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7.1.2　全概率公式
[学习目标]　
1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式.
2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率.
3.了解贝叶斯公式，并会简单应用．
一、全概率公式
问题　从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回．显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
知识梳理
全概率公式：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，有_________________________________．
例1　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求：
(1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率；
(2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率．
反思感悟　两个事件的全概率问题求解策略
(1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2(或A与)．
(2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率．
(3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．
跟踪训练1　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．
二、多个事件的全概率问题
例2　甲、乙、丙三人同时对飞盘进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞盘被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞盘必定被击落，求飞盘被击落的概率．
反思感悟　“化整为零”求多事件的全概率问题
(1)如图，P(B)＝(Ai)P(B|Ai)．
(2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和．
跟踪训练2　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 95% 90% 70%
在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率．
*三、贝叶斯公式
知识梳理
*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝________________＝__________________，i＝1,2，…，n.
例3　设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25%,35%,40%，它们的次品率依次为5%,4%,2%.现从这批工件中任取一件．
(1)求取到次品的概率；
(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率．(精确到0.01)
反思感悟　贝叶斯公式的内涵
(1)公式P(A1|B)＝＝反映了P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系．
(2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事件A1发生的可能性在各种可能原因中的比重．
跟踪训练3　设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
1.知识清单：
(1)全概率公式．
(2)贝叶斯公式．
2．方法归纳：化整为零、转化化归．
3．常见误区：事件拆分不合理或不全面．
1．已知P(BA)＝0.4，P(B)＝0.2，则P(B)的值为(　　)
A．0.08 B．0.8
C．0.6 D．0.5
2．某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　)
A．0.6 B．0.85
C．0.868 D．0.88
3．已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从4个选项中随机选一个答案．小王从这8道题中任选1题，则他做对的概率为________．
4．甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为________．
7.1.2　全概率公式
问题　因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是，但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响．下面我们给出严格的推导．
用Ri表示事件“第i次摸到红球”，Bi表示事件“第i次摸到蓝球”，i＝1,2.如图所示．
事件R2可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即R2＝R1R2∪B1R2，
利用概率的加法公式和乘法公式，
得P(R2)＝P(R1R2∪B1R2)
＝P(R1R2)＋P(B1R2)
＝P(R1)P(R2|R1)＋P(B1)P(R2|B1)
＝×＋×＝.
知识梳理
P(B)＝(Ai)P(B|Ai)
例1　解　记事件A，B分别为“甲厂、乙厂的产品”，事件C为“废品”，
则Ω＝A∪B，且A，B互斥，
(1)由题意，得P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
(2)P(A)＝＝，
P(B)＝＝，
P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05，
由全概率公式，
得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)
＝×＋×＝.
跟踪训练1　解　如果用事件A1，A2分别表示“居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的”，事件B表示“居民所遇到的一位同学是女生”，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)＝，
P(A2)＝，
且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)
＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)
＝×＋×＝.
例2　解　设B＝“飞盘被击落”，Ai＝“飞盘被i人击中”，i＝1,2,3，
则B＝A1B∪A2B∪A3B，
依题意，得P(B|A1)＝0.2，
P(B|A2)＝0.6，P(B|A3)＝1.
设Hi＝“飞盘被第i人击中”，
i＝1,2,3，
则P(A1)＝P(H123∪1H23∪12H3)，
P(A2)＝P(H1H23∪H12H3∪1H2H3)，
P(A3)＝P(H1H2H3)，
又P(H1)＝0.4，P(H2)＝0.5，
P(H3)＝0.7，
所以P(A1)＝0.36，P(A2)＝0.41，
P(A3)＝0.14，
则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458.
即飞盘被击落的概率为0.458.
跟踪训练2　解　用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%，且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%，由全概率公式，得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3)＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%.
知识梳理
例3　解　(1)设事件B1，B2，B3分别表示“取到的工件是甲、乙、丙车间生产的”，A表示“取到的是次品”．
易知B1，B2，B3两两互斥，根据全概率公式，
可得P(A)＝(Bi)P(A|Bi)
＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.
故取到次品的概率为0.034 5.
(2)P(B1|A)＝＝
＝
≈0.36.
故已知取到的是次品，则它是甲车间生产的概率约为0.36.
跟踪训练3　解　设B＝“中途停车修理”，A1＝“经过的是货车”，A2＝“经过的是客车”，则B＝A1B∪A2B，
由贝叶斯公式，得P(A1|B)＝＝＝0.8.
随堂演练
1．C　[因为P(BA)＝P(A)P(B|A)，P(B)＝P()P(B|)，所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝P(BA)＋P(B)＝0.4＋0.2＝0.6.]
2．C　[设从仓库中随机提出的一台产品是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台产品是第i车间生产的，i＝1,2，
由题意可得P(A1)＝＝0.4，
P(A2)＝＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，
由全概率公式得P(B)＝
P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868.
所以该产品合格的概率为0.868.]
3.
解析　设“小王从这8道题中任选1题且做对”为事件A，“选到能完整做对的5道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的1道题”为事件D，则P(B)＝，P(C)＝＝，P(D)＝，由全概率公式可得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＋P(D)P(A|D)＝×1＋×＋×＝.
4.
解析　设A＝“从乙袋中取出的是白球”，Bi＝“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i＝0,1,2.
则Ω＝B1∪B2∪B0，且B1，B2，B0两两互斥．
由全概率公式，得
P(A)＝P(B0)P(A|B0)＋P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＝×＋×＋×＝.

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