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§7.4　二项分布与超几何分布
7.4.1　二项分布
[学习目标]　
1.理解n重伯努利试验的概念，记住n重伯努利试验的公式.
2.理解并熟记二项分布的随机变量的概率、均值以及方差，能利用n重伯努利试验及二项分布解决一些简单的实际问题．
一、n重伯努利试验
问题1　下列试验有什么共同的特点？
(1)投掷一枚质地均匀的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5；
(2)某同学玩射击气球游戏，每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个；
(3)某篮球队员罚球命中率为0.8，罚球6次．
知识梳理
1．n重伯努利试验：将一个伯努利试验________________进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．
2．n重伯努利试验的共同特征：
(1)同一个伯努利试验________做n次；
(2)各次试验的结果______________．
例1　判断下列试验是不是n重伯努利试验：
(1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上；
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中；
(3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球．
反思感悟　n重伯努利试验的判断依据
(1)要看该试验是不是在相同的条件下重复进行．
(2)每次试验相互独立，互不影响．
(3)每次试验都只有两种结果，即事件发生、不发生．
跟踪训练1　(多选)下列事件是n重伯努利试验的是(　　)
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．一批产品的次品率为1%，有放回地随机抽取20件
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
二、二项分布的推导
问题2　连续投掷一枚图钉3次，且每次针尖向上的概率为p，针尖向下的概率为q，则仅出现1次针尖向上的概率是多少？
问题3　类似地，连续投掷一枚图钉3次，出现k(k＝0,1,2,3)次针尖向上的概率是多少？有什么规律？
知识梳理
二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0例2　“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙两方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列．
反思感悟　求n重伯努利试验概率的三个步骤
(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试验是否为n重伯努利试验．
(2)分析：判断所求事件是否需要拆分．
(3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
跟踪训练2　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人参加甲游戏，掷出点数大于2的人参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率．
三、二项分布的均值与方差
问题4　若随机变量X服从二项分布B(n，p)，那么X的均值和方差各是什么？
知识梳理
1．若X服从两点分布，则E(X)＝________，D(X)＝________.
2．若X～B(n，p)，则E(X)＝________，D(X)＝________.
例3　(1)已知X～B(10,0.5)，Y＝2X－8，则E(Y)等于(　　)
A．6 B．2 C．4 D．3
(2)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球自由下落，在下落的过程中，小球将遇到黑色障碍物3次，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到障碍物时，向左、右两边下落的概率分别是，.
①分别求出小球落入A袋和B袋中的概率；
②在容器的入口处依次放入4个小球，记ξ为落入B袋中的小球的个数，求ξ的分布列、均值和方差．
反思感悟　解决此类问题的第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步是代入相应的公式进行求解．
跟踪训练3　某一智力游戏玩一次所得的积分是一个随机变量X，其分布列如下表，均值E(X)＝2.
X 0 3 6
P a b
(1)求a和b的值；
(2)某同学连续玩三次该智力游戏，记积分X大于0的次数为Y，求Y的分布列与均值．
1．知识清单：
(1)n重伯努利试验的概念及特征．
(2)二项分布的概念及表示．
(3)二项分布的均值与方差．
2．方法归纳：公式法、数学建模．
3．常见误区：二项分布的判断错误．
1．随机变量X～B，则P(X＝2)等于(　　)
A. B.
C. D.
2．设随机变量X～B，则D(3X)等于(　　)
A．10 B．30
C．15 D．5
3．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题20道，已知该同学每道题答对的概率为0.6，则该同学答对题目数量的均值和方差分别为(　　)
A．16,7.2 B．12,7.2
C．12,4.8 D．16,4.8
4．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为________．
7.4.1　二项分布
问题1　(1)相同条件下的试验：5次、10次、6次；
(2)每次试验相互独立；
(3)每次试验只有两种可能的结果：发生或不发生；
(4)每次试验发生的概率相同，为p，不发生的概率也相同，为1－p.
知识梳理
1．独立地重复
2．(1)重复　(2)相互独立
例1　解　(1)由于试验的条件不同(质地不同)，因此不是n重伯努利试验．
(2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是n重伯努利试验．
(3)依次抽取不是独立重复试验，所以不是n重伯努利试验．
跟踪训练1　CD　[A符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；C，D是n重伯努利试验．]
问题2　连续投掷一枚图钉3次，就是做3次伯努利试验，用Ai(i＝1,2,3)表示“第i次掷得针尖向上”的事件，用B1表示“仅出现一次针尖向上”的事件，则B1＝(A1 23)∪(1A23)∪(12A3)．由此可得P(B1)＝q2p＋q2p＋q2p＝3q2p.
