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2024年九省联考—名师研团队原创变式卷
(新课标卷地区适用)
数学试卷
温馨提示:
1、本试题卷共4页，四大题19小题，满分150分，作答时间120分钟.
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号正确填写在答题卡上.
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
4、非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知变量和满足关系，变量y与正相关，则（ ）
A. 与负相关，与负相关 B. 与正相关，与正相关
C. 与正相关，与负相关 D. 与负相关，与正相关
【答案】A
【解析】
【分析】根据关系式判断负相关，再由变量y与正相关可得负相关即可判断.
【详解】因为变量和满足关系，变量y与正相关，
由正相关、负相关的定义可知与负相关，与负相关.
故选：A
2. 我们学过，复数的共轭复数．实际上，双曲线也有类似“共轭”这一定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．则原双曲线的离心率与其共轭双曲线的离心率满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据共轭双曲线定义得到两双曲线方程，进而可表示出离心率，即可求解.
【详解】设双曲线，则共轭双曲线为，
则，，
所以，故D正确；
经检验，其他选项都不正确.
故选：D
3. 在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则， 则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（ ）
A. 0.046 B. 0.051 C. 0.058 D. 0.067
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合对数运算求解．
【详解】由题意可得：,
故选：B
4. 已知数列的前项和，则数列的前10项和为（ ）
A. 65 B. 67 C. 61 D. 56
【答案】B
【解析】
【分析】首先运用，求出，判断正负情况，再求和.
【详解】当时，，
当时，，
故，
据通项公式得，
．
故选：B．
5. 设为正方体的棱上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】确定平面与平面的交线，利用线面垂直得到二面角的平面角，利用几何关系计算求解即可求解.
【详解】延长和交于点Q,则Q为平面与平面的公共点，
从而DQ为平面与平面的交线；
在平面内做于点H,连，
由正方体性质易知平面，面，则，
又平面，故平面，又平面，
故，故为二面角的平面角，
设正方体棱长为1，，易知故，
即，则
由的面积得：
故，当点P为AB中点时等号成立，
故二面角正切值的最小值为，则平面与平面夹角的正切值的最小值为.
故选：C
6. 已知、、是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设出，，表达出，结合，求出最小值.
【详解】以的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设，，
则，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
由于，故当时，最小，故最小值为，
此时，满足要求，
故选：D.
7. 已知角，，满足，且，则()()()=（ ）
A. 0 B. 1
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值.
【详解】因为.
由和差化积公式得：
.
所以或或.
若，则；
同理，当或时，都有.
故选：A
8. 函数满足对任意构成三角形三边长的，也构成三角形的三边长，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，分，讨论，利用函数的单调性结合三角形的性质可得答案.
【详解】由题意可知在上恒成立，，
当时，令，解得，所以在上单调递减，
所以，不符题意；
当时，在上恒成立，所以在上单调递增，
则时，，
设，由题意，若，则一定有，
即恒成立.
若，则，
且，符合题意；
若，取，且，
所以，
不符合题意.综上所述，.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数判断函数的单调性、对数运算及对数函数的性质，解题的关键点是利用导数判断函数的单调性，本题还考查了学生分析问题和解决问题的能力.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项、符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9. 已知复数和，则下列命题是真命题的有（ ）
A. 若满足，则其在复平面内对应点轨迹是圆
B. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线
【答案】AB
【解析】
【分析】根据复数模的几何意义，结合圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，逐项分析判断.
【详解】设，由，得，
若满足，表示复平面内点与点之间的距离为定值2，则在复平面内对应点的轨迹是圆，故A选项正确；
若满足，表示复平面内点到点与的距离之和为3，
又，满足椭圆的定义，则在复平面内对应点的轨迹是椭圆，B选项正确；
若满足，表示复平面内点到点与的距离之差为2，又，不满足双曲线的定义，C选项错误；
可化为，若满足，表示复平面内点到点与的距离相等，
则在复平面内对应点的轨迹是直线，D选项错误.
故选：AB
10. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先判断角所在的象限，再根据单调性和与对称轴的距离判断三角函数值的符号。
【详解】因为,又,
所以函数在是单调递增函数,
所以,故A不正确;
因为,,
且,
所以,故C正确;
因为,且,
所以,故B正确;
因为,且在为单调递减函数,
所以,故D不对.
