资源简介

重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题
目录
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，构造函数，，则，
所以函数的图象在上单调递减.
又因为，所以，
所以，解得或（舍）.
所以不等式的解集是.
故选：B.
例2．（河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
例3．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，，
即，
所以，即，
又，所以，故 ，
，可得，
在上，，单调递增；
在上，，单调递减，
所以的极大值为.简图如下：
所以，，.
故选：D.
变式1．（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，所以当时，，
令，则当时，，
故在上单调递增，
又因为在上为偶函数，所以在上为奇函数，
故在上单调递增，因为，所以，
当时，可变形为，即，
因为在上单调递增，所以，解得，故；
当时，可变形为，即，
因为在上单调递增，所以，解得，故无解.
综上不等式的解集为.
故选：C.
变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，所以在单调递减，
不等式可以转化为，即，所以.
故选：D.
变式3．（河南省豫北重点高中2022-2023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函数的定义域为，其导函数是，且．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，其中，
则，
故函数在上为增函数，且，
因为，由可得，即，解得.
故选：B.
变式4．（广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，
则在R上为奇函数，且.
又，
当时，，所以在上为增函数，
因此在R上为增函数.
又，当时，不等式化为，
即，
所以；
当时，不等式化为，即，
解得，故无解，
故不等式的解集为.
故选：C
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型二：利用构造型
例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义在的函数满足：，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，
因为，
所以在上，
所以在上单调递增，
由已知，的定义域为，
所以，
所以等价于，
即，
所以，解得，
所以原不等式的解集是.
故选：A.
例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，则不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】因为f(x)是定义域为{x|x≠0}的偶函数，所以f(－x)＝f(x).对任意正实数x满足，
所以,
因为 ，所以g(x)也是偶函数.
当x∈(0，＋∞)时，,
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)单调递减，
若g(x)故g(x)故选：D
例6．（江苏省苏州市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】成立设，
则，即时是增函数，
当时，，此时；
时，，此时．
又是奇函数，所以时，；
时
则不等式等价为或，
可得或，
则不等式的解集是，
故选：．
变式5．（西藏昌都市第四高级中学2023届高三一模数学试题）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
当时，，
当时，，
在上单调递减；
又为的奇函数，
，即为偶函数，
在上单调递增；
又由不等式得，
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递减得，解得，故；
当，即时，不等式可化为，即，
由在上单调递增得，解得，故；
综上所述，不等式的解集为：．
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型三：利用构造型
例7．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，则，
∴在R上单调递增.
又，则.
∵等价于，即，
∴，即所求不等式的解集为.
故选：A.
例8．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以函数在上单调递增，又，所以．
又等价于，即，所以，
即所求不等式的解集为．
故选：B
例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】法一：构造特殊函数.令，则满足题目条件，把代入得解得，
故选：.
法二：构造辅助函数.令，则，
所以在上单调递增，
又因为，所以，所以，
故选：D.
变式6．（宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题）函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【解析】构造函数，则，
，则函数在上单调递增，
由可得，可得，
因此，不等式的解集为.
故选：A.
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型四：用构造型
例10．（安徽省六安市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，则可得
所以是上的奇函数，
，
当时，，所以，
是上单调递增，
所以是上单调递增，
因为，
由可得即，
由是上单调递增，可得 解得：，
所以不等式的解集为，
故选：A.
例11．（广东省汕头市2023届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，则，
所以不等式等价转化为不等式，即
构造函数，则，
由题意，，所以为R上的增函数，
又，所以，
所以，解得，即，
所以，
故选：D.
例12．（陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题）已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，该函数的定义域为，
则，所以在上单调递增．
由可得，即，
又在上单调递增，所以，解得，
所以原不等式的解集是，
故选：D．
变式7．（新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题）定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）
【答案】A
【解析】因为的图像关于点（，1）对称，
所以是奇函数，
因为对任意的实数均有成立，
所以对任意的实数均有成立，
令，
则 ，
所以 在上递增，
因为，
又，
所以，
故选：A
变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可设，因为，
则，
所以函数在R上单调递增，
又，不等式可转化为，
∴，
所以，解得，
所以不等式的解集为．
故选：A.
变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
因为，
所以，
所以函数在上为增函数，
不等式即不等式，
又，，
所以不等式即为，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
变式10．（四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以的图像关于直线对称，所以，
设，则 ，因为，所以,所以在上为减函数，
又 ，因为，所以 ，所以.
故选：.
