4　③2
例题4　(1)(2,4)　(2)①k=2m2　②k=8
变式特训
2.4
例题5　A
变式特训
3.A
2

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