故选:BC.
11. 欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）
A. 的定义域为，其值域也是
B. 在其定义域上单调递增，无极值点
C. 不存在，使得方程有无数解
D. ，当且仅当是素数时等号成立
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系进行判断选项.
【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为，其值域也是，所以A正确；
对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如，所以B错误;
对于C，由于的值域为，所以不存在，使方程有无数解,故C正确;
对于D，因为的素因数都是大于1，，所以，当且仅当时素数时等号成立，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知在中，，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的数量积公式、余弦定理计算可得答案.
【详解】由得，
由余弦定理得，
即，
解得.
故答案为：.
13. 若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为______.
【答案】0，
【解析】
【分析】利用导数研究函数的图象，结合题意可知其中一个极值点就是零点才能满足函数恰好有2个零点的情况，再分类讨论即可得解.
【详解】由于，所以，
由于函数恰有两个零点，所以有2个不等实数根，
所以的图象呈先增，再减，再增的趋势，
所以其中一个极值点就是零点，假设，
即是极值点又是零点，如下图：
则，此时的极大值刚好为，
即是极值点又是零点，如下图：
则，即，
设为极大值点，则，即，
显然，则，
整理得，又，所以；
此时的极大值为，
故答案为：0，.
14. 已知三位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是__________．
【答案】959
【解析】
【分析】设连续的三项的二项式系数为，利用等差中项得，求出，利用为正整数对根进行分析可得答案.
【详解】设连续的三项的二项式系数为，，
由得，
解得①，因为为正整数，所以应为奇完全平方数，
设，可得，代入①，
解得，或，
所以三位整数最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是根据连续的三项的二项式系数成等差数列求出，对其中为奇完全平方数进行分析求出.
四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知在正四面体中，棱的中点分别为．
（1）若，求的面积；
（2）平面将正四面体划分成两部分，求这两部分的体积之比．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用三角形中位线及勾股定理计算即可；
（2）利用割补法、等体积法、相似的性质计算即可.
【小问1详解】
如图所示，由三角形中位线得，
则，
由勾股定理，在边上的高为，
所以.
【小问2详解】
如图所示取中点，连接，
显然平面截正四面体形成的其中一部分可由四个四面体：，组成，
易知正四面体与正四面体相似，故，
由题意及中位线性质可知，
且，
所以四面体：，的体积均相等，故，
所以两部分的体积之比为1．
16. 已知在中，角所对的边分别为，记其面积为，则有
（1）求；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）利用余弦定理、面积公式计算可得答案；
（2）由代入面积公式得，再利用基本不等式求最值可得答案.
【小问1详解】
由题意，，
又，得，
展开得，即，
由余弦定理得，
因为，所以；
【小问2详解】
由题意，，整理得，
由得，
由，
即求的最小值，，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立，
所以，
故的最小值为．
17. 已知函数，.
（1）若的零点也是其极值点，求a.
（2）若在其定义域上没有极值点，求a的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）由原函数的零点也是极值点求导后代入可得；
（2）问题转化成导函数等于零在定义域上无根，分离参数之后用导数分析单调性和极值；具体为求导，构造函数，分析单调性和极值，画出图像，使之与函数无交点即可.
【小问1详解】
，，
注意到，由题意是的极值点，即解得，
当时，，
可知时，，原函数单调递减；
时，时，原函数单调递增；
故a的值为2.
【小问2详解】
由(1)，由题意在上没有极值点即在无解.
令，得
①若，即，代入得；
②若,即，令，，
令得，当或时，，分段单调递减；
当时，，单调递增.
所以是的极小值点，，
由图像可知，要使得无根，则.
综上所述，若在其定义域上没有极值点，则a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：
（1）极值点即为导函数为零点，但导函数为零的点不一定为极值点；
（2）再解决方程根的个数问题时，可利用两方程表示的函数图像的交点研究.
18. 设F是双曲线：的左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点．
（1）若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值．
（2）是否存在x轴上一点P，使得为定值 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在这样的定点
【解析】
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，即可由弦长公式以及点到直线距离公式求解长度，利用面积公式以及二次函数的性质即可求解，
（2）由向量数量积的坐标运算，即可结合韦达定理化简求解.
