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7.3.2　离散型随机变量的方差
[学习目标]　
1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.
2.掌握离散型随机变量的方差的性质.
3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题．
一、离散型随机变量的方差
问题1　要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？
甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为
X1 5 6 7 8 9 10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为
X2 5 6 7 8 9
P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
知识梳理
设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)方差：D(X)＝__________________________________＝(xi－E(X))2pi.
(2)标准差：__________，记为σ(X)．
例1　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示：
ξA 110 120 125 130 135
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
ξB 100 115 125 130 145
P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好)．
反思感悟　(1)求离散型随机变量方差的步骤
①理解随机变量X的意义，写出X的取值．
②求出X取每个值的概率．
③写出X的分布列．
④计算E(X)．
⑤计算D(X)．
(2)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．均值体现了随机变量取值的平均水平，方差体现了随机变量取值的离散程度．
跟踪训练1　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列如表所示．
ξ 1 2 3
P a 0.1 0.6
η 1 2 3
P 0.3 b 0.3
(1)求a，b的值；
(2)分别计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．
二、方差的性质
问题2　你能推导出D与D的关系吗？
知识梳理
离散性随机变量的方差的性质
若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且D(aX＋b)＝__________.
例2　已知X的分布列如表所示：
X －1 0 1
P a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
反思感悟　方差性质应用的关注点
(1)公式：D(aX＋b)＝a2D(X)．
(2)优势：既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．
跟踪训练2　已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则D(2X－1)等于(　　)
A. B. C．4 D．5
三、方差的实际应用
例3　某保险公司对一个拥有20 000人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为A，B，C三类工种，从事这三类工种的人数分别为12 000，6 000，2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如表(并以此估计赔付概率)：
工种类别 A B C
赔付频率
已知A，B，C三类工种的职工每人每年保费分别为25元、25元、40元，出险后的赔偿金额分别为100万元、100万元、50万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年
10万元．
(1)求保险公司在该业务中所获利润的均值；
(2)现有如下两个方案供企业选择：
方案1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年12万元；
方案2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的70%，职工个人负责保费的30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支．
请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议．
反思感悟　均值、方差在决策中的作用
(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．
(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．
(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．
跟踪训练3　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研．项目A：通信设备．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车．根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c.
经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等．
(1)求a，b，c的值；
(2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．
1．知识清单
(1)离散型随机变量的方差、标准差．
(2)方差的性质．
(3)方差的应用．
2．方法归纳：公式法、转化化归．
3．常见误区：方差公式套用错误，混淆方差的概念．
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X 1 3 5
P 0.5 m 0.2
则其方差D(X)等于(　　)
A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4
2．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)等于(　　)
A．6 B．8 C．18 D．20
3．设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝则X的方差D(X)等于(　　)
A．m B．2m(1－m)
C．m(m－1) D．m(1－m)
4．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)＝________________________________________________________________________.
7.3.2　离散型随机变量的方差
问题1　通过计算可得，E(X1)＝8，E(X2)＝8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平．
知识梳理
(1)(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn
(2)
例1　解　E(ξA)＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125，
E(ξB)＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125.
D(ξA)＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，
D(ξB)＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165.
由此可见E(ξA)＝E(ξB)，
D(ξA)故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好．
跟踪训练1　解　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知
a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.
同理0.3＋b＋0.3＝1，∴b＝0.4.
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81；
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.
由于E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中，甲得分的均值比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣．
问题2　D＝a2D.
知识梳理
a2D(X)
例2　解　(1)由分布列的性质知
＋＋a＝1，
解得a＝，
所以X2的分布列为
X2 0 1
P
(2)方法一　由(1)知a＝，
所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.
方法二　由(1)知a＝，
所以E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
E(X2)＝0×＋1×＝，
所以D(X)＝E(X2)－(E(X))2
＝.
(3)因为Y＝4X＋3，
所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，
D(Y)＝42D(X)＝11.
跟踪训练2　D　[∵P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，
∴E(X)＝×(1＋2＋3＋4)＝，
D(X)＝×
＝，
∴D(2X－1)＝22D(X)＝4×＝5.]
例3　解　(1)设A，B，C三类工种的职工的每份保单保险公司的收益分别为随机变量X，Y，Z，则X，Y，Z的分布列分别为
X 25 25－100×104
P 1－
Y 25 25－100×104
P 1－
Z 40 40－50×104
P 1－
所以E(X)＝25×＋(25－100×104)×＝15，
E(Y)＝25×＋(25－100×104)×＝5，
E(Z)＝40×＋(40－50×104)×＝－10，
保险公司所获利润的均值为12 000×15＋6 000×5－2 000×10－100 000＝90 000，所以保险公司在该业务中所获利润的均值为9万元．
(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年赔偿金支出与固定开支共为12 000×100×
104×＋6 000×100×104×＋2 000×50×104×＋12×104＝46×104(元)；
方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为(12 000×25＋6 000×25＋2 000×40)
×0.7＝37.1×104(元)．因为46×104>37.1×104，
所以建议企业选择方案2.
跟踪训练3　解　(1)依题意得，
＋＋a＝1，解得a＝.
设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润，
则X1和X2的分布列分别为
X1 0.4x －0.2x 0
P
X2 0.3x －0.1x
P b c
所以E(X1)＝0.4x×＋(－0.2x)×＋0×＝0.2x，
E(X2)＝0.3bx－0.1cx，
因为E(X1)＝E(X2)，
所以0.3bx－0.1cx＝0.2x，
即0.3b－0.1c＝0.2.①
又b＋c＝1，②
由①②，解得b＝，c＝，
所以a＝，b＝，c＝.
(2)选择项目B.理由如下：
当投入100万元资金时，
由(1)知x＝100，
所以E(X1)＝E(X2)＝20，
D(X1)＝(40－20)2×＋(－20－20)2×＋(0－20)2×＝600，
D(X2)＝(30－20)2×＋(－10－20)2×＝300.
因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B.
随堂演练
1．C　[由离散型随机变量的分布列的性质
得0.5＋m＋0.2＝1，解得m＝0.3，
所以E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，
所以D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2
＝2.44.]
2．C　[∵D(X)＝2，
∴D(3X＋2)＝9D(X)＝18.]
3．D　[由题意得X服从两点分布，
P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，
所以D(X)＝m(1－m)．]
4.
解析　X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，
D(X)＝2×＋2×＋2×＝.

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