变式11．（山东省烟台市2023届高三二模数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由得，即，
可设，
当时，因得，
所以，
可化为，
即，
设，
因，故为偶函数
，
当时，因，，
故，所以在区间上单调递增，
因，
所以当时的解集为，
又因为偶函数，故的解集为.
故选：C
变式12．（江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为.
故选：D
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型五：利用、与构造型
例13．（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，化简得，
构造函数，
即当时，单调递增，
所以由，
则，
即.因为为偶函数且在上单调递增，
所以，解得.
故选：C.
例14．（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
例15．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，
又由已知可得，，所以，
所以在上单调递增
因为，所以，
故，D正确，
故选：D
变式13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当时，，则
则函数在上单调递增，又可导函数是定义在上的奇函数
则是上的偶函数，且在单调递减，
由，可得，则，
则时，不等式
可化为
又由函数在上单调递增，且，，
则有，解之得
故选：D
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用与构造型
例16．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，
，
所以函数在单调递增，
因为函数为偶函数，所以函数也为偶函数，
且函数在单调递增，所以函数在单调递减，
因为，所以，
关于x的不等式可变为，也即，
所以，则解得或，
故选:C.
例17．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设，则，
当时，因为，则有，
所以在上单调递减，
又因为在上是偶函数，可得，
所以是偶函数，
由，可得，即，即
又由为偶函数，且在上为减函数，且定义域为，则有，
解得或，
即不等式的解集为，
故选：B.
例18．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
∵，即，即，故是奇函数，
由于函数在上存在导函数，所以，函数在上连续，则函数在上连续.
∵在上有，∴，
故在单调递增，
又∵是奇函数，且在上连续，∴在上单调递增，
∵，
∴，
即，∴，故，
故选：B．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型：与等构造型
例19．（广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，构造，则，
且，故在上单调递减；
又为上的奇函数，故可得，
即，则.
则不等式等价于，
又因为是上的单调减函数，故解得.
故选：A.
例20．（河南省多校联盟2023届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设函数，
所以，因为，
所以，即，所以在上单调递减，因为，
所以，因为，整理得，
所以，因为在上单调递减，所以.
故选：C.
例21．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由可得.
而，∴，∴在上单调递减，
又，则，
所以，则，
故不等式的解集为．
故选：D．
变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，所以，因为，所以，化简得，
所以是上的奇函数；
，
因为当时，，
所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；
考虑到，由，
得，即，
由在上单调递增，得解得，
所以不等式的解集为，
故选：B.
变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，可得，
因为，可得，
所以，所以函数为上的单调递增函数，
由不等式，可得，
所以，即
因为，令，可得，
又因为，可得，所以
所以不等式等价于，
由函数为上的单调递增函数，所以，即不等式的解集为.
故选：A.
变式16．（新疆新源县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将左右两边同乘得：，
令，则，所以在R上单调递增，且；不等式等价于，即，所以
故选：A
变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十二次适应性考试数学试题）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，
所以，函数为上的增函数，，
由可得，所以，.
故选：B.
【解题方法总结】
对于，构造
题型八：复杂型：与型
例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，设，则，则有，，即有，故函数的图象关于对称，则有，
当时，，，又由当时，，即当时，，即函数在区间为增函数，由可得，即，，
函数的图象关于对称，函数在区间为增函数，且在上恒成立，由可得，即，此时不存在.
综上：不等式解集为.
故选：A
例23．（辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，故.
，即，即，故，解得.
故选：B.
例24．（山东省泰安肥城市2023届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由，即，
即，即对恒成立，
令，则在上单调递增，
∵，∴，
由即，即，
因为在上单调递增，∴
故选：B.
【解题方法总结】
写出与的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与结合型
例25．（2023届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据，得．
设（），则，
则函数在上单调递增，且，
则不等式，可化为，
则，解得.
故选：C．
例26．（华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，其中，
则，
所以，函数在上单调递减，
易知，当时，，，此时，
当时，，，此时，
因为函数的定义域为，图象关于原点对称，即函数为奇函数，
若或时，，且，
由可得，
当时，即，可得或，此时，可得；
当时，即，可得，此时，可得.
因此，不等式的解集为.
故选：C.
例27．（2023届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则的定义域为
且，所以在上单调递减.
因为，所以当时，；
当时，.
又当时，，当时，，
所以当时，恒有.
因为是上的奇函数，所以当时，，
所以等价于或
解得或，
所以不等式的解集是.
故选：D.