【小问1详解】
设直线MN的方程为，，．
由可得，
由根与系数的关系可知，①．
此时．
原点O到直线MN的距离为，
此时．
由M，N都在双曲线的左支上知，，得，
令，则，
由于，所以当，即时，此时取最大值，则，
当，即时，等号成立．
【小问2详解】
假设存在这样的定点．
当直线的斜率不为0时，由（1）知
②．
将①代入②可得，
此时要想为定值，则，得，从而．
即存在这样的定点满足题意．
当直线的斜率为0时，易知，若，则，满足题意.综上，存在满足题意．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19. 拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．
（1）试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
（2）证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
（3）一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由交集的定义可解；
（2）结合题意，利用并集的定义证明；
（3）利用题目定义分别证明充分性和必要性.
【小问1详解】
设这两个球形邻域分别为，，
为和的交集．
①若与不相交，则；
②若与相交，则
且
故或且．
【小问2详解】
我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为
表示集合族的所有集合的并集
回到原题，设这两个球形邻域分别为，，为和的交集．
①若与不相交，则，即可以看作零个球形邻域的并集；
②若与相交，则取，
令，构造球形邻域．
因为对于，有
故，这说明．
由于是中任取的一点，这说明，
继而
即可被表示为若干个球形邻域的并集．
命题得证．
【小问3详解】
①先证充分性：当的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集．
设，由（2）可知可看作若干个球形邻域并集，
即
则，使得，故是开集．充分性证毕．
②再证必要性：若的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集．
设是一个开集，由情况①得，使得，所以
即
故可被表示为若干个球形邻域的并集．必要性证毕．
【点睛】思路点睛：利用集合的运算和题干中的定义完成问题.2024年九省联考—名师研团队原创变式卷
(新课标卷地区适用)
数学试卷
温馨提示:
1、本试题卷共4页，四大题19小题，满分150分，作答时间120分钟.
2、答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号正确填写在答题卡上.
3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
4、非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5、考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知变量和满足关系，变量y与正相关，则（ ）
A. 与负相关，与负相关 B. 与正相关，与正相关
C. 与正相关，与负相关 D. 与负相关，与正相关
2. 我们学过，复数的共轭复数．实际上，双曲线也有类似“共轭”这一定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线．则原双曲线的离心率与其共轭双曲线的离心率满足（ ）
A B.
C. D.
3. 在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则， 则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（ ）
A 0.046 B. 0.051 C. 0.058 D. 0.067
4. 已知数列的前项和，则数列的前10项和为（ ）
A. 65 B. 67 C. 61 D. 56
5. 设为正方体的棱上的动点，则平面与平面夹角的正切值的最小值为（ ）
A. 1 B. C. D.
6. 已知、、是单位圆上的三个动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知角，，满足，且，则()()()=（ ）
A. 0 B. 1
C. D.
8. 函数满足对任意构成三角形三边长的，也构成三角形的三边长，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项、符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分
9. 已知复数和，则下列命题是真命题的有（ ）
A. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是圆
B. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是双曲线
D. 若满足，则其在复平面内对应点的轨迹是抛物线
10. 下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（ ）
A. 的定义域为，其值域也是
B. 在其定义域上单调递增，无极值点
C. 不存在，使得方程有无数解
D. ，当且仅当是素数时等号成立
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知在中，，，，则__________．
13. 若函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d（b，c，d∈R）恰有两个零点x1，x2，且|x2－x1|＝1，则函数f（x）所有可能的极大值为______.
14. 已知三位整数满足的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则的最大值是__________．
四、解答题:本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知在正四面体中，棱中点分别为．
（1）若，求的面积；
（2）平面将正四面体划分成两部分，求这两部分的体积之比．
16. 已知在中，角所对的边分别为，记其面积为，则有
（1）求；
（2）若，求的最小值．
17. 已知函数，.
（1）若零点也是其极值点，求a.
（2）若在其定义域上没有极值点，求a的取值范围.
18. 设F是双曲线：的左焦点，经过F的直线与相交于M，N两点．
（1）若M，N都在双曲线的左支上，求面积的最小值．
（2）是否存在x轴上一点P，使得为定值 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
19. 拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域．
（1）试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
（2）证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
（3）一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集．

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