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7.3　离散型随机变量的数字特征
7.3.1　离散型随机变量的均值
[学习目标]　
1.掌握离散型随机变量的均值的概念和性质.
2.掌握两点分布的均值.
3.会利用离散型随机变量的均值和性质，解决一些相关的实际问题．
一、离散型随机变量的均值
问题1　某人射击10次，所得环数分别是7,7,7,7,8,8,8,9,9,10，则所得的平均环数是多少？
知识梳理
(1)均值：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
则称E(X)＝______________________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称________．
(2)两点分布的均值：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝________________.
例1　(1)已知随机变量X满足P(X＝1)＝0.3，P(X＝0)＝0.7，则E(X)等于(　　)
A．0.3 B．0.7
C．0.21 D．1
(2)某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和均值，并求李明在一年内领到驾照的概率．
反思感悟　求随机变量X的均值的方法和步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值．
(2)求出X取每个值的概率P(X＝k)．
(3)写出X的分布列．
(4)利用均值的定义求E(X)．
跟踪训练1　从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中随机逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值．
二、均值的性质
问题2　若X，η都是离散型随机变量，且η＝aX＋b(其中a，b是常数)，那么E(η)与E(X)有怎样的关系？
知识梳理
离散型随机变量的均值的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝__________.
例2　已知随机变量X的分布列为
X －2 －1 0 1 2
P m
若Y＝－2X，则E(Y)＝________.
延伸探究　本例条件不变，若Y＝2X－3，求E(Y)．
反思感悟　求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值的方法
(1)定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可．
跟踪训练2　(1)已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为(　　)
A. B．5 C．1 D．31
(2)已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如表所示，则m的值为(　　)
ξ 1 2 3 4
P m n
A. B. C. D.
三、均值的应用
例3　某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分类标准得到的数据如表所示：
等级 珍品 特级 优级 一级
箱数 10 15 15 10
(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均值E(ξ)；
(2)利用样本估计总体，该地提出两种购销方案供采购商参考：
方案一：不分等级卖出，价格为20元/kg；
方案二：分等级卖出，分等级的脐橙价格如表所示：
等级 珍品 特级 优级 一级
售价(元/kg) 25 20 15 10
从采购商节约资金的角度考虑，应该采用哪种方案？
反思感悟　解答实际问题时，(1)把实际问题概率模型化；(2)利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，列出分布列；(3)利用公式求出相应均值．
跟踪训练3　某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2)为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
1．知识清单：
(1)离散型随机变量的均值．
(2)均值的性质．
(3)均值的应用．
2．方法归纳：函数与方程、转化化归．
3．常见误区：不会应用均值对实际问题作出正确分析．
1．已知随机变量X的分布列如表所示：
X 0 2 4 6
P 0.1 0.2 m 0.2
则E(X)的值为(　　)
A．2 B．2.4
C．3.6 D．不确定
2．已知Y＝4X＋7，E(Y)＝15，则E(X)等于(　　)
A．67 B．11 C．2 D．1
3．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，甲、乙两人解题互不影响，设解出该题的人数为X，则E(X)＝________.
4．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是________．
自然状况 方案盈利概率 A1 A2 A3 A4
S1 0.25 50 70 －20 98
S2 0.30 65 26 52 82
S3 0.45 26 16 78 －10
7.3.1　离散型随机变量的均值
问题1　＝＝7×＋8×＋9×＋10×＝8.
知识梳理
(1)x1p1＋x2p2＋…＋xnpn　期望　(2)0×(1－p)＋1×p＝p
例1　(1)A　[根据题意可知，随机变量X服从两点分布，所以E(X)＝0.3.]
(2)解　ξ的所有可能取值为1,2,3,4.
ξ＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P(ξ＝1)＝0.6.
ξ＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(ξ＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
ξ＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，故
P(ξ＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
ξ＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故
P(ξ＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
则ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
P 0.6 0.28 0.096 0.024
所以E(ξ)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.997 6.
跟踪训练1　解　由题意知X的所有可能取值为2,3,4,5.
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X＝2)＝＝；
当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，
∴P(X＝3)＝＝；
当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，
∴P(X＝4)＝＝；
当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，
∴P(X＝5)＝＝.
∴X的分布列为
X 2 3 4 5
P
∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4.
问题2　X，η的分布列为
X x1 x2 … xi … xn
η ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b
P p1 p2 … pi … pn
则E(η)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn
＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b.
知识梳理
aE(X)＋b
例2　
解析　由分布列的性质，得
＋＋＋m＋＝1，
解得m＝，
所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，
即E(Y)＝－2×＝.
延伸探究　解　由本例知
E(X)＝－，
则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3
＝2×－3＝－.
跟踪训练2　(1)C　[因为E(Y)＝E(5X＋1)＝5E(X)＋1＝6，
所以E(X)＝1.]
(2)A　[因为η＝12ξ＋7，E(η)＝34，
则E(η)＝12E(ξ)＋7，
即E(η)＝12×
＋7＝34.
所以2m＋3n＝，①
又＋m＋n＋＝1，
所以m＋n＝，②
由①②，解得m＝.]
例3　解　(1)用比例分配的分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，特级品的箱数为10×＝3，非特级品的箱数为10－3＝7，所以ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，
则ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)方案一的单价为20元/kg，
设方案二的单价为η，则η的均值为
E(η)＝25×＋20×＋15×＋10×＝17.5，
因为17.5<20，所以从采购商节约资金的角度考虑，应该采用方案二．
跟踪训练3　解　(1)由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.
P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；
P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32；
P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.
所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100.
P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；
P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12；
P(X＝100)＝0.6×0.8＝0.48.
所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.
因为54.4<57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
随堂演练
1．C　[依题意和分布列的性质得，0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6.]
2．C　[E(Y)＝4E(X)＋7＝15，
则E(X)＝2.]
3.
解析　记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，则X的所有可能取值为0,1,2.
P(X＝0)＝P( )＝P()P()
＝×＝，
P(X＝1)＝P(A)＋P(B)
＝P(A)P()＋P()P(B)
＝×＋×
＝，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)
＝×＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
4．A3
解析　A1的均值为50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7；
A2的均值为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5；
A3的均值为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；
A4的均值为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6，
因为A3的均值最大，所以应选择的方案是A3.

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