变式18．（广东省梅州市2023届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，
则，
所以函数在上递增，
又因，
所以当时，，
当时，，
又因当时，，当时，，
所以当时，，当时，，
又因为，所以当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，
由不等式，
得或，
解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
变式19．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，
则，由于,
故,故在单调递增，
而 ，
由，得 ，
∴ ，即 ,
∴不等式的解集为,
故选：D．
【解题方法总结】
1、对于，构造
2、写出与的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例28．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
例29．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则，所以等价于，
由，可得
则，
所以在上单调递增，所以由，得．
故选：D
例30．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【解析】构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：D
变式20．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，当时，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，则函数为偶函数，
且当时，单调递增，
结合偶函数的对称性可得在上单调递减，
由，
化简得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集为.
故选：B.
【解题方法总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例31．（福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以，
令，则，且，
所以，
令，则，
令，解得：，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值，
则，故在上恒成立，
所以在上单调递减，
则当时，既无极大值，也无极小值.
故选：D
例32．（江西省百所名校2022-2023学年高三第四次联考数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据已知条件构造一个函数，再利用的单调性求解不等式即可.由，可得，
即，令，
则.
令，，
所以在上是单调递减函数.
不等式，
等价于，
即，，
所求不等式即，
由于在上是单调递减函数，
所以，解得，
且，即，
故不等式的解集为.
故选：D
例33．（河南省濮阳市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，当时，．令，则，
，令，，
令，解得．可知函数在上单调递减﹐在上单调递增．
又，所以，，所以函数在上单调递减，
，可化为，又函数关于对称，
故或，
所以不等式的解集为．
故选：A
变式21．（宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当时，，∴，
令，∴在上单调递减，
又是定义在上的连续偶函数，∴是上的奇函数，即在上单调递减，
∵，∴，
当，即时，，∴；
当，即时，，∴，则.
故不等式的解集为.
故选：A.
变式22．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
【答案】A
【解析】构造函数，则，
所以，，则，
设，则，，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增.
所以，，对任意的恒成立，
因此，函数在上单调递增.
故选：A.
变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
【答案】D
【解析】因为，且，
所以，①
令，则，
又，记，
所以.
当时，，递减；当时，，递增.
结合①当时，，所以的最小值为0，即，
因为，则，（当且仅当时，取等号），所以既没有最大值，也没有最小值.
故选：D.
变式24．（福建省泉州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设函数满足：，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
【答案】B
【解析】，
令，则，
所以，
令，则，
即，
当时，，单调递增，而，
所以当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增；
故有极小值，无极大值，故选B.
变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题）函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
【答案】D
【解析】因为，所以,
令，则 ，
所以，
令 ，则，
则当时， ，当时，
即函数在为增函数，在为减函数，
所以，
即，即函数在为减函数，
即时，既无极大值，也无极小值，
故选D.
变式26．设函数的导数为，且，，，则当时，
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【答案】B
【解析】由题设，所以，，所以存在使得，又 ，所以在上单调递增.
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.
因此，当时，取极小值，但无极大值，故选B.
【解题方法总结】
二次构造：，其中等
题型十二：综合构造
例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】令，
，
，
当时，，则，
在上单增；
当时，，则，
在上单减；
，
不等式即为不等式，
关于直线对称，
，
解得或，
故选：．
例35．（贵州省铜仁市2023届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在上的函数，为其导函数，满足①，②当时，.若不等式有实数解，则其解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】构造函数，
当时，递增，
由于，
所以，即，
所以是偶函数，所以当时，递减.
不等式等价于：
，
即，所以，
两边平方并化简得，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，
因为是定义在R上的偶函数，
所以，
则，
所以函数也是偶函数，
，
因为当时，，
所以当时，，
所以函数在上递增，
不等式即为不等式，
由，得，
所以，
所以，解得或，
所以的解集是.
故选：B.
变式27．（贵州省绥阳县育才中学2023届高三信息压轴卷数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.
变式28．（安徽省淮南市2023届二模数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
令，则，
∴在上为奇函数，
又∵当时，，
∴当时，，
∴在上单调递增，
又∵在上为奇函数，
∴在上单调递增，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵在上单调递增，
∴，解得：.
故选：A.
变式29．（安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令，则在上是减函数.，
所以
得，又，所以.
故选：A.