问题3　用Ai(i＝1,2,3)表示事件“第i次掷得针尖向上”，
用Bk(k＝0,1,2,3)表示事件“出现k次针尖向上”，
P(B0)＝P(123)＝q3＝Cp0q3，
P(B1)＝P(A123)＋P(1A23)＋P(12A3)
＝3q2p＝Cp1q2，
P(B2)＝P(A1A23)＋P(1A2A3)＋P(A12A3)
＝3qp2＝Cp2q1，
P(B3)＝P(A1A2A3)
＝p3＝Cp3q0，
规律：P(Bk)＝Cpkq3－k，k＝0,1,2,3.
知识梳理
Cpk(1－p)n－k
例2　解　(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共9个样本点．玩家甲胜玩家乙的样本点分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共3个．
所以在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝.
(2)由题意知，X＝0,1,2,3.
因为P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C×1×2＝，
P(X＝2)＝C×2×1＝，
P(X＝3)＝C×3＝.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
跟踪训练2　解　(1)依题意知，这4个人中，每个人参加甲游戏的概率为，参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有k人参加甲游戏”为事件Ak(k＝0,1,2,3,4)．
则P(Ak)＝Ck4－k.
故这4个人中恰有2人参加甲游戏的概率为
P(A2)＝C×2×2＝.
(2)设“这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4.
由于A3与A4互斥，
故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×3×＋C×4＝，
所以这4个人中参加甲游戏的人数大于参加乙游戏的人数的概率为.
问题4　当n＝1时，X服从两点分布，分布列为
X 0 1
P 1－p p
E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二项分布的分布列为(q＝1－p)
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0
则E(X)＝0×Cp0qn＋1×Cp1qn－1＋2×Cp2qn－2＋…＋kCpkqn－k＋…＋nCpnq0，
由kC＝nC，
可得E(X)＝n×Cp1qn－1＋n×Cp2qn－2＋…＋nCpkqn－k＋…＋nCpnq0
＝np(Cp0qn－1＋Cp1qn－2＋…＋Cpk－1qn－k＋…＋Cpn－1q0)
＝np(p＋q)n－1＝np，
同理可得D(X)＝np(1－p)．
知识梳理
1．p　p(1－p)
2．np　np(1－p)
例3　(1)B　[由题意，随机变量X～B(10,0.5)，可得E(X)＝10×0.5＝5，
因为Y＝2X－8，所以E(Y)＝2E(X)－8＝2×5－8＝2.]
(2)解　①设M＝“小球落入A袋”，N＝“小球落入B袋”，
则P(M)＝××＋××＝，
所以P(N)＝1－P(M)
＝1－＝.
②易知ξ～B，
则ξ的分布列为
P(ξ＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，
故P(ξ＝0)＝，
P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝.
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P
E(ξ)＝4×＝，
D(ξ)＝4××＝.
跟踪训练3　解　(1)因为E(X)＝2，所以0×＋3×a＋6×b＝2，即3a＋6b＝2.①
又＋a＋b＝1，得a＋b＝，②
联立①②，解得a＝，b＝.
(2)P(X>0)＝，
依题意知Y～B，
故P(Y＝0)＝3＝，
P(Y＝1)＝C××2＝，
P(Y＝2)＝C×2×＝，
P(Y＝3)＝3＝.
故Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)＝3×＝.
随堂演练
1．A　[随机变量X～B，则P(X＝2)＝C×2×4＝.]
2．A　[由随机变量X～B，
得D(X)＝5××＝，
所以D(3X)＝32D(X)＝9×＝10.]
3．C　[设该同学答对题目的数量为ξ，因为该同学每道题答对的概率为0.6，共答20道题，
所以ξ～B(20,0.6)，
所以E(ξ)＝20×0.6＝12，D(ξ)＝20×0.6×(1－0.6)＝4.8.]
4.
解析　4道题目中，答对的题目数
X～B，
所以P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝C×4＋C×4＝.

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