【解题方法总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）
题型十三：找出原函数
例37．（甘肃省武威市第六中学2023届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试题）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是
A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞)
【答案】A
【解析】令，则有， ,
,又 ,得
，,再令,则 ,故函数在上递减,
不等式 等价于,所以 ,故选A
例38．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】C
【解析】本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值．由题意可知，，即，
所以，
令，则，
因为函数在处存在导数，所以为定值，，，
所以，
令，当时，，
构建函数，则有，
所以函数在上单调递增，
当，，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以当时函数必有一解，
令这一解为，，则当时，
当时，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值．
例39．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，
因为函数是连续函数，所以由，可得，
代入，可得，
所以，
当时，，
令，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以当时，取得极小值即最小值，
所以，所以函数在上单调递增，
所以既没有极大值，也没有极小值，
故选C.
【解题方法总结】
熟悉常见导数的原函数.重难点突破03 原函数与导函数混合还原问题
目录
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于，构造，
4、对于，构造
5、对于，构造，
6、对于，构造
7、对于，构造，
8、对于，构造
9、对于，构造，
10、对于，构造
11、对于，构造，
12、对于，构造
13、对于，构造
14、对于，构造
15、；；；
16、；．
题型一：利用构造型
例1．（安徽省马鞍山第二中学2022-2023学年高三上学期10月段考数学试题）已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
例2．（河南省温县第一高级中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题）已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例3．（黑龙江省大庆实验中学2023届高三下学期5月考前得分训练（三）数学试题）已知函数的定义域为，为函数的导函数，若，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023届高三第七次百校大联考数学试题（新高考））已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（四川省绵阳市盐亭中学2023届高三第二次模拟考试数学试题）已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（河南省豫北重点高中2022-2023学年高三下学期4月份模拟考试文科数学试题）已知函数的定义域为，其导函数是，且．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（广西15所名校大联考2023届高三高考精准备考原创模拟卷（一）数学试题）已知是定义在R上的偶函数，其导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型二：利用构造型
例4．（河南省信阳市息县第一高级中学2022-2023学年高三上学期9月月考数学试题）已知定义在的函数满足：，其中为的导函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例5．已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意正实数x满足xf′(x)>2f(x)，若g(x)＝，则不等式g(x)A．(－∞，1) B．(－1,1)
C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1)
例6．（江苏省苏州市2023届高三下学期3月模拟数学试题）已知函数是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（西藏昌都市第四高级中学2023届高三一模数学试题）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型三：利用构造型
例7．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考文科数学试题）已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
例8．（河南省2022-2023学年高三上学期第五次联考数学试题）已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例9．（广东省佛山市顺德区北滘镇莘村中学2023届高三模拟仿真数学试题）已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（宁夏吴忠市2023届高三一轮联考数学试题）函数的定义域是，，对任意，，则不等式：的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型四：用构造型
例10．（安徽省六安市第一中学2022-2023学年高二下学期期末数学试题）定义在上的函数的导函数为，满足：， ，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例11．（广东省汕头市2023届高三三模数学试题）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例12．（陕西省安康市2023届高三下学期4月三模数学试题）已知函数的定义域为，且对任意，恒成立，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式7．（新疆克拉玛依市2023届高三三模数学试题）定义在R上的函数的导函数为，，对于任意的实数均有成立，且的图像关于点（，1）对称，则不等式的解集为（ ）
A．（1，+∞） B．（1，+∞） C．（∞，1） D．（∞，1）
变式8．（浙江省绍兴市新昌中学2023届高三下学期5月适应性考试数学试题）若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式9．（吉林省长春市吉大附中实验学校2022-2023学年高三上学期第四次摸底考试数学试题）设是函数的导函数，且，（e为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式10．（四川省绵阳市南山中学2022-2023学年高三二诊热身考试数学试题）已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式11．（山东省烟台市2023届高三二模数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，且满足，，则不等式的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
变式12．（江西省九江十校2023届高三第二次联考数学试题）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
题型五：利用、与构造型
例13．（江西省2023届高三教学质量监测数学试题）定义在区间上的可导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例14．（天津市南开中学2023届高三下学期统练二数学试题）已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例15．函数对任意的满足(其中是函数的导函数)，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式13．已知可导函数是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型六：利用与构造型
例16．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例17．已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例18．设函数在上存在导数，对任意的，有，且在上有，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于，构造，
2、对于，构造
3、对于正切型，可以通分（或者去分母）构造正弦或者余弦积商型
题型七：复杂型：与等构造型
例19．（广西柳州市2023届高三11月第一次模拟考试数学试题）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有．且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例20．（河南省多校联盟2023届高考终极押题（C卷）数学试题）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例21．（2023届高三冲刺卷（一）全国卷文科数学试题）已知函数与定义域都为，满足，且有，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式14．（陕西省渭南市华州区咸林中学2022-2023学年高三上学期开学摸底考试数学试题）已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三上学期期中考试数学试题）设函数在上的导函数为，若，，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式16．（新疆新源县第二中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题）定义在R上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式17．（陕西省西安市西北工业大学附属中学2023届高三下学期第十二次适应性考试数学试题）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
对于，构造
题型八：复杂型：与型
例22．（专题32盘点构造法在研究函数问题中的应用—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破）已知定义在上的函数满足，且当时，有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例23．（辽宁省实验中学2023届高三第四次模拟考试数学试卷）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例24．（山东省泰安肥城市2023届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三））定义在上的函数的导函数为，且对任意恒成立.若，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
写出与的加、减、乘、除各种形式
题型九：复杂型：与结合型
例25．（2023届高三数学临考冲刺原创卷（四））已知函数的定义域为，导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例26．（华大新高考联盟2023届高三3月教学质量测评文科数学试题）已知函数的定义域为，图象关于原点对称，其导函数为，若当时，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例27．（2023届高三数学新高考信息检测原创卷（四））已知是定义在上的奇函数，是的导函数，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式18．（广东省梅州市2023届高三二模数学试题）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式19．定义在 上的函数 满足，则不等式 的解集为（　　）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
1、对于，构造
2、写出与的加、减、乘、除各种结果
题型十：复杂型：基础型添加因式型
例28．（辽宁省名校联盟2023届高考模拟调研卷数学（三））已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例29．定义在上的函数满足（为自然对数的底数），其中为的导函数，若，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例30．定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A． B．0 C．1 D．2
变式20．已知在定义在上的函数满足，且时，恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
在本题型一、二、三、四等基础上，变形或者添加因式，增加复杂度
题型十一：复杂型：二次构造
例31．（福建省福州第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题）函数满足：，，则当时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
例32．（江西省百所名校2022-2023学年高三第四次联考数学试题）已知函数的定义域为，其导函数为，对恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例33．（河南省濮阳市2023届高三下学期第一次模拟考试数学试题）已知函数为定义域在R上的偶函数，且当时，函数满足，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式21．（宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学试题）已知定义在上的连续偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式22．（江西省九江市2023届高三三模数学（理）试题）已知是定义在上的可导函数，是的导函数，若，，则在上（ ）
A．单调递增 B．单调递减 C．有极大值 D．有极小值
变式23．（湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题）定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值
变式24．（福建省泉州市2022-2023学年高二下学期期末教学质量跟踪监测数学（理）试题）设函数满足：，，则时，（ ）
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，又无极小值
变式25．（辽宁省大连市中山区第二十四中学2022-2023学年高三上学期11月月考数学试题）函数满足：， ．则时，
A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极大值，也无极小值
变式26．设函数的导数为，且，，，则当时，
A．有极大值，无极小值 B．无极大值，有极小值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
【解题方法总结】
二次构造：，其中等
题型十二：综合构造
例34．（福建省泉州市泉港区第一中学、厦门外国语学校石狮分校2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）已知函数在上可导，其导函数为，若满足，关于直线对称，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
例35．（贵州省铜仁市2023届高三适应性考试数学试题（—））已知定义在上的函数，为其导函数，满足①，②当时，.若不等式有实数解，则其解集为（ ）
A． B．
C． D．
例36．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2022-2023学年高三第一次模拟数学（文科）试题）已知是定义在R上的偶函数，是的导函数，当时，，且，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
变式27．（贵州省绥阳县育才中学2023届高三信息压轴卷数学试题）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式28．（安徽省淮南市2023届二模数学试题）定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式29．（安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质量检查数学试题）已知函数的定义域是，若对于任意的都有，则当时，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
结合式子，寻找各种综合构造规律，如，或者（为常见函数）
题型十三：找出原函数
例37．（甘肃省武威市第六中学2023届高三上学期第二次阶段性过关考试数学（文）试题）已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是
A．(0,e) B．(0, ) C．( ,e) D．(e,+∞)
例38．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值
C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值
例39．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数
A．既有极大值又有极小值 B．有极大值，无极小值
C．既无极大值也无极小值 D．有极小值，无极大值
【解题方法总结】
熟悉常见导数的原函数.

展开更多......

收起↑